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最短路徑模型旋轉(zhuǎn)最值類 基本模型圖:當(dāng)點(diǎn)P是O外一點(diǎn),直線PO分別交O于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),則線段PA的長(zhǎng)是點(diǎn)P到O的最短距離,線段PB的長(zhǎng)是點(diǎn)P到O上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離. 當(dāng)點(diǎn)P是O內(nèi)一點(diǎn),直線PO分別交O于點(diǎn)A、B,則線段PA的長(zhǎng)是點(diǎn)P到O上的點(diǎn)的最短距離,線段PB的是點(diǎn)P到O上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離.總結(jié):用旋轉(zhuǎn)思想解決線段最值問題的本質(zhì)是利用 三角形三邊關(guān)系 解決問題.特點(diǎn):旋轉(zhuǎn)類最值一般涉及到平面上一定點(diǎn)到圓上一動(dòng)點(diǎn)的最大值(或最小值),屬于單動(dòng)點(diǎn)問題,有時(shí)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑圓(或圓?。┎⒉恢苯咏o出,此時(shí)需要根據(jù)條件把“隱圓”勾畫出來,具體來說“隱圓”一般有如下呈現(xiàn)方式: 定點(diǎn)定長(zhǎng) ; 定弦定角 .【典例1】如圖,在矩形ABCD中,AB4,AD6,E是AB邊的中點(diǎn),F(xiàn)是線段BC邊上的動(dòng)點(diǎn),將EBF沿EF所在直線折疊得到EBF,連結(jié)BD,則BD的最小值是( )A B.6 C. D.4 【典例2】如圖,E、F是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AEDF,連接CF交BD于點(diǎn)G,連結(jié)BE交AG于點(diǎn)H,若正方形的邊長(zhǎng)是2,則線段DH長(zhǎng)度的最小值是 . 【針對(duì)訓(xùn)練 】1. 如圖,在ABC中,ACB90,AC2,BC1,點(diǎn)A,C分別在x軸,y軸上,當(dāng)點(diǎn)A在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)C隨之在軸上運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最大距離為( ).A B C D3 2.如圖,在矩形ABCD中,AB4,BC6,E是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且AEBE,則線段CE的最小值為( ).A B. C. D.43. 如圖,在ABC中,AB10,AC8,BC6,以邊AB的中點(diǎn)O為圓心,作半圓與AC相切,點(diǎn)P、Q分別是邊BC和半圓上的運(yùn)點(diǎn),連接PQ,則PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是( ).A.6 B. C.9 D. 4.如圖,AC3,BC5,且BAC90,D為AC上一動(dòng)點(diǎn),以AD為直徑作圓,連接BD交圓于E點(diǎn),連CE,則CE的最小值為( ).A. B. C.5 D.5如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),BFAE交CD于點(diǎn)F,垂足為G,連結(jié)CG,則CG的最小值為( )A B C. D. 6如圖,ABC、EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn),直線AG、FG相交于點(diǎn)M,當(dāng)EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí),線段BM長(zhǎng)的最小值是 A B C. D. 7如圖,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,A60,M是AD邊的中點(diǎn),N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),將AMN沿MN所在的直線翻折得到AMN,連結(jié)AC,則AC長(zhǎng)度的最小值是 . 8如圖,ABC為等邊三角形,AB=2,若點(diǎn)P為ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且滿足PAB=ACP,則線段PB長(zhǎng)度的最小值為 9.如圖,在正方形ABCD中,O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn),M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M不與B,C重合),CNDM,CN與AB交于點(diǎn)N,連接OM,ON,MN下列五個(gè)結(jié)論:CNBDMC;CONDOM;OMNOAD;AN2+CM2=MN2;若AB=2,則SOMN的最小值是,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A2B3C4D510.如圖,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4,P是ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足PAB=PBC,則線段CP長(zhǎng)的最小值為()AB2CD11.二次函數(shù),當(dāng)mxn且mn0時(shí),y的最小值為2m,最大值為2n,則m+n的值為()AB2CD12.如圖,已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),P是以C(0,1)為圓心,1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)PA、PB則PAB面積的最大值是()A8 B12 C D13.