數(shù)列單元測試題

專題：數(shù)列中的存在性問題1、 單存在性變量解題思路：該類問題往往和恒成立問題伴隨出現(xiàn)（否則就是一個方程有解問題，即零點問題），可以先假設(shè)存在，列出一個等式，通過化簡，整理成關(guān)于任意性變量（一般為n）的方程，然后n的系數(shù)為0，構(gòu)造方程，進而解出存在性變量，最后檢驗。例1、已知數(shù)列的前項和為=，在數(shù)列中，=8，=0，問是否存在常數(shù)使得對任意，恒為常數(shù)，若存在求出常數(shù)和,若不存在說明理由. 解析：假設(shè)存在常數(shù)使得對任意，恒為常數(shù)，=，當(dāng)=1時，則=8，當(dāng)2時，=，當(dāng)=1適合，=，又=0， =，數(shù)列是首項為8，公比為的等比數(shù)列，=，則=，又對任意，恒為常數(shù)，=0，解得=2，=11，存在常數(shù)=2使得對任意，恒為常數(shù)=11.二、雙存在型變量 解題思路：先假設(shè)存在，根據(jù)題目條件，列出一個含有兩個變量（一般至少都為正整數(shù)）的等式，即轉(zhuǎn)化為一個數(shù)論中的雙整數(shù)問題，然后分離變量。如果可以分離常數(shù)，則利用數(shù)論中約數(shù)的知識列出所有可能情況，最后進行雙檢驗，即對兩個變量均進行條件檢驗；如果不可以分離常數(shù)，則利用分離出的變量所具有的隱含范圍（如大于0）消元，進而構(gòu)造一個不等式，解出另一個變量的范圍，再列出求出的被壓縮的范圍里的所有整數(shù)值，分別求出對應(yīng)的另一個存在性變量，最后進行檢驗。例2、【2010南通一?！吭O(shè)等差數(shù)列的前項和為且（1）求數(shù)列的通項公式及前項和公式；（2）設(shè)數(shù)列的通項公式為，問: 是否存在正整數(shù)t，使得成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請說明理由. 【解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d. 由已知得 2分即解得4分.故.6分（2） 由（1）知.要使成等差數(shù)列，必須，即，8分.（3） 整理得， 11分因為m，t為正整數(shù)，所以t只能取2，3，5.當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.故存在正整數(shù)t，使得成等差數(shù)列. 15分例3、設(shè)數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足.（）若成等比數(shù)列，試求的值；（）是否存在，使得數(shù)列中存在某項滿足成等差數(shù)列？若存在，請指出符合題意的的個數(shù)；若不存在，請說明理由.解：（）因為，所以當(dāng)時，3分又當(dāng)時，適合上式，所以（）4分 所以，則，由，得，解得（舍）或，所以7分（）假設(shè)存在，使得成等差數(shù)列，即，則，化簡得12分所以當(dāng)時，分別存在適合題意，即存在這樣，且符合題意的共有9個 14分例4、【2010徐州三?！?已知數(shù)列是各項均不為0的等差數(shù)列，為其前項和，且滿足，令，數(shù)列的前n項和為.（1）求數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和為；（2）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由.解：（1）因為是等差數(shù)列，由，又因為，所以，2分由所以6分(2)由(1)知， 所以， 若成等比數(shù)列，則，即8分解法一：由，可得，所以， 12分從而：，又，且，所以，此時故可知：當(dāng)且僅當(dāng)， 使數(shù)列中的成等比數(shù)列。16分解法二：因為，故，即，12分從而：，（以下同上）3、 三個存在型變量-連續(xù)的解題思路：這類問題的形式一般是，“是否存在連續(xù)的三項，恰好成等差數(shù)列（或等比數(shù)列）”?？梢韵燃僭O(shè)存在，然后構(gòu)造一個關(guān)于單存在性變量的方程，即轉(zhuǎn)化為一個方程有正整數(shù)根的問題，我們可以按照處理零點問題的方法（“解方程”或者“畫圖像”）求解。例5、【揚州2010一?！恳阎獢?shù)列，.求證：數(shù)列為等比數(shù)列；數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項，這三項構(gòu)成等比數(shù)列？試說明理由；設(shè)，其中為常數(shù)，且，求AB.解：=，為常數(shù)數(shù)列為等比數(shù)列-4分取數(shù)列的連續(xù)三項， ，即，數(shù)列中不存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列； -9分當(dāng)時，此時；當(dāng)時，為偶數(shù)；而為奇數(shù)，此時；當(dāng)時，此時；-12分當(dāng)時，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面證明唯一性（即只有符合要求）。由得，設(shè)，則是上的減函數(shù)， 的解只有一個從而當(dāng)且僅當(dāng)時，即，此時；當(dāng)時，發(fā)現(xiàn)符合要求，下面同理可證明唯一性（即只有符合要求）。從而當(dāng)且僅當(dāng)時，即，此時；綜上，當(dāng)，或時，；當(dāng)時，當(dāng)時，。 -16分4、 三個存在型變量-不同的解題思路：這類問題的形式一般是，“是否存在不同的三項，恰好成等差數(shù)列（或等比數(shù)列）”，不難看出，三個存在型變量均出現(xiàn)在下標(biāo)，這就等于給定了兩個隱含條件，其一，三個變量均為正整數(shù)，其二，三個變量互不相等。另外，一旦我們主動去分析數(shù)列的單調(diào)性，那么我們就可以不妨設(shè)出這三個變量的一個大小順序。