北航數(shù)學(xué)競賽

北京航空航天大學(xué)2010年數(shù)學(xué)競賽答案一.填空題（本題共60分）1. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，對任意正數(shù)，有，且，則_2. 設(shè) 則_3. 已知在內(nèi)可導(dǎo)，且，則_4. 已知 則5. 當(dāng)滿足_時，級數(shù)絕對收斂.6. _7. 已知，且在上有，則_8. 計算積分 _9. 設(shè)是八面體的表面，則積分=_10. 設(shè)由曲線與直線所圍的均勻薄片(面密度為)繞過原點(diǎn)的任意直線的轉(zhuǎn)動，則該轉(zhuǎn)動慣量中的最小值為_二. (本題10分) 設(shè) , 試問中哪一個的變動對R影響最大?解 ,兩邊取全微分故, , 由于 , 所以因此的變動對R影響最大.三、(本題10分) 已知 .（1）證明；（2）求 .解: .設(shè) ，, ,所以 四、(本題10分) 計算曲面積分 其中 的部分的外側(cè).解: 作輔助曲面下側(cè)；，下側(cè)。原式=，原式=.五、(本題10分) 求最小的實數(shù)C， 使得滿足的連續(xù)函數(shù)都有.解: 一方面 。另一方面， 取 , 則, 而因此最小的實數(shù)C=2.北京航空航天大學(xué)2009年數(shù)學(xué)競賽試題解答一、填空題（每題5分）1. 2. 設(shè) 則3. 當(dāng)是等價無窮小，則4. 設(shè) 則5. 設(shè) 6. 求二重積分7. 已知 8設(shè)曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)依次為、，則變力沿該曲線做功為。9已知，則10設(shè)有向曲面外側(cè)。則積分 二、 設(shè)函數(shù) 試討論函數(shù)的奇偶性，并求 ，偶函數(shù)。三、 設(shè) 試判別級數(shù)的斂散性.，因為所以級數(shù)收斂。四、計算曲面積分 .其中是曲面介于兩平面之間的那部分表面的外側(cè)。作輔助平面上側(cè)，下側(cè)，五、 在曲面：內(nèi)如何作內(nèi)接長方體，才能使得長方體的體積最大？求最大體積。在第一卦限的上取一點(diǎn)做為長方體的頂點(diǎn)，則該長方體的體積為設(shè)拉格朗日函數(shù)，解得最大體積為六、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，滿足，且 試證明：在內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得證明：設(shè)輔助函數(shù)則又由知，從而存在使得由羅爾定理知在內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得，即有北京航空航天大學(xué)2008年數(shù)學(xué)競賽試卷一填空題（每題4分，共40分） 二(10分)求三(10分). 四(10分). 五(10分). 已知函數(shù)為上的連續(xù)函數(shù), 且滿足方程, 求的表達(dá)式.六(10分).七(10分). 求,其中C為曲線(R0),若從 z軸正向看去，C為逆時針方向.北京航空航天大學(xué)2007年數(shù)學(xué)競賽試卷一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分) 設(shè)是的次多項式，。1. 證明對任意的正整數(shù)，有2. 證明對任意的正整數(shù)，有三、(本題10分) 已知函數(shù)計算四、(本題10分) 五、(本題10分) 計算六、(本題10分)七、(本題10分) 北京航空航天大學(xué)2006年數(shù)學(xué)競賽試卷一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分) 三、(本題10分) 四、(本題10分) 五、(本題10分) 六、(本題10分)七、(本題10分) 北京航空航天大學(xué)2005年數(shù)學(xué)競賽試卷一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分)三、(本題10分)四、(本題10分)五、(本題10分)六、(本題10分)七、(本題10分)北京航空航天大學(xué)2004年數(shù)學(xué)競賽試卷一、 填空題（本題共40分）二、(本題10分)三、(本題10分)四、(本題10分)五、(本題10分)六、(本題10分)七、(本題10分)第十九屆北京市大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽本科甲、乙組試題解答一、填空題（每小題3分，共30分）1. = 1/6 .2設(shè)連續(xù)，在處可導(dǎo)，且滿足 則曲線在處的切線方程為 y=2x2 .3. 設(shè), 則 2 . 4設(shè)函數(shù)可導(dǎo)且，二元函數(shù)滿足，則 .5. 設(shè)是由曲線 和直線, 所圍成的區(qū)域, 是連續(xù)函數(shù), 則 2 . 6. .7. 數(shù)項級數(shù)的和 1+cos1+ln2. 8. 計算積分= 1/2 .9. 已知入射光線的路徑為, 則此光線經(jīng)過平面反射后的反射線方程為 . 10. 設(shè)曲線的長度為L, 則 . 二、(10分) 設(shè)在上二階可導(dǎo)，且而當(dāng)時, 證明在內(nèi)，方程有且僅有一個實根證明 由于當(dāng)時，因此單調(diào)減，從而，于是又有嚴(yán)格單調(diào)減再由知，最多只有一個實根下面證明必有一實根當(dāng)時， 即 ，上式右端當(dāng)時，趨于，因此當(dāng)充分大時，于是存在，使得，由介值定理存在，使得綜上所述，知在有而且只有一個實根 三、(10分) 設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 且, 證明 在取得極值, 判斷此極值是極大值還是極小值, 并求出此極值.解 , 由全微分的定義知 . A=， ， , 且, 故是極大值. 四、(10分) 設(shè)f (x)在 0,1 上連續(xù), f (0)= f (1) , 求證:對于任意正整數(shù)，必存在，使證明令于是有 所以故存在使五、(10分) 六、(10分) 設(shè)函數(shù)除原點(diǎn)外處處具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),在圍繞原點(diǎn)的任意光滑簡單閉曲面上,積分的值恒為同一常數(shù). (1)證明: 對空間區(qū)域內(nèi)的任意光滑簡單閉曲面,有; (2) 求函數(shù)滿足的表達(dá)式. (1)證明: 如圖, 將分解為,另做曲面圍繞原點(diǎn)且與相接, 則=0.(2) 由(1)可知, ,其通解為, 由, 得,故七、(10分) 如圖, 一平面均勻薄片是由拋物線 及軸所圍成的, 現(xiàn)要求當(dāng)此薄片以為支點(diǎn)向右方傾斜時, 只要角不超過, 則該薄片便不會向右翻倒,問參數(shù)最大不能超過多少? yM解 傾斜前薄片的質(zhì)心在, 點(diǎn)與點(diǎn)的距離為, 薄片不翻倒的臨界位置的質(zhì)心在點(diǎn), 此時薄片底邊中心在點(diǎn)處, 有 , 解得, 故最大不能超過. .八、(10分) 討論是否存在 0,2 上滿足下列條件的函數(shù), 并闡述理由: f (x) 在 0,2 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù), f (0) = f (2)=1, 解