2020屆江蘇高三高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷03(解析版）

2020屆江蘇高三高考數(shù)學(xué)全真模擬試卷03數(shù)學(xué)試題I一、 填空題（共70分）1.設(shè)全集Ux|x1，集合AU.若UAx|x9，則集合A_答案：x|19，Ux|x1，AU，所以Ax|10)，且yf(x)的圖象的一個(gè)對稱中心到最近的對稱軸的距離為，則f(x)在區(qū)間上的最大值為_. 答案：1解析：f(x)(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin 2xcos.由題意得，所以1，所以f(x)cos.因?yàn)閤，所以，所以f(x)的最大值為1.9若ba1且3loga b6logb a11，則a3的最小值為_答案：21解析：由3loga b6logb a11，可得loga b3或loga b.因?yàn)閎a1，所以loga b3，即ba3，所以a3bb11.因?yàn)閎1，所以b12，即a321，當(dāng)且僅當(dāng)b1時(shí)取等號10已知P是圓x2y21上一動點(diǎn)，AB是圓(x5)2(y12)24的一條動弦(A，B是直徑的兩個(gè)端點(diǎn))，則的取值范圍是_答案：140，192解析：設(shè)圓x2y21的圓心為O1，圓(x5)2(y12)24的圓心為O2，()()24，max114，min112，所以的最大值為192，最小值為140.13若a0，b0，且函數(shù)f(x)aex(b38)x在x0處取得極值，則a3b的取值范圍是_答案：(6，10解析：因?yàn)閒(x)aex(b38)，由題意得a(b38)0，所以a8b3，所以a3b8b33b.令g(b)8b33b，g(b)3b233(b1)(b1)因?yàn)閍0，所以8b30.又b0，所以0b2，所以g(b)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，所以g(b)(6，1014在ABC中，邊a，b，c所對應(yīng)的角分別為A，B，C.若2sin2B3sin2C2sin Asin Bsin Csin2A，則tan A_答案：1解析：由2sin2B3sin2C2sin Asin Bsin Csin2A及正弦定理，得2b23c22bcsin Aa2，所以b2c2a2b22c22bcsin A由余弦定理得2bccos Ab22c22bcsin A，即sin Acos A，而sin Acos Asin，所以sin Acos Asin.因?yàn)?A，所以A，所以tan A1.二、 解答題：本大題共6小題，共90分. 解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分14分)在ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c.已知(sin Csin A)sin B.(1) 求的值；(2) 若b，求ABC的面積解：(1) 由正弦定理，(ca)b.(4分)(2) (8分) cos Bsin B，(12分) ABC的面積Sacsin B.(14分)16. (本小題滿分14分)如圖，在四棱錐PABCD中，M是PA上的點(diǎn)，ABD為正三角形，CBCD，PABD.(1) 求證：平面MBD平面PAC；(2) 若BCD120，DM平面BPC，求證：點(diǎn)M為線段PA的中點(diǎn) 證明：(1) 取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)OA，OC， ABD為正三角形， OABD. CBCD， OCBD.在平面ABCD內(nèi)，過O點(diǎn)垂直于BD的直線有且只有一條， A，O，C三點(diǎn)共線，即ACBD.(2分) PABD，AC，PA平面PAC，ACPAA， BD平面PAC.(4分) BD平面MBD， 平面MBD平面PAC.(6分)(2) (證法1)延長BC，AD，交于Q點(diǎn)，連結(jié)PQ， DM平面BPC，DM平面PAQ，平面BPC平面PAQPQ， DMPQ.(8分)在CBD中， CBCD，BCD120， CBD30， ABC306090， ABO為直角三角形 在RtABQ中，BAQ60， AQ2AB2AD， 點(diǎn)D是AQ的中點(diǎn)，(12分) 點(diǎn)M為線段PA的中點(diǎn)(14分)(證法2)取AB的中點(diǎn)N，連結(jié)MN和DN，易算得ABC90，即ABBC. ABD為正三角形， DNAB.又DN，BC，AB共面， DNCB. DN平面BPC，CB平面BPC， DN平面BPC.(8分) DM平面BPC，DN，DM平面DMN， 平面DMN平面BPC.(12分) MN平面DMN， MN平面BPC. MN平面PAB，平面PAB平面BPCPB， MNPB. N是AB的中點(diǎn)， M為線段PA的中點(diǎn)(14分)17. (本小題滿分14分)如圖，一塊地皮OAB，其中OA，AB是直線段，曲線段OB是拋物線的一部分，且點(diǎn)O是該拋物線的頂點(diǎn)，OA所在的直線是該拋物線的對稱軸經(jīng)測量，OA2 km，AB km，OAB.