《拉普拉斯變換》PPT課件.ppt

第十四章拉普拉斯變換,拉普拉斯變換是一個數(shù)學(xué)工具，它可以將時域里的高階微分方程變換為復(fù)頻域里的代數(shù)方程，從而大大簡化求解過程。由于這個變換是唯一的，因而復(fù)頻域里的解也唯一地對應(yīng)著原時域里微分方程的解，通過反變換即可得到微分方程的解。這樣就為分析解決高階電路提供了一個簡便和實用的方法運算法。因此，拉普拉斯變換涉及到正變換和反變換兩方面。,14-1拉普拉斯變換的定義14-2拉普拉斯變換的性質(zhì)14-3拉普拉斯反變換的部分分式展開法14-4運算電路14-5應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路,14-1拉普拉斯變換的定義,一、拉普拉斯變換的由來,（一）傅立葉級數(shù)1、付氏三角級數(shù),如右圖fT(t)是一個周期函數(shù)，非正弦，若加在激勵端分析其響應(yīng)是很困難的，可以用第十三章將非正弦信號分解為傅立葉三角級數(shù)。將其分解為f1(t)+f2(t)。f1(t)和f2(t)均為正弦信號可以分別求其響應(yīng)，而后疊加得到fT(t)的響應(yīng)。,通常，一個周期為T的周期函數(shù)fT(t)，在-T/2，T/2上滿足狄里赫利條件，總可以分解為如下的正弦函數(shù)的和：,其中：T為周期函數(shù)fT(t)的周期；為基波角頻率；,2、傅氏級數(shù)的指數(shù)形式,2、傅氏級數(shù)的指數(shù)形式,式中：,上式可合成為:,故1.1可寫為:,付氏級數(shù)的物理意義：用正弦函數(shù)的疊加來等效任意的非正弦周期函數(shù)。,定義：令n0=，則定義周期函數(shù)fT(t)的傅里葉變換為：,則FT()傅立葉反變換為：,問題：我們遇到的大量的非周期函數(shù)怎么進行傅里葉變換呢？,對于一個非周期函數(shù)f(t)，可以認(rèn)為是周期函數(shù)fT(t)在T時演變而來。,當(dāng)n無窮小時,頻譜就成為連續(xù)的,但Cn仍可以是有限值（因為當(dāng)T時，Cn無窮小），因而仍可定義TCn為非周期函數(shù)的付氏變換,因而對于非周期函數(shù)f(t)（相當(dāng)于T）有：,記為：,1f(t)滿足狄里克利條件2f(t)在(-,+)上絕對可積,成立條件：,4、付氏變換的物理意義：,（1）把f(t)看成無窮多個0頻率、振幅為無窮小的正弦波的合成。F()是頻譜密度，也是單位頻率所貢獻的振幅。,（2）非周期函數(shù)f(t)可表示成-+頻率的指數(shù)函數(shù)的連續(xù)和。,（二）拉普拉斯變換（Laplace變換）,1、問題的提出：,付氏級數(shù)可以將一個非正弦的周期信號分解為若干個不同頻率的正弦信號的疊加。付氏變換則可將時域里的信號f(t)表達式轉(zhuǎn)換為頻率的表達式（頻域），從而方便了頻譜分析。而我們在分析動態(tài)電路，尤其是高階動態(tài)電路時，最困難的是解時域里的高階微分方程。能否借鑒付氏變換的思路，利用數(shù)學(xué)工具將時域函數(shù)也進行一番變換，最后將時域里的高階微分方程，變換成另一域里的代數(shù)方程以便于求解呢？,付氏變換說：存在付氏變換的條件：一是滿足狄里克利條件（連續(xù)或有限個第一間斷點，區(qū)間內(nèi)收斂）；二是在(-,+)上可積，就一定存在古典意義下的付氏變換。但絕對可積的條件是很強的，許多函數(shù)，即使是很簡單的函數(shù)（單位階躍函數(shù)，正弦函數(shù)，余弦，以及線性函數(shù)等）都不滿足這個條件。,其次，可以進行付氏變換的函數(shù)必須在整個自變量軸（時間軸）上有意義。但在物理、電子技術(shù)等實際應(yīng)用中，許多以時間為自變量的函數(shù)往往在t0）。