剛體的定軸轉動

1 / 19 下載文檔可編輯 第二章 剛體的定軸轉動 教學要求教學要求： 一、理解剛體定軸轉動的角速度和角加速度的概念，理解角量與線 量的關系。 二、理解剛體定軸轉動定律，能解簡單的定軸轉動問題。 三、了解力矩的功和轉動動能的概念。 四、了解剛體對定軸的角動量定理及角動量守恒定律。 五、理解轉動慣量的概念，能用平行軸定理和轉動慣量的可加性計 算剛體對定軸的轉動慣量。 教學重點：教學重點：剛體定軸轉動的力矩、轉動慣量、角動量等物理量的概 念和轉動定律。 教學難點：教學難點：難點是剛體繞定軸轉動的角動量守恒定律及其應用。 物理學研究方法、思維方法：理想化模型-剛體、研究剛體轉動 的物理量角量的確定。 類比方法是本章學習和研究的主要方法。 教學方法：啟發(fā)、類比、討論 教學內容： 準備知識： 一、剛體：假定無論在多大的外力作用下，物體的形狀和大小都保 持不變，也就是物體內任何兩質點之間的距離保持不變。這樣的理 想物體稱為剛體。剛體。 剛體也是常用的力學理想模型。 二、平動與轉動：當剛體運動時,如果剛體內任何一條給定的直線， 在運動中始終保持它的方向不變，這種運動稱為平動平動； 剛體運動時，如果剛體的各個質點在運動中都繞同一直線做圓 周運動，這種運動稱為轉動轉動。 如果剛體圍繞的轉軸的位置是固定不動的，這種轉動稱為剛體剛體 的定軸轉動的定軸轉動 2-1 角速度和角加速度 2 / 19 下載文檔可編輯 一、一、 角位移、角速度和角加速度角位移、角速度和角加速度 1、角坐標：如圖 2-1 所示，O 為轉軸與轉動平 面的交點，A 為剛體上的一個質點， A 在這一 轉動平面內繞 O 點做圓周運動， A 與轉軸的距 離為 r 。t 時刻質點 A 與轉軸 O 距離的連線與 基準方向的夾角為 ，稱 為角坐標或角位置角坐標或角位置。ox 2、定軸轉動的運動學方程：剛體轉動時， 隨時間變化，它是時 間 t 的函數： （2-1）)(t 上式稱為剛體定軸轉動的運動學方程剛體定軸轉動的運動學方程. 3、角位移：設 t 時刻剛體上所取質點的角坐標是 ，經過一段 時間 ，即 時刻，該質點的角位置為 。我們把 稱ttt 為 A 在 時間內的角位移角位移，也是剛體上每個質點的角位移。t 在 SI 中, 角位移的單位是弧度，符號為 rad . 4、角速度：將角坐標 對時間 t 求導數，以描述剛體轉動的快 慢，稱剛體轉動的角速度角速度，用符號 表示： = （2- dt d 2） 在 SI 中，角速度的單位是弧度每秒,符號為 . 1 srad 5、角加速度： 將角速度 對時間 t 求導，以描述角速度變化的 快慢程度，稱為剛體定軸轉動的角加速度角加速度，用符號表示： = （2-3） 2 2 dt d dt d 圖 21 角坐標和 角速度 3 / 19 下載文檔可編輯 在 SI 中，角加速度的單位是弧度每平方秒,符號為. 2 srad 除了用角速度 描述物體轉動快慢的程度外，還可使用另一個 量-旋轉頻率，通常用符號 n 表示旋轉頻率，表示單位時間物體繞 行的轉數。旋轉頻率的單位是轉每分，符號，是國家 1 min r 1 min r 選用的非 SI 單位之一.它是工程上常用的單位,與弧度每秒之間的換 算關系為 1=) 1 min r 30 1 srad 二、二、 角量與線量的關系角量與線量的關系 設距轉軸為 R 處一質點的線速度為 ，切向加速度為，法向加v t a 速度為（以上各量稱為“線量” ） 。角速度 ,角加速度為（以上 n a 各量稱為“角量” ） 。下面我們來討論線量與角量大小的關系。 