解三角形題型總結(jié)(原創(chuàng))

解三角形題型總結(jié)中的常見結(jié)論和定理：一、 內(nèi)角和定理及誘導公式：1因為， 所以； ；因為所以，2大邊對大角3.在ABC中，熟記并會證明tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; (2)A、B、C成等差數(shù)列的充要條件是B=60； (3)ABC是正三角形的充要條件是A、B、C成等差數(shù)列且a、b、c成等比數(shù)列.二、 正弦定理：文字：在中，各邊與其所對角的正弦的比值都相等。符號：公式變形：(邊轉(zhuǎn)化成角） （角轉(zhuǎn)化成邊） 三、 余弦定理：文字：在中，任意一邊的平方，等于另外兩邊的平方和，減去這兩邊與它們夾角的余弦值的乘積的兩倍。符號： 變形： 四、面積公式：（1） （2）（其中為三角形內(nèi)切圓半徑）（3）五、 常見三角形的基本類型及解法：（1）已知兩角和一邊（如已知邊） 解法：根據(jù)內(nèi)角和求出角；根據(jù)正弦定理求出其余兩邊（2）已知兩邊和夾角（如已知）解法：根據(jù)余弦定理求出邊；根據(jù)余弦定理的變形求；根據(jù)內(nèi)角和定理求角.（3）已知三邊（如：）解法：根據(jù)余弦定理的變形求；根據(jù)余弦定理的變形求角；根據(jù)內(nèi)角和定理求角（4）已知兩邊和其中一邊對角（如：）（注意討論解的情況）解法1：若只求第三邊，用余弦定理：；解法2：若不是只求第三邊，先用正弦定理求（可能出現(xiàn)一解，兩解或無解的情況，見題型一）；再根據(jù)內(nèi)角和定理求角；.先看一道例題：例：在中，已知，求角C。（答案：或）六、 在中，已知，則解的情況為：法一：幾何法（不建議使用）（注：表中，為銳角時，若，無解；為鈍角或直角時，若，無解.為銳角為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個數(shù)一解兩解一解一解法二：代數(shù)法（建議使用）通過例子說明步驟：大角對大邊 結(jié)合 正弦定理 一起使用（見題型一）題型總結(jié)：題型一、利用正弦定理解決“兩邊一對角”的類型模型：在中，已知邊和角,若不是求第三邊c，用正弦定理。例1：在中，已知，求C。（答案：）例2：在中，已知，求C。（答案：或）例3：在中，已知，求A。（答案：無解）例4：（3）在中，已知，求A。（答案：一解）練習：1。在中，已知解三角形。2在中，已知解三角形。3在中，已知解三角形。題型二、利用正弦定理解決“已知兩角一邊”的類型兩角一邊（兩角一對邊，兩角一夾邊） 模型1：在中，已知角和邊,解三角形。 模型2：在中，已知角和邊,解三角形。 用正弦定理例題：例題1：在中，已知解三角形。解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得，再根據(jù)正弦定理，得，再根據(jù)余弦定理，得，所以綜上：。例題2：在中，已知解三角形。解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得，再根據(jù)正弦定理，得，再根據(jù)正弦定理，得。綜上，。練習：1在中，已知解三角形。2在中，已知解三角形。題型三、利用余弦定理解決“已知兩邊一夾角”的類型模型：在中，已知邊和角,解三角形。用余弦定理 例題1：在中，已知解三角形。 解析：根據(jù)余弦定理，得，所以，再根據(jù)余弦定理，得，又因為 ，所以，再根據(jù)內(nèi)角和定理，得。綜上，。練習：1在中，已知解三角形。題型四、利用余弦定理解決“已知三邊”的類型 模型：已知邊解三角形。根據(jù)余弦定理，分別求得角（或根據(jù)內(nèi)角和定理求得角)。例題1：在中，已知解三角形。 解析：根據(jù)余弦定理，得，又因為，所以，再根據(jù)余弦定理，得，又,所以,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得。綜上，。練習：1在中，已知解三角形。題型五、利用余弦定理解決“已知兩邊一對角”的類型模型：在中，已知邊和角,若只求第三邊c，用余弦定理。模型： 在中，已知邊和角,若不是只求第三邊c，用正弦定理。例題：例題1：在中，已知，求邊b。解析：根據(jù)余弦定理，得，既，解得或（舍去），練習：在中，已知，求邊a。（答案：）題型六、三角形面積例1在中，求的值和的面積。解：由計算它的對偶關(guān)系式的值。 , +得， 得。從而。以下解法略去。練習1在中,角,對應的邊分別是,.已知.(I)求角的大小;(II)若的面積,求的值.解:(I)由已知條件得: ,解得,角 (II),由余弦定理得:, 練習2. 已知的周長為，且（I）求邊的長；（II）若的面積為，求角的度數(shù)解：（I）由題意及正弦定理，得，兩式相減，得（II）由的面積，得，由余弦定理，得，所以練習3在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是，已知，（）若的面積等于，求；（）若，求的面積解：（）由余弦定理及已知條件得，又因為的面積等于，所以，得聯(lián)立方程組解得，（）由題意得，即，當時，當時，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，所以的面積題型七：看到 “a2 = b2+c2bc”想到余弦定理例1：在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊長，已知，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求A，需找A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。解法一：b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在ABC中，由余弦定理得：cosA=，A=60。在ABC中，由正弦定理得sinB=，b2=ac，A=60，=sin60=。解法二：在ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB。b2=ac，A=60，bcsinA=b2sinB。=sinA=。評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。題型八：利用正、余弦定理判斷三角形形狀邊角互化問題例1. 在中，已知，那么一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形解法1：由sin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sinAcosBcosAsinB0，得sin(AB)0，得AB故選(B)解法2：由題意，得cosB，再由余弦定理，得cosB ，即a2b2，得ab，故選(B)評注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷(如解法1)，統(tǒng)一化為邊，再判斷(如解法2)例2. 在中，若，試判斷ABC的形狀。答案：故ABC為等腰三角形或直角三角形。練習1. 在中，判斷ABC的形狀。答案：為等腰三角形或直角三角形。練習2、在中,，這個三角形是_三角形。練習3、題型九：三角形中最值問題例1的三個內(nèi)角為，求當A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；當sin = ，即A=時, cosA+2cos取得最大值為。點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。練習. 設銳角的內(nèi)角的對邊為，（1） 求B的大小。 （2）求的取值范圍。題型十、邊角互化問題例1、在中，已知2b=a+c，證明：2 sinB= sinA+ sinC例2、在中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，試證明：a = b cosC + c cosB例3、已知為的三個內(nèi)角的對邊，向量，若，且，則角 例4、在中，已知BC=a，AC=b，且a，b是方程的兩個根，求：角C的度數(shù) AB的長例5. 已知的周長為，且求邊的長；若的面積為，求角的度數(shù)練習1設的內(nèi)角所對的邊長分別為，且， 求邊長； 若的面積，求的周長練習2. 在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是，已知，（）若的面積等于，求；（）若，求的面積練習3.在中分別為的對邊，若，（1）求的大??；（2）若，求和的值。題型十一：正余弦定理的實際應用例6（2009遼寧卷文，理）如圖，A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為，于水面C處測得B點和D點的仰角均為，AC=0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B，D的距離（計算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449） 解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD