《拉普拉斯變換》PPT課件.ppt

第十四章拉普拉斯變換,拉普拉斯變換是一個(gè)數(shù)學(xué)工具，它可以將時(shí)域里的高階微分方程變換為復(fù)頻域里的代數(shù)方程，從而大大簡化求解過程。由于這個(gè)變換是唯一的，因而復(fù)頻域里的解也唯一地對(duì)應(yīng)著原時(shí)域里微分方程的解，通過反變換即可得到微分方程的解。這樣就為分析解決高階電路提供了一個(gè)簡便和實(shí)用的方法運(yùn)算法。因此，拉普拉斯變換涉及到正變換和反變換兩方面。,14-1拉普拉斯變換的定義14-2拉普拉斯變換的性質(zhì)14-3拉普拉斯反變換的部分分式展開法14-4運(yùn)算電路14-5應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路,14-1拉普拉斯變換的定義,一、拉普拉斯變換的由來,（一）傅立葉級(jí)數(shù)1、付氏三角級(jí)數(shù),如右圖fT(t)是一個(gè)周期函數(shù)，非正弦，若加在激勵(lì)端分析其響應(yīng)是很困難的，可以用第十三章將非正弦信號(hào)分解為傅立葉三角級(jí)數(shù)。將其分解為f1(t)+f2(t)。f1(t)和f2(t)均為正弦信號(hào)可以分別求其響應(yīng)，而后疊加得到fT(t)的響應(yīng)。,通常，一個(gè)周期為T的周期函數(shù)fT(t)，在-T/2，T/2上滿足狄里赫利條件，總可以分解為如下的正弦函數(shù)的和：,其中：T為周期函數(shù)fT(t)的周期；為基波角頻率；,2、傅氏級(jí)數(shù)的指數(shù)形式,2、傅氏級(jí)數(shù)的指數(shù)形式,式中：,上式可合成為:,故1.1可寫為:,付氏級(jí)數(shù)的物理意義：用正弦函數(shù)的疊加來等效任意的非正弦周期函數(shù)。,定義：令n0=，則定義周期函數(shù)fT(t)的傅里葉變換為：,則FT()傅立葉反變換為：,問題：我們遇到的大量的非周期函數(shù)怎么進(jìn)行傅里葉變換呢？,對(duì)于一個(gè)非周期函數(shù)f(t)，可以認(rèn)為是周期函數(shù)fT(t)在T時(shí)演變而來。,當(dāng)n無窮小時(shí),頻譜就成為連續(xù)的,但Cn仍可以是有限值（因?yàn)楫?dāng)T時(shí)，Cn無窮?。?，因而仍可定義TCn為非周期函數(shù)的付氏變換,因而對(duì)于非周期函數(shù)f(t)（相當(dāng)于T）有：,記為：,1f(t)滿足狄里克利條件2f(t)在(-,+)上絕對(duì)可積,成立條件：,4、付氏變換的物理意義：,（1）把f(t)看成無窮多個(gè)0頻率、振幅為無窮小的正弦波的合成。F()是頻譜密度，也是單位頻率所貢獻(xiàn)的振幅。,（2）非周期函數(shù)f(t)可表示成-+頻率的指數(shù)函數(shù)的連續(xù)和。,（二）拉普拉斯變換（Laplace變換）,1、問題的提出：,付氏級(jí)數(shù)可以將一個(gè)非正弦的周期信號(hào)分解為若干個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)的疊加。付氏變換則可將時(shí)域里的信號(hào)f(t)表達(dá)式轉(zhuǎn)換為頻率的表達(dá)式（頻域），從而方便了頻譜分析。而我們?cè)诜治鰟?dòng)態(tài)電路，尤其是高階動(dòng)態(tài)電路時(shí)，最困難的是解時(shí)域里的高階微分方程。能否借鑒付氏變換的思路，利用數(shù)學(xué)工具將時(shí)域函數(shù)也進(jìn)行一番變換，最后將時(shí)域里的高階微分方程，變換成另一域里的代數(shù)方程以便于求解呢？,付氏變換說：存在付氏變換的條件：一是滿足狄里克利條件（連續(xù)或有限個(gè)第一間斷點(diǎn)，區(qū)間內(nèi)收斂）；二是在(-,+)上可積，就一定存在古典意義下的付氏變換。但絕對(duì)可積的條件是很強(qiáng)的，許多函數(shù)，即使是很簡單的函數(shù)（單位階躍函數(shù)，正弦函數(shù)，余弦，以及線性函數(shù)等）都不滿足這個(gè)條件。,其次，可以進(jìn)行付氏變換的函數(shù)必須在整個(gè)自變量軸（時(shí)間軸）上有意義。