實驗29混沌現(xiàn)象研究

實驗二十九 混沌現(xiàn)象研究長期以來，人們在認識和描述運動時，大多只局限于線性動力學(xué)描述方法，即確定的運動有一個完美確定的解析解。但是自然界在相當(dāng)多情況下，非線性現(xiàn)象卻起著很大的作用。1963年美國氣象學(xué)家Lorenz在分析天氣預(yù)報模型時，首先發(fā)現(xiàn)空氣動力學(xué)中的混沌現(xiàn)象，該現(xiàn)象只能用非線性動力學(xué)來解釋。于是，1975年混沌作為一個新的科學(xué)名詞首次出現(xiàn)在科學(xué)文獻中。從此，非線性動力學(xué)迅速發(fā)展，并成為有豐富內(nèi)容的研究領(lǐng)域。該學(xué)科涉及非常廣泛的科學(xué)范圍，從電子學(xué)到物理學(xué)，從氣象學(xué)到生態(tài)學(xué)，從數(shù)學(xué)到經(jīng)濟學(xué)等?；煦缤ǔＯ鄳?yīng)于不規(guī)則或非周期性，這是由非線性系統(tǒng)本質(zhì)產(chǎn)生的。本實驗將引導(dǎo)學(xué)生自己建立一個非線性電路，該電路包括有源非線性負阻、LC振蕩器和RC移相器三部分；采用物理實驗方法研究LC振蕩器產(chǎn)生的正弦波與經(jīng)過RC移相器移相的正弦波合成的相圖（李薩如圖），觀測振動周期發(fā)生的分岔及混沌現(xiàn)象；測量非線性單元電路的電流電壓特性，從而對非線性電路及混沌現(xiàn)象有一深刻了解；學(xué)會自己制作和測量一個實用帶鐵磁材料介質(zhì)的電感器以及測量非線性器件伏安特性的方法?！緦嶒炘怼?、非線性電路與非線性動力學(xué)實驗電路如圖30-1所示，圖30-1中只有一個非線性元件R，它是一個有源非線性負阻器件。電感器L和電容器C2組成一個損耗可以忽略的諧振回路；可變電阻R0和電容器C1串聯(lián)將振蕩器產(chǎn)生的正弦信號移相輸出。本實驗所用的非線性元件R是一個五段分段線性元件。圖30-2所示的是該電阻的伏安特性曲線，可以看出加在此非線性元件上電壓與通過它的電流極性是相反的。由于加在此元件上的電壓增加時，通過它的電流卻減小，因而將此元件稱為非線性負阻元件。C2R0 RC1L圖29-2 非線性元件伏安特性I（R）圖29-1 非線性電路原理圖V（R）圖30-1電路的非線性動力學(xué)方程為：C1=G(UC2-UC1)-gUC1C2=G(UC1-UC2)+iL （30-1）L=-UC2式中，UC1、UC2是C1、C2上的電壓，L是電感L上的電流，G=1/R0是電導(dǎo)，在圖5中，為U的函數(shù)，如果R是線性的，g是常數(shù)，電路就是一般的振蕩電路，得到的解是正弦函數(shù)，電阻R0的作用是調(diào)節(jié)C1和、C2的位相差，把C1和C2兩端的電壓分別輸入到示波器的x，y軸，則顯示的圖形是橢圓。如果R是非線性的，會看到什么現(xiàn)象呢？電路中的R是非線性元件，它的伏安特性如圖4所示，是一個分端線性的電阻，整體呈現(xiàn)出非線性。gUC1是一個分段線性函數(shù)。由于g總體是非線性函數(shù)，三元非線性方程組（1）沒有解析解。若用計算機編程進行數(shù)據(jù)計算，當(dāng)取適當(dāng)電路參數(shù)時，可在顯示屏上觀察到模擬實驗的混沌現(xiàn)象見參考資料（6）。 圖29-4 雙運放非線性元件的伏安特性 圖29-3 有源非線性器件 8321+-LF3534657+-LF353R1R2R4R3R5R60IU除了計算機數(shù)學(xué)模擬方法之外，更直接的方法是用示波器來觀察混沌現(xiàn)象，實驗電路如圖5所示，圖5中，非線性電阻是電路的關(guān)鍵，它是通過一個雙運算放大器和六個電阻組合來實現(xiàn)的。