現(xiàn)要從這塊地皮中劃一個(gè)矩形CDEF來建造草坪，其中點(diǎn)C在曲線段OB上，點(diǎn)D，E在直線段OA上，點(diǎn)F在直線段AB上，設(shè)CDa km，矩形草坪CDEF的面積為f(a) km2.(1) 求f(a)，并寫出定義域；(2) 當(dāng)a為多少時(shí)，矩形草坪CDEF的面積最大？解：(1) 以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OA邊所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)B作BGOA于點(diǎn)G，在RtABC中，AB，OAB，所以AGBG1.因?yàn)镺A2，所以O(shè)G1，則B(1，1)設(shè)拋物線OCB的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)，得p，所以拋物線OCB的方程為y2x.(4分)因?yàn)镃Da，所以AEEFa，則DE2aa2，所以f(a)a(2aa2)a3a22a，定義域?yàn)?0，1)(8分)(2) 由題意得f(a)3a22a2，令f(a)0，得a或(舍)(10分)當(dāng)0a0，f(a)在上單調(diào)遞增；當(dāng)a1時(shí)，f(a)0)，則kPQ，kPA，kPB.(4分)因?yàn)橹本€PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差數(shù)列，所以2kPQkPAkPB，即，解得x0，即動點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為定值(8分)(2) 由(1)知P，kPA2y0，kPBy0，直線PA的方程為y2y0(x1)，代入x2y21得(x1)(14y)x(14y)0，所以點(diǎn)S的橫坐標(biāo)xS，從而yS.同理：xT，yT，(12分) 所以kQS，kQT，所以kQSkQT，所以點(diǎn)Q，S，T三點(diǎn)共線(16分) 19. (本小題滿分16分)設(shè)f(x)exsin xax(a為常數(shù))，x0，2(1) 當(dāng)a0時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若f(x)在區(qū)間(0，2)的極大值、極小值各有一個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1) 當(dāng)a0時(shí)，f(x)ex(sin xcos x)exsin.(2分)令f(x)0，則0x，x2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；(4分)令f(x)0，則x0，則cos x0，0x，x2.令g(x)0，則cos x0，xgg(0)g.(10分)若g0恒成立，則f(x)0，f (x)在(0，2)上單調(diào)遞增，故f(x)在(0，2)內(nèi)無極值，所以g0，g(2)0，于是在區(qū)間，內(nèi)f(x)分別有極大值、極小值各一個(gè)，則在內(nèi)必?zé)o極值點(diǎn)，從而g(0)0.(14分)1a0，且ab1，求證：2.證明：因?yàn)?)2(2a12b1)(1212)8，所以2.(10分)【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22. 如圖，在三棱錐ABCD中，已知ABD，BCD都是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，且AE平面BCD，F(xiàn)為線段AB上一動點(diǎn)，記.(1) 當(dāng)時(shí)，求異面直線DF與BC所成角的余弦值；(2) 當(dāng)CF與平面ACD所成角的正弦值為時(shí)，求的值解：連結(jié)CE, 以E點(diǎn)為原點(diǎn)，以EB，EC，EA所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，0)，D(1，0，0)因?yàn)镕為線段AB上一動點(diǎn)，且，則(1，0，)(，0，)，所以F(1，0，)(1) 當(dāng)時(shí)，F(xiàn)，(1，0)，所以cos ，.(4分)(2) (1，)，設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)由n，n得化簡得令x，則y1，z1，取n(，1，1)設(shè)CF與平面ACD所成角為，則sin |cos ，n|，解得或2(舍)，所以.(10分)23. 設(shè)(12)2n1anbn(nN*，anZ，bnZ)求證：(1) a8b能被7整除；(2) bn不能被5整除23. 證明：(1) 因?yàn)?(12)2n1CC(2)C(2)2C(2)2n1，(12)2n1CC(2)C(2)2C(2)2n1，又(12)2n1an2bn，所以(12)2n1an2bn，所以(12)2n1(12)2n1(an2bn)(an2bn)，即a8b72n1，所以a8b能被7整除(5分