用 表示與質點的角位移 相對應的圓軌道上的弧長，那么 s Rs 將上式兩邊對時間求導數，由于線速度 =，角速度 =v dt ds dt d 則可得 ： （2-4）Rv 將式（2-4）兩邊再對時間求導，由于上式中 = ， =，則可得 ： t a dt dv dt d = R （2-5） t a 利用= 得法向加速度 ： n a R v2 = R （2-6） n a 2 例例 2-12-1 已知剛體轉動的運動學方程為 =A+B，式中 A 為無量 3 t 綱的常數,B 為有量綱的常數. 求: (1) 角速度；（2）角加速度； 4 / 19 下載文檔可編輯 （3） 剛體上距軸為 r 的一質點的加速度. 解: (1) 由角速度的定義式,得: = = 3B dt d 2 t (2) 將 對時間 t 求導數,得角加速度 = = 6Bt dt d (3) 利用式(25)得距軸為 r 的一點的切向加度為: = =6Brt t ar 根據式(26)得該質點的法向加速度為: = r =9r n a 2 2 B 4 t 所以，加速度的大小是：a = = 22 tn aa 2242 )6()9(BrtrtB 設加速度 a 與速度 v 的夾角為 ，則 滿足下式 tgn = t n a a 3 2 3 Bt 2-22-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量 一、力矩一、力矩 1、定義： 位矢位矢 與力與力的矢積為力的矢積為力對轉軸的力矩對轉軸的力矩，用表r F F M 示。 數學表達式為 （27a）FrM 其大小為 (27b) sinrFM 的方向為的方向，按照右手螺旋定M Fr 則判斷。 一般是按照力矩的作用來判斷力矩的正負： 如力矩的作用是使剛體逆時針轉動，則力矩為正；如力矩的作用是 圖 22 力矩 5 / 19 下載文檔可編輯 使剛體順時針轉動，則力矩為負。 在 SI 中,力矩的單位是牛頓米,符號為.mN 2、意義： 力矩是改變物體轉動狀態(tài)的原因。 二、轉動定律和轉動慣量二、轉動定律和轉動慣量 1、轉動定律 （1）推導：如圖所示，為定軸轉動的 一個剛體的轉動平面，m 為剛體中任意一 i 個質元的質量。 是 m 對軸的位矢，F 是 i r ii m 受的外力，f 是 m 受的內力，將 F 與 f iiii 按切向與法向分解，用牛頓第二定律的分量式 F =m和 F =m， inn a it a 分別得: 在法向： （a） 2 coscos iiniiiiii rmamFf 切向： (b） iitiiiiii rmamFfsinsin 圖 2-3 中法向力對轉軸無力矩作用，不必考慮，切向力對轉軸有力 矩作用,將(b)式兩邊分別用 相乘得 i r (C) 2 )sinsin( iiiiiii rmFfr 將(C)式對整個剛體相加可得： )()sinsin( 2 iiiiiii rmFfr 或 （28a）)( 2 iii rmM 將上式中的定義為剛體的轉動慣量轉動慣量，用 I I 表示。即 2 i n in ir m I I = = （29a） 2 i n in ir m 圖 23 剛體的轉動定律 6 / 19 下載文檔可編輯 則式（28a）可寫成： (28b)IM （2）結論：作用于剛體上的合外力矩作用于剛體上的合外力矩等于剛體的轉動慣量等于剛體的轉動慣量 I I 與剛與剛M 體的角加速度體的角加速度的乘積。的乘積。這一規(guī)律稱為剛體定軸轉動的轉動定律轉動定律. . 2、轉動慣量 （1）定義：轉動慣量 I I = = 是一個引入的物理量，它量度 2 i n in ir m 了剛體在轉動中轉動慣性的大小，在 SI 中，轉動慣量 I 的單位是千 克米 ，符號為。 22 mKg （2）轉動慣量的計算：由式（29a）可以看出影響轉動慣量 大小的因素不僅僅是剛體的質量，還包括各質元與轉軸的相對位置， 同樣質量的質元，離轉軸越遠，對轉動慣量的貢獻越大。