最短路徑模型

最短路徑模型旋轉(zhuǎn)最值類(lèi) 基本模型圖:當(dāng)點(diǎn)P是O外一點(diǎn)，直線PO分別交O于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，則線段PA的長(zhǎng)是點(diǎn)P到O的最短距離，線段PB的長(zhǎng)是點(diǎn)P到O上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離. 當(dāng)點(diǎn)P是O內(nèi)一點(diǎn)，直線PO分別交O于點(diǎn)A、B，則線段PA的長(zhǎng)是點(diǎn)P到O上的點(diǎn)的最短距離，線段PB的是點(diǎn)P到O上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離.總結(jié)：用旋轉(zhuǎn)思想解決線段最值問(wèn)題的本質(zhì)是利用 三角形三邊關(guān)系 解決問(wèn)題.特點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)類(lèi)最值一般涉及到平面上一定點(diǎn)到圓上一動(dòng)點(diǎn)的最大值（或最小值），屬于單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，有時(shí)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑圓（或圓?。┎⒉恢苯咏o出，此時(shí)需要根據(jù)條件把“隱圓”勾畫(huà)出來(lái)，具體來(lái)說(shuō)“隱圓”一般有如下呈現(xiàn)方式： 定點(diǎn)定長(zhǎng) ； 定弦定角 .【典例1】如圖，在矩形ABCD中，AB4，AD6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將EBF沿EF所在直線折疊得到EBF，連結(jié)BD，則BD的最小值是（ ）A B.6 C. D.4 【典例2】如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AEDF，連接CF交BD于點(diǎn)G，連結(jié)BE交AG于點(diǎn)H，若正方形的邊長(zhǎng)是2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是 . 【針對(duì)訓(xùn)練 】1. 如圖，在ABC中，ACB90，AC2，BC1，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最大距離為（ ）.A B C D3 2.如圖，在矩形ABCD中，AB4，BC6，E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AEBE，則線段CE的最小值為（ ）.A B. C. D.43. 如圖，在ABC中，AB10，AC8，BC6，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P、Q分別是邊BC和半圓上的運(yùn)點(diǎn)，連接PQ，則PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是（ ）.A.6 B. C.9 D. 4.如圖，AC3，BC5，且BAC90，D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作圓，連接BD交圓于E點(diǎn)，連CE，則CE的最小值為（ ）.A. B. C.5 D.5如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BFAE交CD于點(diǎn)F，垂足為G，連結(jié)CG，則CG的最小值為（ ）A B C. D. 6如圖，ABC、EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn)，直線AG、FG相交于點(diǎn)M，當(dāng)EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段BM長(zhǎng)的最小值是 A B C. D. 7如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，A60，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AMN沿MN所在的直線翻折得到AMN，連結(jié)AC，則AC長(zhǎng)度的最小值是 . 8如圖，ABC為等邊三角形，AB=2，若點(diǎn)P為ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PAB=ACP，則線段PB長(zhǎng)度的最小值為 9.如圖，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與B，C重合），CNDM，CN與AB交于點(diǎn)N，連接OM，ON，MN下列五個(gè)結(jié)論：CNBDMC；CONDOM；OMNOAD；AN2+CM2=MN2；若AB=2，則SOMN的最小值是，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A2B3C4D510.如圖，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PAB=PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（）AB2CD11.二次函數(shù)，當(dāng)mxn且mn0時(shí)，y的最小值為2m，最大值為2n，則m+n的值為（）AB2CD12.如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB則PAB面積的最大值是（）A8 B12 C D13.如圖，菱形ABCD的邊AB=8，B=60，P是AB上一點(diǎn)，BP=3，Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A當(dāng)CA的長(zhǎng)度最小時(shí)，CQ的長(zhǎng)為（）A5B7C8D14.將形狀、大小完全相同的兩個(gè)等腰三角形如圖所示放置，點(diǎn)D在AB邊上，DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，腰DF和底邊DE分別交CAB的兩腰CA，CB于M，N兩點(diǎn)，若CA=5，AB=6，AB=1：3，則MD+的最小值為 15.如圖，在直角坐標(biāo)系中，A的圓心A的坐標(biāo)為（1，0），半徑為1，點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作A的切線，切點(diǎn)為Q，則切線長(zhǎng)PQ的最小值是 16.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將AEF沿EF所在直線翻折，得到AEF，則AC的長(zhǎng)的最小值是 17.如圖所示，已知點(diǎn)C（1，0），直線y=x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，D，E分別是AB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，則CDE周長(zhǎng)的最小值是 18.如圖，APB中，AB=2，APB=90，在AB的同側(cè)作正ABD、正APE和正BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是 19.如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)接于點(diǎn)O，點(diǎn)E是上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)F是上的一點(diǎn)，連接OE、OF，分別與AB、BC交于點(diǎn)G，H，且EOF=90，有以下結(jié)論：；OGH是等腰三角形；四邊形OGBH的面積隨著點(diǎn)E位置的變化而變化；GBH周長(zhǎng)的最小值為其中正確的是 （把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）20.如圖，等腰ABC中，CA=CB=4，ACB=120，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），將CAD與CBD分別沿直線CA、CB翻折得到CAP與CBQ，給出下列結(jié)論：CD=CP=CQ；PCQ的大小不變；PCQ面積的最小值為；當(dāng)點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)時(shí)，PDQ是等邊三角形，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 21.如圖，已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在AB邊上且BE=1，點(diǎn)P，Q分別是邊BC，CD的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形AEPQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形AEPQ的面積是 22.如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=2對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過(guò)點(diǎn)B折疊矩形紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N，折痕BM與EF相交于點(diǎn)Q；再次展平，連接BN，MN，延長(zhǎng)MN交BC于點(diǎn)G有如下結(jié)論：ABN=60；AM=1；QN=；BMG是等邊三角形；P為線段BM上一動(dòng)點(diǎn)，H是BN的中點(diǎn)，則PN+PH的最小值是其中正確結(jié)論的序號(hào)是 23.如圖，AOB=30，點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，OP平分AOB，且OP=6，當(dāng)PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形PMON的面積為 24.如圖，在O中，直徑CD垂直于不過(guò)圓心O的弦AB，垂足為點(diǎn)N，連接AC，點(diǎn)E在AB上，且AE=CE（1）求證：AC2=AEAB；（2）過(guò)點(diǎn)B作O的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，試判斷PB與PE是否相等，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)O半徑為4，點(diǎn)N為OC中點(diǎn)，點(diǎn)Q在O上，求線段PQ的最小值25.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、G分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，AF=AB（1）求證：EFAG；（2）若點(diǎn)F、G分別在射線AB、BC上同時(shí)向右、向上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)速度的2倍，EFAG是否成立（只寫(xiě)結(jié)果，不需說(shuō)明理由）？（3）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)，求PAB周長(zhǎng)的最小值26.在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB