2010年高考數(shù)學(xué)真題-圓錐曲線(5)

2010年全國各地高考數(shù)學(xué)真題分章節(jié)分類匯編第10部分:圓錐曲線（解答3）8. （ 2010年高考全國卷I理科21）(本小題滿分12分)（注意：在試題卷上作答無效）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為D .（）證明：點(diǎn)F在直線BD上；（）設(shè)，求的內(nèi)切圓M的方程 .【命題意圖】本小題為解析幾何與平面向量綜合的問題，主要考查拋物線的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)與圓的方程的求解、平面向量的數(shù)量積等知識(shí),考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力、運(yùn)算能力和解決問題的能力，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合思想、設(shè)而不求思想.【解析】（21）解：設(shè)，的方程為.（）由知， 因?yàn)?， 故 ，解得 所以的方程為 又由知 故直線BD的斜率，因而直線BD的方程為因?yàn)镵F為的平分線，故可設(shè)圓心，到及BD的距離分別為.由得，或（舍去），故 圓M的半徑.所以圓M的方程為.9（2010年高考四川卷理科20）（本小題滿分12分）已知定點(diǎn)A(1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N（）求E的方程；（）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由.10（2010年高考江蘇卷試題18）（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m0,。（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）。解析 本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)。考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡(jiǎn)得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。（方法一）當(dāng)時(shí)，直線MN方程為： 令，解得：。此時(shí)必過點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過點(diǎn)D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點(diǎn)。因此，直線MN必過軸上的點(diǎn)（1，0）。11. (2010年全國高考寧夏卷20）（本小題滿分12分）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過斜率為1的直線與相交于兩點(diǎn)，且成等差數(shù)列。（1）求的離心率； （2） 設(shè)點(diǎn)滿足，求的方程（20.）解：（I）由橢圓定義知，又，得的方程為，其中。設(shè)，則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組化簡(jiǎn)的則因?yàn)橹本€AB斜率為1，所以得故所以E的離心率（II）設(shè)AB的中點(diǎn)為，由（I）知，。由，得，即得，從而故橢圓E的方程為。12（2010年高考陜西卷理科20）（本小題滿分13分）如圖，橢圓C：的頂點(diǎn)為A1,A2,B1,B2,焦點(diǎn)為F1,F2, | A1B1|= ,()求橢圓C的方程；()設(shè)n是過原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)、與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)的直線，是否存在上述直線l使成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。解 （1）由知a2+b2=7, 由知a=2c, 又b2=a2-c2 由 解得a2=4,b2=3,故橢圓C的方程為。（2）設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1,y1）(x2,y2)假設(shè)使成立的直線l不存在，（1） 當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m,由l與n垂直相交于P點(diǎn)且得，即m2=k2+1.,13(2010年高考北京市理科19)（本小題共14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.()求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；()設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N，問：是否存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。（19）（共14分）（I）解：因?yàn)辄c(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)得坐標(biāo)為. 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 由題意得 化簡(jiǎn)得 . 故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（II）解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，得坐標(biāo)分別為,. 則直線的方程為，直線的方程為令得，.于是得面積 又直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離.于是的面積 當(dāng)時(shí)，得又，所以=