電路中，LC并聯(lián)構(gòu)成振蕩電路，R0的作用是分相，使J1和J2兩處輸入示波器的信號產(chǎn)生位相差，可得到x,y兩個信號的合成圖形，雙運放LF353的前級和后級正、負反饋同時存在，正反饋的強弱與比值R3/R0，R6/R0有關(guān)，負反饋的強弱與比值R2/R1，R5/R5有關(guān)。當(dāng)正反饋大于負反饋時，振蕩電路才能維持振蕩。若調(diào)節(jié)R0，正反饋就發(fā)生變化，LF353處于振蕩狀態(tài)，表現(xiàn)出非線性，從C，D兩點看，LF353與六個電阻等效一個非線性電阻，它的伏安特性大致如圖30-4所示。2、有源非線性負阻元件的實現(xiàn)有源非線性負阻元件實現(xiàn)的方法有多種，這里使用的是一種較簡單的電路采用兩個運算放大器（一個雙運放LF353）和六個配制電阻來實現(xiàn)，其電路如圖3所示，它的伏安特性曲線如圖4所示，實驗所要研究的是該非線性元件對整個電路的影響，而非線性負阻元件的作用是使振動周期產(chǎn)生分岔和混沌等一系列非線性現(xiàn)象。實際非線性混沌實驗電路如圖30-5所示圖29-5 非線性電路混沌實驗電路R6R5J2(CH2)J1(CH1)LC2C1R0scope x-yyx321+-LF3534657+-LF353R1R2R4R38CD3、名詞解釋本名詞解釋引自參考資料2中的附錄3 “簡明詞匯”。這些定義是描述性的，并非是標準數(shù)學(xué)定義，但有助于初學(xué)者對這些詞匯的理解。這些詞匯定義多數(shù)是按相空間作出的。分岔：在一族系統(tǒng)中，當(dāng)一個參數(shù)值達到某一臨界值以上時，系統(tǒng)長期行為的一個突然變化。混沌：表征一個動力系統(tǒng)的特征，在該系統(tǒng)中大多數(shù)軌道顯示敏感依賴性，即完全混沌。 有限混沌；表征一個動力系統(tǒng)的特征，在該系統(tǒng)中某些特殊軌道是非周期的，但大多數(shù)軌道是周期或準周期的?！緦嶒瀮x器】實驗用儀器如圖6所示。非線性電路混沌實驗儀由四位半電壓表（量程019.999V，分辯率1V）、-15V0+15V穩(wěn)壓電源和非線性電路混沌實驗線路板三部分組成。觀察倍周期分岔和混沌現(xiàn)象用雙蹤示波器。【實驗內(nèi)容】一、必做內(nèi)容1、測量有源非線性電阻的伏安特性并畫出伏安特性圖（1）由于非線性電阻是含源的，測量時不用電源，用電阻箱調(diào)節(jié)，伏安表并聯(lián)在非線性電阻兩端，再和電阻箱串聯(lián)在一起構(gòu)成回路。(2) 盡量多測數(shù)據(jù)點。 圖29-6 實驗裝置2、倍周期現(xiàn)象、周期性窗口、單吸引子和雙吸引子的觀察、記錄和描述將電容C1和C2上的電壓輸入到示波器的X，Y軸，先把R0調(diào)到最小，示波器上可以觀察到一條直線，調(diào)節(jié)R0，直線變成橢圓，到某一位置，圖形縮成一點。增大示波器的倍率，反向微調(diào)R0，可見曲線作倍周期變化，曲線由一周期增為二周期，由二周期增為四周期直至一系列難以計數(shù)的無首尾的環(huán)狀曲線，這是一個單渦旋吸引子集，再細微調(diào)節(jié)R0，單吸引子突然變成了雙吸引子，只見環(huán)狀曲線在兩個向外渦旋的吸引子之間不斷填充與跳躍，這就是混沌研究文獻中所描述的 “蝴蝶”圖象，也是一種奇怪吸引子，它的特點是整體上的穩(wěn)定性和局域上的不穩(wěn)定性同時存在。利用這個電路，還可以觀察到周期性窗口，仔細調(diào)節(jié)R0，有時原先的混沌吸引子不是倍周期變化,卻突然出現(xiàn)了一個三周期圖象，再微調(diào)R0，又出現(xiàn)混沌吸引子，這一現(xiàn)象稱為出現(xiàn)了周期性窗口。