若剛體中 質元是連續(xù)分布的，所以轉動慣量的計算由積分完成，即 I=I= = dmr 2 dVr 2 （2-9b） 計算物體的轉動慣量是比較困難的，甚至于無法計算，在工程技術 和科學研究中，常常用實驗的方法測量物體的轉動慣量。 （3）關于轉動慣量的兩條規(guī)律： a平行軸定理：平行軸定理：根據實際需要，轉動物體的固定軸可有多種選 擇.設想有兩個彼此平行的轉軸,一個通過剛體的質心,另一個不通過 質心.兩平行軸之間的距離為 d,剛體的質量為 m.如果此剛體對過質 心轉軸的轉動慣量為 I ,對另一轉軸的轉動慣量為 I,那么，可以證 c 明 I 和 I 之間的關系為 c 7 / 19 下載文檔可編輯 I = I + md c 2 (2-10) 上述關系式稱為轉動慣量的平行軸定理平行軸定理. 由上式可見,剛體對過質心轉軸的轉動慣量 Ic,小于剛體對任何與該 質心轉軸相平行的轉軸的轉動慣量 I。 b、對同一轉軸而言,物體各部分轉動慣量之和等于整個物體的轉 動慣量。把這一規(guī)律稱為轉動慣量的可加性。轉動慣量的可加性。 三三 、轉動定律的應用、轉動定律的應用 一個物體系統中如果有若干個物體,其中有的物體在平動,有的 在轉動.這時可以采用“隔離體法”把它們分別“取”出.平動物體 可看作質點,應用牛頓第二定律寫出它們的力學方程.定軸轉動物體, 可以用轉動定律寫出它們的轉動方程,再找出各隔離體的聯系,寫出 必要的關系式,然后,把所有公式聯立求解. 此外,還可以用動能定理.功能原理和機械能守恒定律計算這類 問題. 例例 2-22-2 如圖(2-4a)所示，一輕繩跨過一軸承光滑的定滑輪。繩兩 邊分別懸有質量為的兩個物體 A 和 B，已知小于，滑輪 21 mm、 1 m 2 m 可看作質量均勻分布的等厚圓盤，其質量為，半徑為 r， （因而滑m 輪的轉動慣量為 I =）.設繩與滑輪間無相對滑動.求物體的加 2 2 1 mr 速度？滑輪的角加速度？及繩的張力？ 解：分別把滑輪，物體 A 和物體 B“隔離”出來,畫出它們的受力圖,如 圖(2-4b)所示.由于不計繩的質量, 且 、 . 因為大 1 / 1 TT 2 / 2 TT 2 m 8 / 19 下載文檔可編輯 于,物體 A 的加速度向上,B 的加速度向下,它們的大小相等, 1 m 1 a 2 a 設都用 則 aaaa 21 分別寫出 A、B 的力學方程: amTgm amgmT 222 111 再寫出滑輪的轉動方程: IrTT)( / 1 / 2 由線量與角量的關系得: ra 有牛頓第三定律的: / 11 TT / 22 TT 聯立求解得: g mmm mm a )22( )(2 21 12 r g mmm mm )22( )(2 21 12 g mmm mmm TT )22( )4( 21 21/ 11 g mmm mmm TT )22( )4( 21 12/ 11 上述結果表明，兩側繩中張力的大小不等。 2-32-3 力矩的功力矩的功 剛體轉動的動能定理剛體轉動的動能定理 一、力矩的功一、力矩的功 如圖 2-5 所示，一個繞固定軸轉動的圓盤狀剛體,在圓盤平O O 面上有外力 F 作用于 A 點.把力沿法向和切向分解為法向力和切向 n F 力。圓盤轉動時,法向分力垂直于 A 點的速度,它不做功.因而外 t F n F 力 F 的功等于它的切向分力所做的功,所以: t F 圖 24a 圖 24b 9 / 19 下載文檔可編輯 圖 25 力矩的功 (2-dsFrdFdA t 11) 在上式中,是 A 點在圓周上的位移元,是對應的弧長,rdds 用表示與 對應的角位移,有 ddsrdds 把上式代入式(2-11),得 rdFdA t 上式中的 是外力 F 對轉軸的力矩,于是可以用力矩表示元功: rFtM （2MddA 12） 當剛體從角坐標轉到角坐標時,外力矩共作功: 1 2 (2-13) 2 1 MdA 如果有若干個外力作用于剛體上,先分別計算出每個外力的力矩,求 這些外力矩的代數和,得合外力矩.