但在物理、電子技術(shù)等實(shí)際應(yīng)用中，許多以時(shí)間為自變量的函數(shù)往往在t0）。,（1）(t)可以使在t0時(shí)的無意義變?yōu)橛幸饬x（均等于0）。因而可以使(-,+)區(qū)間變?yōu)?,+)區(qū)間。（因?yàn)樵?-,0)上值為0，不需考慮）。,（2）e-t可以使可能不可積的函數(shù)(t)變得絕對(duì)可積，最后改造好的函數(shù)為g(t)=(t)(t)e-t。只要選得合適，這個(gè)函數(shù)g（t）的付氏變換總是存在的。,于是對(duì)(t)乘以(t)和e-t，再求付氏變換的運(yùn)算，就產(chǎn)生了拉普拉斯變換。,2、拉普拉氏變換,式中S=+j稱為復(fù)頻率算子；f(t)=(t)(t)實(shí)際上還是(t)。,上式運(yùn)算實(shí)際上相當(dāng)于對(duì)任意函數(shù)f(t)乘以e-st后在0,+上取積分。這個(gè)運(yùn)算就是拉氏變換。此時(shí)G()的變量由轉(zhuǎn)為s，可記為F（s）。若將f（t）的拉氏變換記為F(s)，則：,數(shù)學(xué)上可記為0,+，電工中由于需要考慮(t)函數(shù),而(t)又僅在0-0+上有效，為了也能將(t)考慮在內(nèi),因此區(qū)間定為0-+)。,拉氏反變換定義為：,說明:(1)f(t)是時(shí)域里的函數(shù)；F(s)是復(fù)頻域(s域)里的函數(shù),與t無關(guān)；拉氏變換是從時(shí)域到復(fù)頻域的變換,是唯一的。,（2）式中s=+j是復(fù)變量，稱為復(fù)頻率。為虛變量，是振蕩頻率；為實(shí)變量，是衰減系數(shù)。,（3）變換條件：(拉氏變換存在定理),a.在t0時(shí)的任意區(qū)間上f(t)分段連續(xù)。,b當(dāng)t時(shí)，f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即總存在常數(shù)M0及C0,使下式成立：|f（t）|Mect。（0t+）,滿足條件a、b的f（t）的拉氏變換F（s）總存在：,習(xí)慣上稱F(s)為f(t)的象函數(shù)；而稱f(t)為F(s)的原函數(shù)。,（三）例題,1、求(t)的拉氏變換L(t)。,解：,2、求L（t）,解：,3、求L(t-T),解：,由此可推出如下結(jié)論：如果f（t）F（s），,則f(t-T)(t-T)F(s)e-sT。,4、求et(t)的拉氏變換。,5、求Lsint、Lcost,同理可得：,求拉氏變換式，都是利用定義式通過求積分得到，別無它法。工程上，常常將常用函數(shù)的拉氏變換事先求出來，制成一個(gè)對(duì)照表。見書上Page294的表格，使用時(shí)查表或背會(huì)了使用。但表格中能列出的總是有限的，這時(shí)可以利用拉氏變換的基本性質(zhì)，由一個(gè)拉氏變換式推出另一個(gè)函數(shù)的拉氏變換。,14-2拉氏變換的基本性質(zhì),一、唯一性：,定義在0，)區(qū)間上的時(shí)域函數(shù)f（t）與其在復(fù)頻域上的象函數(shù)F（s）存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。,二、線性性質(zhì),如果Lf1（t）=F1(s)，Lf2（t）=F2(s)，則LA1f1(t)+A2f2(t)=A1F1(s)+A2F2(s),例1、f(t)=A(t)A(t-T)求F(s)。,解：,例2、f(t)=A(1-e-t)(t)求Lf(t),例3、f1（t）=sint，f2（t）=cost，求F1（s）和F2（s）。,解：,三、微分性質(zhì)：,若某函數(shù)的象函數(shù)為：Lf(t)=F(s)，則：,例4、求的象函數(shù)。,解：,例5、已知：，求Lcost。,解：,四、積分性質(zhì)：,若Lf(t)=F(s)則：,例6求Lt。,解：,進(jìn)一步可求得：,其中m為正整數(shù),五延遲性質(zhì)：,如果Lf(t)=F(s)則：,例7求圖示函數(shù)的象函數(shù)。,解：,回顧：,六位移性質(zhì)：,如果Lf(t)=F(s)則：Letf（t）=F(s+)。,例8求Le-tsint,解：,同理可得：,七周期性質(zhì)：,若Lf（t）=F（s），其中：0tT時(shí)f（t）=fT（t）；若T為其它值時(shí)，f（t）=0，則以f（t）為一個(gè)周期的周期函數(shù)fT（t）的象函數(shù)為：,，其中T為周期。