,（1）(t)可以使在t0時的無意義變?yōu)橛幸饬x（均等于0）。因而可以使(-,+)區(qū)間變?yōu)?,+)區(qū)間。（因為在(-,0)上值為0，不需考慮）。,（2）e-t可以使可能不可積的函數(shù)(t)變得絕對可積，最后改造好的函數(shù)為g(t)=(t)(t)e-t。只要選得合適，這個函數(shù)g（t）的付氏變換總是存在的。,于是對(t)乘以(t)和e-t，再求付氏變換的運算，就產(chǎn)生了拉普拉斯變換。,2、拉普拉氏變換,式中S=+j稱為復(fù)頻率算子；f(t)=(t)(t)實際上還是(t)。,上式運算實際上相當(dāng)于對任意函數(shù)f(t)乘以e-st后在0,+上取積分。這個運算就是拉氏變換。此時G()的變量由轉(zhuǎn)為s，可記為F（s）。若將f（t）的拉氏變換記為F(s)，則：,數(shù)學(xué)上可記為0,+，電工中由于需要考慮(t)函數(shù),而(t)又僅在0-0+上有效，為了也能將(t)考慮在內(nèi),因此區(qū)間定為0-+)。,拉氏反變換定義為：,說明:(1)f(t)是時域里的函數(shù)；F(s)是復(fù)頻域(s域)里的函數(shù),與t無關(guān)；拉氏變換是從時域到復(fù)頻域的變換,是唯一的。,（2）式中s=+j是復(fù)變量，稱為復(fù)頻率。為虛變量，是振蕩頻率；為實變量，是衰減系數(shù)。,（3）變換條件：(拉氏變換存在定理),a.在t0時的任意區(qū)間上f(t)分段連續(xù)。,b當(dāng)t時，f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即總存在常數(shù)M0及C0,使下式成立：|f（t）|Mect。（0t+）,滿足條件a、b的f（t）的拉氏變換F（s）總存在：,習(xí)慣上稱F(s)為f(t)的象函數(shù)；而稱f(t)為F(s)的原函數(shù)。,（三）例題,1、求(t)的拉氏變換L(t)。,解：,2、求L（t）,解：,3、求L(t-T),解：,由此可推出如下結(jié)論：如果f（t）F（s），,則f(t-T)(t-T)F(s)e-sT。,4、求et(t)的拉氏變換。,5、求Lsint、Lcost,同理可得：,求拉氏變換式，都是利用定義式通過求積分得到，別無它法。工程上，常常將常用函數(shù)的拉氏變換事先求出來，制成一個對照表。見書上Page294的表格，使用時查表或背會了使用。但表格中能列出的總是有限的，這時可以利用拉氏變換的基本性質(zhì)，由一個拉氏變換式推出另一個函數(shù)的拉氏變換。,14-2拉氏變換的基本性質(zhì),一、唯一性：,定義在0，)區(qū)間上的時域函數(shù)f（t）與其在復(fù)頻域上的象函數(shù)F（s）存在一一對應(yīng)的關(guān)系。,二、線性性質(zhì),如果Lf1（t）=F1(s)，Lf2（t）=F2(s)，則LA1f1(t)+A2f2(t)=A1F1(s)+A2F2(s),例1、f(t)=A(t)A(t-T)求F(s)。,解：,例2、f(t)=A(1-e-t)(t)求Lf(t),例3、f1（t）=sint，f2（t）=cost，求F1（s）和F2（s）。,解：,三、微分性質(zhì)：,若某函數(shù)的象函數(shù)為：Lf(t)=F(s)，則：,例4、求的象函數(shù)。,解：,例5、已知：，求Lcost。,解：,四、積分性質(zhì)：,若Lf(t)=F(s)則：,例6求Lt。,解：,進一步可求得：,其中m為正整數(shù),五延遲性質(zhì)：,如果Lf(t)=F(s)則：,例7求圖示函數(shù)的象函數(shù)。,解：,回顧：,六位移性質(zhì)：,如果Lf(t)=F(s)則：Letf（t）=F(s+)。