具體的，該類問題可以分成三類。其一，等差中找等比（無理有理找矛盾）例6、【揚州2010三?！恳阎獢?shù)列滿足：（為常數(shù)），數(shù)列中，。求；證明：數(shù)列為等差數(shù)列；求證：數(shù)列中存在三項構(gòu)成等比數(shù)列時，為有理數(shù)。解：由已知，得，。 4分，又，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列。9分證明：由知， 10分若三個不同的項成等比數(shù)列，、為非負(fù)整數(shù)，且，則，得， 12分若，則，得=，這與矛盾。 14分若，則，、為非負(fù)整數(shù)，是有理數(shù)。16分例7、等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn；(2)設(shè)bn(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列(1)解：由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)證明：由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數(shù)列，則即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr.這與pr相矛盾所以數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列其二，等比中找等差（化簡成整式，通過等式兩邊同除公比的最小次方，進而等式兩邊，一邊為公比的倍數(shù)，另一邊不是公比的倍數(shù)，矛盾）；例8、【無錫市2010年秋學(xué)期高三期末考試】 由部分自然數(shù)構(gòu)成如圖的數(shù)表，用表示第行第個數(shù)（），使，每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個數(shù)的之和。設(shè)第行中各數(shù)之和為。 （1）求； （2）用表示； （3）試問：數(shù)列中是否存在不同的三項，（）恰好成等差數(shù)列？若存在，求出，的關(guān)系；若不存在，請說明理由。 （1）2分 （2）=；6分 （3），8分所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，9分則11分若數(shù)列中存在不同的三項恰好成等差數(shù)列，不妨設(shè)，顯然是遞增數(shù)列，則12分即2，化簡得：（*）14分由于，且，知1，2，所以（*）式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)， 故數(shù)列中不存在不同的三項恰好成等差數(shù)列。16分例9、【2010屆江蘇省海安高級中學(xué)、南京外國語學(xué)校、南京市金陵中學(xué)】已知數(shù)列an的通項公式為an = (nN*).求數(shù)列an的最大項；設(shè)bn = ，試確定實常數(shù)p，使得bn為等比數(shù)列；設(shè)，問：數(shù)列an中是否存在三項，使數(shù)列，是等差數(shù)列？如果存在，求出這三項；如果不存在，說明理由.解 由題意an = 2 + ,隨著n的增大而減小,所以an中的最大項為a1 = 4.4分bn = = = ，若bn為等比數(shù)列，則b bnbn+2= 0(nN* )所以 (2 + p)3n+1 + ( 2 p)2 2 + p)3n + (2 p)(2 + p)3n+2 + (2 p) = 0(nN*)，化簡得(4 p2)(23n+1 3n+2 3n ) = 0即 (4 p2)3n4 = 0,解得p = 2. 7分反之,當(dāng)p = 2時,bn = 3n,bn是等比數(shù)列;當(dāng)p = 2時,bn = 1,bn也是等比數(shù)列.所以,當(dāng)且僅當(dāng)p = 2時bn為等比數(shù)列. 10分因為，若存在三項，使數(shù)列，是等差數(shù)列，則，所以=，12分化簡得（*），因為，所以，所以，（*）左邊，右邊，所以（*）式不可能成立，故數(shù)列an中不存在三項，使數(shù)列，是等差數(shù)列. 16分例10、【無錫市2011一?！恳阎獢?shù)列的首項，（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2） 記，若，求最大的正整數(shù)（3）是否存在互不相等的正整數(shù)，使成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由解：（1），2分且， 3分?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列4分（2）由（1）可求得， 5分，7分若，則，9分（3）假設(shè)存在，則， 10分，12分化簡得：，13分，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立15分又互不相等，不存在16分其三，我們知道，既成等差又成等比的數(shù)列一定是非零的常數(shù)數(shù)列，利用這個性質(zhì)，一旦我們通過分析或者化簡得到三個存在性變量（或者他們經(jīng)過相同變換得到的三個數(shù)）既成等差又成等比，那么即可說明三者相等，而題干說了“互不相等”，從而找出矛盾，說明不存在。例11、【2012上海一聯(lián)】設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成公差為的等差數(shù)列(如：在與之間插入1個數(shù)構(gòu)成第一個等差數(shù)列，其公差為；在與之間插入2個數(shù)構(gòu)成第二個等差數(shù)列，其公差為，以此類推)，設(shè)第個等差數(shù)列的和是. 是否存在一個關(guān)于的多項式，使得對任意恒成立？若存在，求出這個多項式；若不存在，請說明理由；(3)對于(2)中的數(shù)列，這個數(shù)列中是否存在不同的三