,例9、求圖示半波整流電壓u（t）拉氏變換（象函數(shù)）。,解：先利用延遲性質(zhì)求出每個(gè)波形的象函數(shù)，然后把無窮多個(gè)這種象函數(shù)相加（利用線性性質(zhì)）。（1）第一號(hào)波f1（t）的象函數(shù)F1（s）。,(2)求第二號(hào)波f2（t）的象函數(shù)F2（s）。,前(n+1)項(xiàng)的和為：,如果利用拉氏變換的周期性質(zhì)會(huì)更簡便一些：(1)第一個(gè)波形f1（t）的象函數(shù)為：,(2)以f1（t）為一個(gè)周期波形，周期為T的周期函數(shù)u（t）的象函數(shù)為：,14-3拉氏反變換（部分分式法）,學(xué)習(xí)拉氏變換的主要目的之一就是通過拉氏變換將時(shí)域里難以解決的高階微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（S域）里的代數(shù)方程，便于求解。當(dāng)求出待求量的象函數(shù)后，還必須通過拉氏反變換才能得到時(shí)域里待求量的原函數(shù)。因此，拉氏反變換也是解題的極為關(guān)鍵的一步。,拉氏反變換的定義為：,但一般情況求拉氏反變換都不用此定義式，因?yàn)檫@樣的積分太麻煩了。前邊已介紹了拉氏變換的唯一性及常見函數(shù)的拉氏變換對(duì)照表。對(duì)于比較簡單的拉氏反變換可以通過查P350表得到，但對(duì)于較復(fù)雜的象函數(shù)，則可通過下邊的部分分式法分解為簡單的象函數(shù)之和，然后分別查表并利用線性性質(zhì)得到。,部分分式法：,就是將任意一個(gè)有理函數(shù)分解為許多簡單項(xiàng)之和，而這些簡單項(xiàng)都可以在拉氏變換表中找到。從而得到完整的拉氏反變換式稱為部分分式法，或稱為分解定理。,部分分式法是進(jìn)行拉氏反變換的主要方法。,比如：分解為若干個(gè)簡單分式之和，從而分別查表得到原函數(shù)。,例如：,由于這里F（s）比較簡單，從分式到部分分式和，可以用觀察法或拼湊法得到，但如果給定的象函數(shù)比較復(fù)雜，用觀察法和拼湊法就不能揍效了。下邊就系統(tǒng)地介紹部分分式法的規(guī)范步驟和方法。,一、F（S）為真分式情況。,1、若分母D（s）=0具有n個(gè)單實(shí)根：即：,為真分式情況（mn）的情況,先用長除法變成真分式，再用部分分式法求反變換。,例9、，求拉氏反變換（求原函數(shù)）。,解：,在電工技術(shù)中遇到的F（S）在是假分式時(shí)，一般情況下為分子分母次數(shù)相同，這時(shí)原函數(shù)中出現(xiàn)沖激函數(shù)，若分子的次數(shù)比分母高，原函數(shù)中必然出現(xiàn)沖激函數(shù)的微分。,例如：,14-4運(yùn)算電路,先回顧一下前幾次課的內(nèi)容：,1、拉普拉斯變換，即由原函數(shù)象函數(shù)；用定義積分和性質(zhì),2、拉普拉斯反變換，由象函數(shù)原函數(shù)；部分分式法,存在的問題：對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的高階動(dòng)態(tài)電路來說，寫出高階微分方程本身就是一件十分困難的事，怎么辦？有沒有一個(gè)簡單的辦法可以避開寫微分方程，而可以直接方便地寫出對(duì)應(yīng)的S域的代數(shù)方程呢？,解題思路是：,時(shí)域n階微分方程,S域的代數(shù)方程,待求量的象函數(shù),對(duì)應(yīng)的待求量原函數(shù),有！先將時(shí)域電路轉(zhuǎn)換為S域的運(yùn)算電路模型，在運(yùn)算電路模型中直接寫出S域的代數(shù)方程。,先看電路元件的運(yùn)算模型：,一、電路元件的運(yùn)算模型,1、電阻元件R：,時(shí)域：u（t）=Ri（t）電阻為R，量綱為；,復(fù)頻域：U（s）=RI（s）,復(fù)阻抗：Z（s）=R,2、電感元件L：,可看作附加電壓源。方向和UL（s）相反。,復(fù)阻抗Z（s）=Ls,3、電容元件C：,時(shí)域：電容初值為uc（0）,4、電源us（t），is（t）的運(yùn)算模型：,思考題：1,思考題2：,思考題3：有互感問題如何畫運(yùn)算電路。