上式中若是合外力矩,則 A 就是M 合外力矩的功合外力矩的功. 若是恒力矩,與同方向,力矩做的功為 MMd MA 例例 2-32-3 如圖 2-6（a）所示，一個轉輪 A 繞中心軸的轉動慣量為 I，轉動的摩擦力矩為,轉輪半徑為 R,轉輪邊沿繞有輕的細繩， f M 用恒力 F 拉繩，A 輪被拉動轉過 n 圈， （B 輪的質量不計，轉軸光滑） 求: 10 / 19 下載文檔可編輯 （1）拉力和摩擦力矩對輪做的功. （2）若將恒力 F 換成重物 G 來拉滑輪轉動，如圖 2-6（b）其他條 件不變，求繩中張力對輪所做的功.(G=mg) 圖 26 例 23 圖 解:(1)作用在輪上的拉力為恒力 F 時,作用在輪上有兩個力矩 及，輪轉過 n 圈時,角位移 n FRMF f M2 =n= FF MAd2 F MnRF2 =n f A f M2 f M (2)分離轉輪與重物,畫出受力圖,分別用轉動定律和牛頓第二定 律. 對輪有 IMTR f 對重物 G maTG 又因 Ra 聯立解得 ImR MmgR f 2 ImR RMIg T f 2 所以 =2TRMA T nRT2 ImR RMIg nR f 2 二、 剛體的轉動動能剛體的轉動動能 剛體可以看作是有許多質元所組成的。設各質元的質量分別為 11 / 19 下載文檔可編輯 m 、 m .,.各質元與轉軸的距離分別為 r 、r、.,當剛體繞 1212 定軸轉動時,各質元的角速度 相等,但線速度各不相同。設其中第 i 個質元的線速度為，其大小為： i v = r , i v i 則相應的動能為： = = ik E 2 2 1 iiv m 2 )( 2 1 ii rm 22 2 1 iir m 整個剛體的動能是所有各質元的動能之和， 即 = （2 k E n n iir m 1 22) ( 2 1 14 a） 將式（29a）代入上式中可得： 所以剛體轉動動能的表達式為 = (214b) k E 2 2 1 I 三、剛體轉動的動能定理三、剛體轉動的動能定理 力矩對剛體做功是力矩的空間積累過程,將轉動定律對角位移 積分得：d 2 1 2 1 dIdM 上式左邊為力矩做的功,右邊為 = dId dt d Id dt d I 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 II 即: (2-15) 12 2 1 kkk EEEMdA 上式表明:剛體繞定軸轉動合外力矩對剛體所做的功時剛體繞定軸轉動合外力矩對剛體所做的功時, ,等于剛體等于剛體 轉動動能的增量轉動動能的增量.這一規(guī)律稱為剛體轉動的動能定理剛體轉動的動能定理。 例例 2 24 4 如圖 2-7 所示,半徑為 R,質量為 m 的均勻的薄圓盤,盤 1 邊繞有足夠長的輕的細繩,下端掛著一個質量為 m 的重物.開始系統 2 12 / 19 下載文檔可編輯 靜止,釋放后重物向下移動 h 距離,設圓盤軸上摩擦力矩為 M ,求物 f 快下滑到 h 距離時的速度 .v 解: 合外力矩對 m 做的功為 A , 11 外力對 m 做的功為 A , 22 m 下移 h 時,輪轉過位移為, 2 R h 設繩中張力為 T,作 m 和 m 的受力圖， 12 運動方程 (a)IMTR f (b) amTgm 22 又因為 )( 1f MTRAhTgmA)( 22 用動能定理 hTgm R h MTRAAA f )()( 221 22 2 2 1 2 1 IvmEk （c） 22 22 2 1 2 1 )()(IvmhTgm R h MTR f (其中 ) (d)、 2 1 2 1 RmI R v2 解(a)(b)得 2 21 