如圖,菱形ABCD的邊AB=8,B=60,P是AB上一點(diǎn),BP=3,Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn),將梯形APQD沿直線PQ折疊,A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A當(dāng)CA的長(zhǎng)度最小時(shí),CQ的長(zhǎng)為()A5B7C8D14.將形狀、大小完全相同的兩個(gè)等腰三角形如圖所示放置,點(diǎn)D在AB邊上,DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),腰DF和底邊DE分別交CAB的兩腰CA,CB于M,N兩點(diǎn),若CA=5,AB=6,AB=1:3,則MD+的最小值為 15.如圖,在直角坐標(biāo)系中,A的圓心A的坐標(biāo)為(1,0),半徑為1,點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作A的切線,切點(diǎn)為Q,則切線長(zhǎng)PQ的最小值是 16.如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=2,AD=3,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將AEF沿EF所在直線翻折,得到AEF,則AC的長(zhǎng)的最小值是 17.如圖所示,已知點(diǎn)C(1,0),直線y=x+7與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn),D,E分別是AB,OA上的動(dòng)點(diǎn),則CDE周長(zhǎng)的最小值是 18.如圖,APB中,AB=2,APB=90,在AB的同側(cè)作正ABD、正APE和正BPC,則四邊形PCDE面積的最大值是 19.如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)接于點(diǎn)O,點(diǎn)E是上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合),點(diǎn)F是上的一點(diǎn),連接OE、OF,分別與AB、BC交于點(diǎn)G,H,且EOF=90,有以下結(jié)論:;OGH是等腰三角形;四邊形OGBH的面積隨著點(diǎn)E位置的變化而變化;GBH周長(zhǎng)的最小值為其中正確的是 (把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)20.如圖,等腰ABC中,CA=CB=4,ACB=120,點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)(不與A、B重合),將CAD與CBD分別沿直線CA、CB翻折得到CAP與CBQ,給出下列結(jié)論:CD=CP=CQ;PCQ的大小不變;PCQ面積的最小值為;當(dāng)點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)時(shí),PDQ是等邊三角形,其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 21.如圖,已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)E在AB邊上且BE=1,點(diǎn)P,Q分別是邊BC,CD的動(dòng)點(diǎn)(均不與頂點(diǎn)重合),當(dāng)四邊形AEPQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí),四邊形AEPQ的面積是 22.如圖,四邊形ABCD是矩形紙片,AB=2對(duì)折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,折痕為EF;展平后再過點(diǎn)B折疊矩形紙片,使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)N,折痕BM與EF相交于點(diǎn)Q;再次展平,連接BN,MN,延長(zhǎng)MN交BC于點(diǎn)G有如下結(jié)論:ABN=60;AM=1;QN=;BMG是等邊三角形;P為線段BM上一動(dòng)點(diǎn),H是BN的中點(diǎn),則PN+PH的最小值是其中正確結(jié)論的序號(hào)是 23.如圖,AOB=30,點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上的動(dòng)點(diǎn),OP平分AOB,且OP=6,當(dāng)PMN的周長(zhǎng)取最小值時(shí),四邊形PMON的面積為 24.如圖,在O中,直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB,垂足為點(diǎn)N,連接AC,點(diǎn)E在AB上,且AE=CE(1)求證:AC2=AEAB;(2)過點(diǎn)B作O的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,試判斷PB與PE是否相等,并說明理由;(3)設(shè)O半徑為4,點(diǎn)N為OC中點(diǎn),點(diǎn)Q在O上,求線段PQ的最小值25.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、G分別是邊AD、BC的中點(diǎn),AF=AB(1)求證:EFAG;(2)若點(diǎn)F、G分別在射線AB、BC上同時(shí)向右、向上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)速度的2倍,EFAG是否成立(只寫結(jié)果,不需說明理由)?(3)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),當(dāng),求PAB周長(zhǎng)的最小值26.在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中,小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng),將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為的正方形AEFG按圖1位置放置,AD與AE在同一直線上,AB
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