,如果同名端或一個(gè)電流方向改變呢？請(qǐng)自己做一下！,二、KCL、KVL方程運(yùn)算形式：,對(duì)任一結(jié)點(diǎn)，KCL：i=0,對(duì)任一回路，KVL：u=0,I（s）=0,U（s）=0,14-5應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路,步驟：,1、求出儲(chǔ)能元件的初始值：uC（0-），iL（0-），目的是：求儲(chǔ)能元件的附加電壓源。,2、畫對(duì)應(yīng)的運(yùn)算電路圖。注意：直流電源的運(yùn)算模型和附加電壓源方向。,3、在運(yùn)算模型上直接運(yùn)用KCL、KVL，以及適用于直流電路的所有分析方法和定理，寫出電路方程，求解待求量在S域里的象函數(shù)。,4、用部分分式法進(jìn)行拉氏反變換，得到對(duì)應(yīng)時(shí)域電路里的解。,一、例題1、,圖示電路，已知is=1A，us(t)=e-3t，求ic(t)=？（t0）。,解：,（1）求初始值指uc（0-）、iL（0-）：iL（0-）=is=1ALiL（0-）=1uc（0-）=3Vuc（0-）/s=3/s,（2）畫運(yùn)算電路圖：,（3）建立方程，求出待求量iC（t）的象函數(shù)IC（s），可用4種方法。,支路電流法：,回路法（IC回路方程）：,節(jié)點(diǎn)電壓法：如圖取參考節(jié)點(diǎn)和Un1,Un1,戴維南定理：,（4）拉氏反變換（部分分式法）：,小結(jié)：運(yùn)算法,1、求獨(dú)立初始條件：uc（0-），iL（0-）,2、畫運(yùn)算電路圖,*獨(dú)立電源以象函數(shù)表示。*各支路電壓電流也以象函數(shù)表示。*開關(guān)畫動(dòng)作后的狀態(tài)。,3、用直流穩(wěn)態(tài)電路的所有方法、定理和定律來建立方程（運(yùn)算電路的電路方程）求待求量的象函數(shù)。,4、用部分分式法進(jìn)行拉氏反變換，得到時(shí)域里待求量表達(dá)式。,例2、具有互感的問題,圖示電路，已知L1=1H，L2=4H，M=2H，R1=R2=1，is=1A。求i1（t），i2（t）（t0）。,解：,求初始值：i1(0)=1Ai2(0-)=0AL1iL(0-)=1，L2iL(0-)=0,畫運(yùn)算電路圖,或者：,列方程：,拉氏反變換,二、輸入阻抗,例3、,在零狀態(tài)下，將電路轉(zhuǎn)化成運(yùn)算電路后電路的端口復(fù)阻抗Z（s）。(是s的函數(shù)),求下圖零狀態(tài)電路的輸入阻抗。,解：（1）畫運(yùn)算電路圖。,（2）用串并聯(lián)關(guān)系求Zin(s)。,比較兩個(gè)復(fù)阻抗Z(s)和Z(j)可知：這兩種計(jì)算方法是可以類比的，只是算子不同，一個(gè)為s，一個(gè)為j。都是為了方便分析計(jì)算，將電路從時(shí)域轉(zhuǎn)換到其它復(fù)頻域中。,思考一下：,如果這個(gè)電路加上正弦激勵(lì)信號(hào)，就可以采用相量法，要畫出相量模型。,例4、,求輸入阻抗Zin(s)。,解：畫運(yùn)算電路,*零狀態(tài)下，所有附加電壓源為0。*保留受控源不變，控制量用相應(yīng)象函數(shù)表示。*含受控源時(shí)求Zin（s）用外加激勵(lì)法。,用外加激勵(lì)法計(jì)算：,三、分析帶強(qiáng)迫躍變的問題,由于電路換路后電路結(jié)構(gòu)的改變，使得電路的電壓或電流被強(qiáng)迫發(fā)生突變。比如書上P306例13-13：,例題5、圖示電路，K在t=0時(shí)打開，求：t0時(shí)i1(t)，u1(t)，u2(t)。,若在時(shí)域里分析非常麻煩，要用到磁通鏈?zhǔn)睾銇矸治?，現(xiàn)在用運(yùn)算法來分析：,定性分析：集總電路在任何時(shí)刻都必須滿足KCL、KVL。在K打開的瞬間t=0+時(shí)，也要滿足KCL、KVL。因此會(huì)使i1（0+）和i2（0+）強(qiáng)迫達(dá)成一致。,解：(1)i1（0）=10/2=5Ai2（0）=0A。,（2）畫運(yùn)算電路圖：,（3）列方程計(jì)算象函數(shù),（4）拉氏反變換,（5）畫出波形：,說明：*應(yīng)用拉氏變換分析電路問題時(shí)，從0時(shí)