2020新教材高中數(shù)學 第十一章 立體幾何初步 11.1.2 構成空間幾何體的基本元素課件 新人教B版必修第四冊

11.1.2構成空間幾何體的基本元素,一、空間中的點、線、面1.思考寧靜的湖面、海面;生活中的課桌面、黑板面;一望無垠的草原給你什么樣的感覺?問題1:生活中的平面有大小之分嗎?提示:有.問題2:幾何中的“平面”是怎樣的?提示:從物體中抽象出來的,絕對平,無大小之分.,2.填空(1)幾何里所說的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的.幾何里的平面是無限延展的.(2)長方體、圓柱、圓錐、球等都是幾何體(幾何體也稱為“體”),包圍著幾何體的是“面”,面與面相交給人“線”的形象,線與線相交給人“點”的形象.這就是說,可以將點、線、面看作構成空間幾何體的基本元素.另外,點運動的軌跡可以是線,線運動的軌跡可以是面,面運動的軌跡可以是體.,(3)一些文字語言與數(shù)學符號的對應關系:,3.做一做(1)如圖,圖的平面可表示為平面、平面abc、平面abd或平面abcd.,(2)圖中,aab,bab,cab,(3)圖中,eef,eab,則abef=e.ef,ef,則=ef.,二、空間中點與直線、直線與直線的位置關系1.思考同一個平面內(nèi)的兩條直線,如果不相交,就一定平行.這一結論可以推廣到空間中的兩條直線嗎?提示:不能,還存在異面的情況,即不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.,2.填空(1)空間中點與直線的位置關系.,(2)空間中直線與直線的位置關系.,溫馨提示:不能誤認為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線.如圖所示,雖然有a,b,即a,b分別在兩個不同的平面內(nèi),但是因為ab=o,所以a與b不是異面直線.,3.做一做(1)判斷正誤.沒有公共點的兩條直線是平行直線.()互相垂直的兩條直線是相交直線.()既不平行又不相交的兩條直線是異面直線.()不在同一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線.()解析:異面直線既不平行,也不相交,故錯誤.正確;互相垂直不一定相交,因為有異面垂直,故錯誤;不在同一平面內(nèi)的兩條直線相交、平行或異面,故錯誤.答案:,(2)若空間兩條直線a和b沒有公共點,則a與b的位置關系是()a.共面b.平行c.異面d.平行或異面解析:若直線a和b共面,則由題意可知ab;若a和b不共面,則由題意可知a與b是異面直線.答案:d,(3)一條直線與兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關系是()a.平行或異面b.相交或異面c.異面d.相交解析:如圖,在長方體abcd-a1b1c1d1中,aa1與bc是異面直線,又aa1bb1,aa1dd1,顯然bb1bc=b,dd1與bc是異面直線.答案:b,三、空間中直線與平面、平面與平面的位置關系1.思考(1)“直線與平面不相交”與“直線與平面沒有公共點”是相同的意義嗎?提示:不是.前者包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)這兩種情況;而后者僅指直線與平面平行.(2)分別位于兩個平行平面內(nèi)的兩條直線有什么位置關系?提示:這兩條直線沒有公共點,故它們的位置關系是平行或異面.,2.填空(1)直線在平面內(nèi)不難看出,圖中,點a,b確定的直線l上的所有點都在平面內(nèi),這稱為直線l在平面內(nèi)(或平面過直線l),記作l;,(2)直線在平面外直線m上至少有一個點不在平面內(nèi),這稱為直線m在平面外,記作m;圖中的m與有且只有一個公共點(稱為直線m與平面相交),一般簡寫為m=b.,(3)直線與平面平行一般地,如果l是空間中的一條直線,是空間中的一個平面,則l與l=有且只有一種情況成立.而且,當l時,要么l,要么l與只有一個公共點;當l=時,稱直線l與平面平行,記作l.(4)平面與平面相交如圖與有公共點,這稱為平面與平面相交,記作.,更進一步可以看出,一個點是與的公共點,當且僅當這個點在直線k上,這可記作=k.,(5)平面與平面平行如果與是空間中的兩個平面,則與=有且只有一種情況成立.而且,當時,與的公共點組成一條直線;當=時,稱平面與平面平行,記作.(6)直線與平面的位置關系列表比較,溫馨提示:一般地,直線a在平面內(nèi)時,應把直線a畫在表示平面的平行四邊形內(nèi),切勿畫出來;直線a與平面相交時,應畫成直線a與平面只有一個公共點,被平面遮住的部分畫成虛線或不畫;直線a與平面平行時,應畫成直線a與表示平面的平行四邊形的一條邊平行,并畫在表示平面的平行四邊形外.,(7)兩個平面的位置關系列表比較,溫馨提示:畫兩個互相平行的平面時,要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行,兩個平行四邊形上下放置.,3.做一做(1)判斷正誤.若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi),則l.()如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行,那么另一條也與這個平面平行.()若直線l與平面平行,則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點.()解析:中當直線l與平面相交時,也滿足條件,但此時l不平行于,不正確,中有另一條在這個平面內(nèi)的情況,不正確,正確.