,例8求Le-tsint,解：,同理可得：,七周期性質(zhì)：,若Lf（t）=F（s），其中：0tT時f（t）=fT（t）；若T為其它值時，f（t）=0，則以f（t）為一個周期的周期函數(shù)fT（t）的象函數(shù)為：,，其中T為周期。,例9、求圖示半波整流電壓u（t）拉氏變換（象函數(shù)）。,解：先利用延遲性質(zhì)求出每個波形的象函數(shù)，然后把無窮多個這種象函數(shù)相加（利用線性性質(zhì)）。（1）第一號波f1（t）的象函數(shù)F1（s）。,(2)求第二號波f2（t）的象函數(shù)F2（s）。,前(n+1)項的和為：,如果利用拉氏變換的周期性質(zhì)會更簡便一些：(1)第一個波形f1（t）的象函數(shù)為：,(2)以f1（t）為一個周期波形，周期為T的周期函數(shù)u（t）的象函數(shù)為：,14-3拉氏反變換（部分分式法）,學(xué)習(xí)拉氏變換的主要目的之一就是通過拉氏變換將時域里難以解決的高階微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（S域）里的代數(shù)方程，便于求解。當(dāng)求出待求量的象函數(shù)后，還必須通過拉氏反變換才能得到時域里待求量的原函數(shù)。因此，拉氏反變換也是解題的極為關(guān)鍵的一步。,拉氏反變換的定義為：,但一般情況求拉氏反變換都不用此定義式，因為這樣的積分太麻煩了。前邊已介紹了拉氏變換的唯一性及常見函數(shù)的拉氏變換對照表。對于比較簡單的拉氏反變換可以通過查P350表得到，但對于較復(fù)雜的象函數(shù)，則可通過下邊的部分分式法分解為簡單的象函數(shù)之和，然后分別查表并利用線性性質(zhì)得到。,部分分式法：,就是將任意一個有理函數(shù)分解為許多簡單項之和，而這些簡單項都可以在拉氏變換表中找到。從而得到完整的拉氏反變換式稱為部分分式法，或稱為分解定理。,部分分式法是進行拉氏反變換的主要方法。,比如：分解為若干個簡單分式之和，從而分別查表得到原函數(shù)。,例如：,由于這里F（s）比較簡單，從分式到部分分式和，可以用觀察法或拼湊法得到，但如果給定的象函數(shù)比較復(fù)雜，用觀察法和拼湊法就不能揍效了。下邊就系統(tǒng)地介紹部分分式法的規(guī)范步驟和方法。,一、F（S）為真分式情況。,1、若分母D（s）=0具有n個單實根：即：,為真分式情況（mn）的情況,先用長除法變成真分式，再用部分分式法求反變換。,例9、，求拉氏反變換（求原函數(shù)）。,解：,在電工技術(shù)中遇到的F（S）在是假分式時，一般情況下為分子分母次數(shù)相同，這時原函數(shù)中出現(xiàn)沖激函數(shù)，若分子的次數(shù)比分母高，原函數(shù)中必然出現(xiàn)沖激函數(shù)的微分。,例如：,14-4運算電路,先回顧一下前幾次課的內(nèi)容：,1、拉普拉斯變換，即由原函數(shù)象函數(shù)；用定義積分和性質(zhì),2、拉普拉斯反變換，由象函數(shù)原函數(shù)；部分分式法,存在的問題：對于一個較復(fù)雜的高階動態(tài)電路來說，寫出高階微分方程本身就是一件十分困難的事，怎么辦？有沒有一個簡單的辦法可以避開寫微分方程，而可以直接方便地寫出對應(yīng)的S域的代數(shù)方程呢？,解題思路是：,時域n階微分方程,S域的代數(shù)方程,待求量的象函數(shù),對應(yīng)的待求量原函數(shù),有！先將時域電路轉(zhuǎn)換為S域的運算電路模型，在運算電路模型中直接寫出S域的代數(shù)方程。,先看電路元件的運算模型：,一、電路元件的運算模型,1、電阻元件R：,時域：u（t）=Ri（t）電阻為R，量綱為；,復(fù)頻域：U（s）=RI（s）,復(fù)阻抗：Z（s）=R,2、電感元件L：,可看作附加電壓源。方向和UL（s）相反。