2 ) 2 1 (Rmm MgRm f (e) Rmm MgRmm T f )2( )2( 21 12 將(d)(e)代入(c)得 21 2 2 2 1 )(2 mm R h Mghm v f 圖 27 例 24 圖 13 / 19 下載文檔可編輯 21 2 2 1 )(2 mm R h Mghm v f 若,則 0 1 m0 f Mghv2 2-42-4 角動量定理角動量定理 角動量守恒定律角動量守恒定律 一一 、角動量、角動量 定義：轉動慣量轉動慣量 I I 和角速度和角速度 的乘積稱為剛體對定軸的角動量的乘積稱為剛體對定軸的角動量, 又稱動量矩動量矩。用符號 L L 表示: ( 2-16 )IL 角動量是描述物體轉動狀態(tài)的物理量. 在 SI 中,角動量的單位是千克平方米每秒,符號為 . 12 smkg 二、二、 角動量定理角動量定理 把轉動定律改寫為 : IM dt d IM 剛體對固定軸的轉動慣量 I 是常量,則上式又可以寫成: ( dt dL M 2-17 ) 上式表明,剛體繞定軸轉動時剛體繞定軸轉動時, ,作用于剛體上的合外力矩等于剛作用于剛體上的合外力矩等于剛 體對該定軸的角動量對時間的變化率體對該定軸的角動量對時間的變化率. .這是轉動定律的角動量表示式. 將式(2-17)變換成 dLMdt 如果在 t 到 t 時間內,力矩持續(xù)的作用在轉動剛體上,使剛體的角 12 M 動量從 L 變?yōu)?L ,則得 : 12 14 / 19 下載文檔可編輯 ( 2-18a) 2 1 12 t t LLMdt 或: ( 2-18b ) 12 2 1 IIMdt t t 在上式中, 稱為力矩 在 t 到 t 內的沖量矩沖量矩。式(2-18)表 2 1 t t MdtM 12 明,剛體繞定軸轉動時剛體繞定軸轉動時, ,在給定的時間內在給定的時間內, ,作用于剛體的合外力矩的沖作用于剛體的合外力矩的沖 量矩量矩, ,等于剛體對該定軸的角動量的增量等于剛體對該定軸的角動量的增量. .這一規(guī)律稱為剛體定軸轉剛體定軸轉 動的角動量定理動的角動量定理. 三、三、 角動量守恒定律角動量守恒定律 公式(2-18)中,如果物體所受合外力矩，則0M L = L (2-19a) 12 即： （2-19b） 2211 II 上式表明,當作用于物體的合外力矩等于零時當作用于物體的合外力矩等于零時, ,物體的角動量保持不物體的角動量保持不 變變.這一規(guī)律稱為角動量守恒定律角動量守恒定律. 由 2-19 式表明:當定軸轉動剛體的轉動慣量是常數，即 I 不變時， 若=0，則 保持不變 = ；當定軸轉動剛體的轉動慣量不M 12 是常數，即 I 變化時, 若=O，則 發(fā)生變化 。因此可M 12 以用減小(或增加)物體轉動慣量的手段來加快(或減慢)物體的轉動 速度.此類方法廣泛應用于各種跳、翻、轉的體育動作和舞蹈表演中.例 如跳水運動員在空中翻筋斗時,跳水員先將兩臂伸直,并一某一角速 度離開跳板,跳在空中時,將臂和腿盡量卷縮起來,以減小轉動慣量因 而角速度增大,在空中快速翻轉,當快接近水面時,再伸直臂和腿以增 大轉動慣量,減小角速度以便豎站的進入水中,減少激起的水花. 15 / 19 下載文檔可編輯 角動量守恒定律是自然界的基本定律之一. 例例 2-52-5 質量為,半徑為的均勻實心圓柱體，以角速度 繞其MR 0 幾何軸線轉動。質量為，初速度為的小質點與該圓柱體相碰并m 0 v 粘在圓柱體的邊緣上，如圖 28 所示，求碰撞后該系統的角速度。 解：將圓柱體與小質點去做研究系統，外力 只有重力及支持力，但重力及支持力對轉軸 均無力矩，所以該系統的合外力矩等于零， 因此，角動量守恒。設逆時針轉動為正方向， 則碰撞前該系統繞 O 軸轉動的角動量為 RmvMRL