答案:,(2)若m平面,m平面,則與的位置關系是()a.平行b.相交c.異面d.不確定解析:因為m,m,所以與相交于過點m的一條直線.答案:b(3)空間三個平面如果每兩個都相交,那么它們的交線有條.解析:空間三個平面兩兩相交,則有一條交線或三條交線,三條交線平行或相交于一點.答案:1或3,四、直線與平面垂直1.思考魯班是我國古代一位出色的發(fā)明家,他在做木匠活時,常常遇到有關直角的問題.雖然他手頭有畫直角的矩,但用起來很費事.于是,魯班對矩進行改進,做成一把叫做曲尺的“l(fā)”形木尺.現(xiàn)在木工要檢查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)檢查兩次,如圖.如果兩次檢查時,曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合,便可以判定木棒與板面垂直.,問題1:用“l(fā)”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎?提示:不能.問題2:上述問題說明了直線與平面垂直的條件是什么?提示:直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線.問題3:若直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,直線與平面垂直嗎?提示:不一定.,2.填空(1)直線與平面垂直的定義自然語言:一般地,如果直線l與平面相交于一點a,且對平面內(nèi)的任意一條過點a的直線m,都有l(wèi)m,則稱直線l與平面垂直(或l是平面的一條垂線,是直線l的一個垂面),記作l.其中,點a稱為垂足.圖形語言:如圖.,畫直線l與平面垂直時,通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.符號語言:任意a,都有l(wèi)al.,(2)投影、點到平面的距離、直線到平面的距離、兩平行平面之間的距離的定義給定空間中一個平面及一個點a,過a可以作而且只可以作平面的一條垂線.如果記垂足為b,則稱b為a在平面內(nèi)的射影(也稱為投影),線段ab為平面的垂線段,ab的長為點a到平面的距離.特別地,當直線與平面平行時,直線上任意一點到平面的距離稱為這條直線到這個平面的距離;當平面與平面平行時,一個平面上任意一點到另一個平面的距離稱為這兩平行平面之間的距離.,3.做一做直線l平面,直線m,則l與m不可能()a.平行b.相交c.異面d.垂直解析:直線l平面,l與相交,又m,l與m相交或異面,由直線與平面垂直的定義,可知lm.故l與m不可能平行.答案:a,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,文字、圖形、符號三種語言的轉(zhuǎn)化例1用符號語言表示下列語句,并畫出圖形.(1)三個平面,相交于一點p,且平面與平面交于pa,平面與平面交于pb,平面與平面交于pc;(2)平面abd與平面bcd交于bd,平面abc與平面adc交于ac.解:(1)符號語言表示:=p,=pa,=pb,=pc.圖形表示:如圖所示.,(2)符號語言表示:平面abd平面bcd=bd,平面abc平面adc=ac.圖形表示:如圖所示.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,反思感悟?qū)W習幾何問題,三種語言間的互相轉(zhuǎn)化是一種基本技能.要注意符號語言的意義,如點與直線、點與平面間的位置關系只能用“”或“”,直線與平面間的位置關系只能用“”或“”.由圖形語言表示點、線、面的位置關系時,要注意實線和虛線的區(qū)別.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,變式訓練1(1)若點m在直線a上,a在平面內(nèi),則m,a,間的關系可記為.(2)根據(jù)右圖,填入相應的符號:a平面abc,a平面bcd,bd平面abc,平面abc平面acd=.(3)根據(jù)下列條件畫出圖形:平面平面=mn,abc的三個頂點滿足條件amn,b,bmn,c,cmn.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,解:(1)ma,a,m(2)ac(3)如圖所示.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,空間兩條直線位置關系的判定例2已知三條直線a,b,c,a與b異面,b與c異面,則a與c有什么樣的位置關系?并畫圖說明.解:直線a與c的位置關系有三種情況.直線a與c可能平行,如圖;可能相交,如圖;可能異面,如圖.,反思感悟判定兩條直線位置關系的方法判定兩條直線的位置關系時,若要判定直線平行或相交,可用平面幾何中的定義和方法來處理;判定異面直線的方法往往根據(jù)連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線來判斷.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,變式訓練2如圖,在正方體abcd-a1b1c1d1中,判斷下列直線的位置關系:(1)直線a1b與直線d1c的位置關系是;(2)直線a1b與直線b1c的位置關系是;(3)直線d1d與直線d1c的位置關系是;(4)直線ab與直線b1c的位置關系是.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,解析:對于(1),因為a1d1b1c1,b1c1bc,所以a1d1bc,即四邊形a1d1cb為平行四邊形,所以a1bd1c.