,復(fù)阻抗Z（s）=Ls,3、電容元件C：,時域：電容初值為uc（0）,4、電源us（t），is（t）的運算模型：,思考題：1,思考題2：,思考題3：有互感問題如何畫運算電路。,如果同名端或一個電流方向改變呢？請自己做一下！,二、KCL、KVL方程運算形式：,對任一結(jié)點，KCL：i=0,對任一回路，KVL：u=0,I（s）=0,U（s）=0,14-5應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路,步驟：,1、求出儲能元件的初始值：uC（0-），iL（0-），目的是：求儲能元件的附加電壓源。,2、畫對應(yīng)的運算電路圖。注意：直流電源的運算模型和附加電壓源方向。,3、在運算模型上直接運用KCL、KVL，以及適用于直流電路的所有分析方法和定理，寫出電路方程，求解待求量在S域里的象函數(shù)。,4、用部分分式法進行拉氏反變換，得到對應(yīng)時域電路里的解。,一、例題1、,圖示電路，已知is=1A，us(t)=e-3t，求ic(t)=？（t0）。,解：,（1）求初始值指uc（0-）、iL（0-）：iL（0-）=is=1ALiL（0-）=1uc（0-）=3Vuc（0-）/s=3/s,（2）畫運算電路圖：,（3）建立方程，求出待求量iC（t）的象函數(shù)IC（s），可用4種方法。,支路電流法：,回路法（IC回路方程）：,節(jié)點電壓法：如圖取參考節(jié)點和Un1,Un1,戴維南定理：,（4）拉氏反變換（部分分式法）：,小結(jié)：運算法,1、求獨立初始條件：uc（0-），iL（0-）,2、畫運算電路圖,*獨立電源以象函數(shù)表示。*各支路電壓電流也以象函數(shù)表示。*開關(guān)畫動作后的狀態(tài)。,3、用直流穩(wěn)態(tài)電路的所有方法、定理和定律來建立方程（運算電路的電路方程）求待求量的象函數(shù)。,4、用部分分式法進行拉氏反變換，得到時域里待求量表達式。,例2、具有互感的問題,圖示電路，已知L1=1H，L2=4H，M=2H，R1=R2=1，is=1A。求i1（t），i2（t）（t0）。,解：,求初始值：i1(0)=1Ai2(0-)=0AL1iL(0-)=1，L2iL(0-)=0,畫運算電路圖,或者：,列方程：,拉氏反變換,二、輸入阻抗,例3、,在零狀態(tài)下，將電路轉(zhuǎn)化成運算電路后電路的端口復(fù)阻抗Z（s）。(是s的函數(shù)),求下圖零狀態(tài)電路的輸入阻抗。,解：（1）畫運算電路圖。,（2）用串并聯(lián)關(guān)系求Zin(s)。,比較兩個復(fù)阻抗Z(s)和Z(j)可知：這兩種計算方法是可以類比的，只是算子不同，一個為s，一個為j。都是為了方便分析計算，將電路從時域轉(zhuǎn)換到其它復(fù)頻域中。,思考一下：,如果這個電路加上正弦激勵信號，就可以采用相量法，要畫出相量模型。,例4、,求輸入阻抗Zin(s)。,解：畫運算電路,*零狀態(tài)下，所有附加電壓源為0。*保留受控源不變，控制量用相應(yīng)象函數(shù)表示。*含受控源時求Zin（s）用外加激勵法。,用外加激勵法計算：,三、分析帶強迫躍變的問題,由于電路換路后電路結(jié)構(gòu)的改變，使得電路的電壓或電流被強迫發(fā)生突變。比如書上P306例13-13：,例題5、圖示電路，K在t=0時打開，求：t0時i1(t)，u1(t)，u2(t)。,若在時域里分析非常麻煩，要用到磁通鏈?zhǔn)睾銇矸治?，現(xiàn)在用運算法來分析：,定性分析：集總電路在任何時刻都必須滿足KCL、KVL。在K打開的瞬間t=0+時，也要滿足KCL、KVL。因此會使i1（0+）和i2（0+）強迫達成一致。,解：(1)i1（0）=10/2=5Ai2（0）=0A。,（2）畫運算電路圖：,（3）列方程計算象函數(shù),（4）拉氏反變換,（5）畫出波形：,說明：*應(yīng)用拉氏變換分析電路問題時，從0時