混沌現(xiàn)象的另一個特征是對于初值的敏感性。觀察并記錄不同倍周期時UC1-t圖和R0的值。 二、選做內(nèi)容測量一個鐵氧體電感器的電感量，觀測倍周期分岔和混沌現(xiàn)象。1、按圖5所示電路接線。其中電感器L由實驗者用漆包銅線手工纏繞?？稍诰€框上繞7585圈，然后裝上鐵氧體磁芯，并把引出漆包線端點上的絕緣漆用刀片刮去，使兩端點導(dǎo)電性能良好。也可以用儀器附帶鐵氧體電感器。2、串聯(lián)諧振法測電感器電感量。把自制電感器、電阻箱（取30.00）串聯(lián)，并與低頻信號發(fā)生器相接。用示波器測量電阻兩端的電壓，調(diào)節(jié)低頻信號發(fā)生器正弦波頻率，使電阻兩端電壓達到最大值。同時，測量通過電阻的電流值I。要求達到I=5mA（有效值）時，測量電感器的電感量實驗步驟1、倍周期分岔和混沌現(xiàn)象的觀測及相圖描繪1.1、按圖5接好實驗面板圖，將方程（1）中的1/G即RV1+RV2值放到較大某值，這時示波器出現(xiàn)李薩如圖，如圖7-a所示，用掃描檔觀測為二個具有一定相移（相位差）的正弦波。1.2、逐步減小1/G值，開始出現(xiàn)二個“分列”的環(huán)圖，出現(xiàn)了分岔現(xiàn)象，即由原來1倍周期變?yōu)?倍周期，示波器上顯示李薩如圖，如圖7-b所示。1.3、繼續(xù)減小1/G值，出現(xiàn)4倍周期（如圖7-c所示）、8倍周期、16倍周期與陣發(fā)混沌交替現(xiàn)象，陣發(fā)混沌見圖7-d。1.4、再減小1/G值，出現(xiàn)了3倍周期，如圖7-e所示，圖象十分清楚穩(wěn)定。根據(jù)Yorke的著名論斷“周期3意味著混沌”，說明電路即將出現(xiàn)混沌。1.5、繼續(xù)減小1/G，則出現(xiàn)單個吸引子，如圖7-f 所示。1.6、再減小1/G，出現(xiàn)雙吸引子，如圖7-g所示。2、電感量與工作電流的關(guān)系由于在本實驗中制作線圈時使用了磁芯，因而線圈的電感對電流的變化非常明顯，以下測量到的數(shù)據(jù)可以很清楚地說明這一點，但由于本實驗對混沌現(xiàn)象只用于定性半定量的觀察，因而對實驗影響并不大。3、測量電感L特性的方法CH2測量R兩端電壓。保持信號發(fā)生器輸出電壓不變，調(diào)節(jié)頻率，當(dāng)CH2測得的電壓最大時，RLC串聯(lián)電路達到諧振。CH1LCRCH2圖30-8 測量電感的電路電感諧振時有L=1/C f0=1/2 L=1/42Cf20 UR=UCH2/2，回路中電流的有效值I=UR/R其中f0為諧振頻率，UCH2表示CH2波形的峰-峰電壓，UR表示電阻R兩端輸出的電壓。測量的實驗數(shù)據(jù)記錄表如表1所示 表1 電感L隨電流I變化的數(shù)據(jù)表f0/kHZI/mAL/mH4、有源非線性負阻元件的伏安特性雙運算放大器中2個對稱放大器各自的配置電阻相差100倍，這就使得2個放大器輸出電流的總和，在不同的工作電壓段，輸出總電流隨電壓變化關(guān)系不相同（其中一個放大器達到電流飽和，另一個尚未飽和），因而出現(xiàn)了非線性的伏安特性。測量結(jié)果如表2，實驗電路如圖11所示。R為外接電阻箱R有源非線性負阻(接通電源的雙運放) VRR 圖29-9 有源非線性負阻元件伏安特性原理圖5、有源非線性電路的伏安特性曲線測量有源非線性負阻元件一般滿足“蔡氏電路”的特性曲線。實驗中，將電路的LC振蕩部分與非線性電阻直接斷開，圖8的伏特表用來測量非線性元件兩端的電壓。由于非線性電阻是有源的，因此回路中始終有電流流過，R使用的是電阻箱，其作用是改變非線性元件的對外輸出。使用電阻箱可以得到很精確的電阻，尤其可以對電阻值做微小的改變，因而微小地改變輸出。實驗測得數(shù)據(jù)記錄