對于(2),因為直線a1b平面a1b,b1平面a1b,且b1直線a1b,直線cb1平面a1b,所以直線a1b與直線cb1為異面直線.同理(4)中直線ab與直線b1c也是異面直線;對于(3)直線d1d與直線d1c顯然相交.答案:(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,直線與平面的位置關系例3下列五個命題中正確命題的個數(shù)是()如果a,b是兩條直線,ab,那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面;如果直線a和平面滿足a,那么a與平面內(nèi)的任何一條直線平行;如果直線a,b滿足a,b,那么ab;如果直線a,b和平面滿足ab,a,b,那么b;如果a與平面上的無數(shù)條直線平行,那么直線a必平行于平面.a.0b.1c.2d.3,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,解析:如圖所示,答案:b,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,反思感悟空間中直線與平面只有三種位置關系:直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行.在判斷直線與平面的位置關系時,這三種情況都要考慮到,避免遺漏.正方體(長方體)是立體幾何中的重要模型,直線與平面的位置關系都可以在這個模型中得到反映,故我們可以把要判斷位置關系的直線、平面放在正方體(長方體)中,以便正確作出判斷,避免憑空臆斷.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,變式訓練3下列命題中的真命題是()a.若點a,點b,則直線ab與平面相交b.若a,b,則a與b必異面c.若點a,點b,則直線ab平面d.若a,b,則ab解析:選項a正確.對于選項b,如圖顯然錯誤.對于選項c,如圖顯然錯誤.對于選項d,如圖顯然錯誤,故選a.,答案:a,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,兩個平面的位置關系例4,是兩個不重合的平面,下面說法正確的是()a.平面內(nèi)有兩條直線a,b都與平面平行,那么b.平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面,那么c.若直線a與平面和平面都平行,那么d.平面內(nèi)所有的直線都與平面平行,那么,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,解析:,答案:d,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,反思感悟判斷兩平面之間的位置關系時,可把自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言,搞清圖形間的相對位置是確定的還是可變的,借助于直觀想象能力,確定平面間的位置關系.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,變式訓練4如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線,這兩條直線互相平行,那么兩個平面的位置關系一定是()a.平行b.相交c.平行或相交d.不能確定解析:由題目分別在兩個平面內(nèi)的兩直線平行判定兩平面是相交或平行.解答本題可逆向考慮畫兩平行面,看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線.同樣畫兩相交面,看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線,再作出選擇(如圖所示).,答案:c,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,直線和平面垂直的定義例5直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則直線l與平面的關系是()a.l和平面平行b.l和平面垂直c.l在平面內(nèi)d.不能確定,解析:如圖所示,直線l和平面平行,或直線l和平面垂直或直線l在平面內(nèi)都有可能.故選d.,答案:d,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,反思感悟直線和平面垂直的定義是描述性定義,對直線的任意性要注意理解.實際上,“任何一條”與“所有”表達相同的含義.當直線與平面垂直時,該直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何直線.由此可知,如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直,那么這條直線就一定不與這個平面垂直.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,變式訓練5在長方體abcd-a1b1c1d1中,不能作為平面abcd垂線的是()a.aa1b.bb1c.cc1d.ad1答案:d,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,探究六,當堂檢測,線、面位置關系圖形的畫法例6作出下列各題的圖形.(1)畫直線a,b,使a=a,b