2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)作業(yè)15 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 文

課時(shí)作業(yè)15導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題12019遼寧遼陽(yáng)期末函數(shù)f(x)x33ln x的最小值為()a0 b1c2 d3解析：函數(shù)f(x)x33ln x的定義域?yàn)?0，)可得f(x)，令f(x)0，可得x1，所以x(0,1)時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的最小值為f(1)1.故選b.答案：b2從邊長(zhǎng)為10 cm16 cm的矩形紙板的四角截去四個(gè)相同的小正方形，作成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，則盒子容積的最大值為()a12 cm3 b72 cm3c144 cm3 d160 cm3解析：設(shè)盒子容積為y cm3，盒子的高為x cm，則x(0,5)，則y(102x)(162x)x4x352x2160x，所以y12x2104x160.令y0，得x2或(舍去)，所以ymax6122144(cm3)答案：c32019皖中名校第二次聯(lián)考已知函數(shù)f(x)(x2mxm)ex2m(m2，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有極小值0，則其極大值是()a4e2或(4ln 2)e22ln 2b4e2或(4ln 2)e22ln 2c4e2或(4ln 2)e22ln 2d4e2或(4ln 2)e22ln 2解析：由題意知，f(x)x2(2m)x2mex(x2)(xm)ex.由f(x)0得，x12，x2m.因?yàn)閙2，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，2)和(m，)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(2，m)內(nèi)單調(diào)遞減于是函數(shù)f(x)的極小值為f(m)0，即(m2m2m)em2m0，(2em)m0，解得m0或mln 2.當(dāng)m0時(shí)，f(x)的極大值為f(2)4e2.當(dāng)mln 2時(shí)，f(x)的極大值為f(2)(4ln 2)e22ln 2.答案：a42020吉林三校聯(lián)合模擬若函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則m的范圍為()a(，1)b(1,2)c(0,2)d(1,2)解析：f(x)，由函數(shù)圖象的單調(diào)性及有兩個(gè)極值點(diǎn)可知m20，故0m1，即m1.故1m2，故選d.答案：d52019廣東廣州第二次模擬已知函數(shù)f(x)exexa與g(x)ln x的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()ae，) b1，)c(，1 d(，e解析：若函數(shù)f(x)exexa與g(x)ln x的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則方程exexa(ln x)在(0，)上有解，即aexexln x在(0，)上有解令h(x)exexln x，則h(x)eexeex，所以當(dāng)0x0，當(dāng)x1時(shí)，h(x)0，所以函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以h(x)在x1處取得最大值1，所以h(x)的值域?yàn)?，1，所以a的取值范圍是(，1故選c.答案：c二、填空題6已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10，則f(2)_.解析：函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10，f(1)10，且f(1)0，即解得或而當(dāng)時(shí)，函數(shù)在x1處無(wú)極值，故舍去f(x)x34x211x16，f(2)18.答案：1872018全國(guó)卷已知函數(shù)f(x)2sin xsin 2x，則f(x)的最小值是_解析：f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，當(dāng)cos x時(shí)，f(x)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增當(dāng)cos x，f(x)有最小值又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，當(dāng)sin x時(shí)，f(x)有最小值，即f(x)min2.答案：8若函數(shù)f(x)x312xa的極大值為11，則f(x)的極小值為_解析：函數(shù)的定義域?yàn)閞，f(x)3x212，令f(x)0，解得x12或x22.列表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)極大值16a極小值16a所以當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有極大值f(2)16a，由題意得16a11，解得a5，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有極小值f(2)16a16521.答案：21三、解答題92019全國(guó)卷已知函數(shù)f(x)(x1)ln xx1.證明：(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；(2)f(x)0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)證明：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)ln x1ln x.因?yàn)閥ln x單調(diào)遞增，y單調(diào)遞減，所以f(x)單調(diào)遞增又f(1)10，故存在唯一x0(1,2)，使得f(x0)0.又當(dāng)xx0時(shí)，f(x)x0時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增因此，f(x)存在唯一的極值點(diǎn)(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)0在(x0，)內(nèi)存在唯一根x.由x01得11，且f(x)ex，令h(x)ex，則h(x)ex0，函數(shù)h(x)ex在(1，)上單調(diào)遞增，且h(0)f(0)0.可知，當(dāng)x(1,0)時(shí)，h(x)f(x)0，f(x)exln(x1)單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,0)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)(2)g(x)f(x)axexln(x1)ax，g(x)f(x)a.由(1)知，g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，當(dāng)x1時(shí)，g(x)；當(dāng)x時(shí)，g(x)，則g(x)0有唯一解，記為x0.可知，當(dāng)x(1，x0)時(shí)，g(x)0，g(x)exln(x1)ax單調(diào)遞增函數(shù)g(x)在xx0處取得極小值，即g(x0)ex0ln(x01)ax0，且x0滿足ex0a.g(x0)(1x0)ex0ln(x01)1.令(x)(1x)exln(x1)1，則(x)x.可知，當(dāng)x(1,0)時(shí)，(x)0，(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(0，)時(shí)，(x)0，(x)單調(diào)遞減，(x)max(0)1.函數(shù)g(x)極小值的最大值為1.能力挑戰(zhàn)112020遼寧沈陽(yáng)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)已知函數(shù)f(x)(x1)2mln x，mr.(1)當(dāng)m2時(shí)，求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,0)處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1x2，求的取值范圍解析：(1)當(dāng)m2時(shí)，f(x)(x1)22ln x，f(x)2(x1)，所以f(1)2，即切線斜率為2，又切點(diǎn)為(1,0)，所以切線方程為2xy20.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2(x1).因?yàn)閤1，x2為函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以x1，x2是方程2x22xm0的兩個(gè)不等實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系知x1x21，x1x2，(*)又x1x2，所以易知0