第七章-電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析

第7章 電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析 電力系統(tǒng)在運(yùn)行過程中無時(shí)不遭受到一些小的干擾，例如負(fù)荷的隨機(jī)變化及隨后的發(fā)電機(jī)組調(diào)節(jié)；因風(fēng)吹引起架空線路線間距離變化從而導(dǎo)致線路等值電抗的變化，等等。這些現(xiàn)象隨時(shí)都在發(fā)生。和第6章所述的大干擾不同，小干擾的發(fā)生一般不會(huì)引起系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的變化。電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析研究遭受小干擾后電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 系統(tǒng)在小干擾作用下所產(chǎn)生的振蕩如果能夠被抑制，以至于在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間以后，系統(tǒng)狀態(tài)的偏移足夠小，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。相反，如果振蕩的幅值不斷增大或無限地維持下去，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。遭受小干擾后的系統(tǒng)是否穩(wěn)定與很多因素有關(guān)，主要包括：初始運(yùn)行狀態(tài)，輸電系統(tǒng)中各元件聯(lián)系的緊密程度，以及各種控制裝置的特性等等。由于電力系統(tǒng)運(yùn)行過程中難以避免小干擾的存在，一個(gè)小干擾不穩(wěn)定的系統(tǒng)在實(shí)際中難以正常運(yùn)行。換言之，正常運(yùn)行的電力系統(tǒng)首先應(yīng)該是小干擾穩(wěn)定的。因此，進(jìn)行電力系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定分析，判斷系統(tǒng)在指定運(yùn)行方式下是否穩(wěn)定，也是電力系統(tǒng)分析中最基本和最重要的任務(wù)。 雖然我們可以用第6章介紹的方法分析系統(tǒng)在遭受小干擾后的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，進(jìn)而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，然而利用這種方法進(jìn)行電力系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定分析，除了計(jì)算速度慢之外，最大的缺點(diǎn)是當(dāng)?shù)贸鱿到y(tǒng)不穩(wěn)定的結(jié)論后，不能對(duì)系統(tǒng)不穩(wěn)定的現(xiàn)象和原因進(jìn)行深入的分析。李雅普諾夫線性化方法為分析遭受小干擾后系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了更為有力的工具。借助于線性系統(tǒng)特征分析的豐富成果，李雅普諾夫線性化方法在電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析中獲得了廣泛的應(yīng)用。 下面我們首先介紹電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 李雅普諾夫線性化方法與非線性系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性有關(guān)。從直觀上來理解，非線性系統(tǒng)在小范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)當(dāng)與它的線性化近似具有相似的特性。將式(6-290)所描述的非線性系統(tǒng)在原點(diǎn)泰勒展開，得式中：如果在鄰域內(nèi)是的高階無窮小量，則往往可以用線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性來研究式(6-288)所描述的非線性系統(tǒng)在點(diǎn)的穩(wěn)定性1：(1)如果線性化后的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，即當(dāng)?shù)乃刑卣髦档膶?shí)部均為負(fù)，那么實(shí)際的非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。 (2)如果線性化后的系統(tǒng)不穩(wěn)定，即當(dāng)?shù)乃刑卣髦抵兄辽儆幸粋€(gè)實(shí)部為正，那么實(shí)際的非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。 (3)如果線性化后的系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，即當(dāng)?shù)乃刑卣髦抵袩o實(shí)部為正的特征值，但至少有一個(gè)實(shí)部為零的特征值，那么不能從線性近似中得出關(guān)于實(shí)際非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的任何結(jié)論。 顯然，李雅普諾夫線性化方法的基本思想是，從非線性系統(tǒng)的線性逼近穩(wěn)定性質(zhì)得出非線性系統(tǒng)在一個(gè)平衡點(diǎn)附近的局部穩(wěn)定性的結(jié)論。 在進(jìn)行電力系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定分析時(shí)，我們總是假設(shè)正常運(yùn)行的系統(tǒng)(運(yùn)行在平衡點(diǎn)或)在時(shí)刻遭受瞬時(shí)干擾，系統(tǒng)的狀態(tài)在該時(shí)刻由0點(diǎn)轉(zhuǎn)移至。這個(gè)就是干擾消失后系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)。由于干擾足夠小，處的一個(gè)足夠小的鄰城內(nèi)，從而使得在的鄰域內(nèi)是的高階無窮小量。因此，根據(jù)李雅普諾夫線性化理論，可以用線性化系統(tǒng)的穩(wěn)定性來研究實(shí)際非線性電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為此，將描述電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的微分-代數(shù)方程式(6-1)、式(6-2)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點(diǎn)線性化，得式中：記表示實(shí)數(shù)集合，表示維實(shí)向量空間，為所有行列實(shí)數(shù)矩陣組成的向量空間。定義等于，即中的元素是列向量；另一方面， 中的元素是行向量。顯然，上式中。在式(7-3)中消去運(yùn)行向量，得到式中：矩陣，通常被稱為狀態(tài)矩陣或系數(shù)矩陣。 由此可見，小干擾穩(wěn)定性分析實(shí)際上是研究電力系統(tǒng)的局部特性，即干擾前平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性。顯然，應(yīng)用李雅普諾夫線性化方法研究電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性的理論基礎(chǔ)是干擾應(yīng)足夠微小。因此我們說這樣的干擾為小干擾，當(dāng)此干擾作用于系統(tǒng)后，暫態(tài)過程中系統(tǒng)的狀態(tài)變量只有很小的變化，線性化系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性能夠保證實(shí)際非線性系統(tǒng)的某種漸近穩(wěn)定性。 至此，我們知道，穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況下電力系統(tǒng)遭受到足夠小的干擾后，可能出現(xiàn)兩種不同的結(jié)局：一種結(jié)局是，隨著時(shí)間的推移干擾逐漸趨近于零(即有擾運(yùn)動(dòng)趨近于無擾運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)于矩陣A的所有持征值都具有負(fù)實(shí)部)，我們稱系統(tǒng)在此穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況下是漸進(jìn)穩(wěn)定的，顯然受擾后的系統(tǒng)最終將回到受擾的的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況；另一種結(jié)局是，無論初始干擾如何小，干擾都將隨著時(shí)間的推移無限增大(對(duì)應(yīng)于矩陣A至少有一個(gè)實(shí)部為正的特征值)，顯然系統(tǒng)在此穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況下是不穩(wěn)定的。對(duì)于實(shí)際運(yùn)行的電力系統(tǒng)來說，分析臨界情況下的系統(tǒng)穩(wěn)定性并無多大意義，可以視它為系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定極限的情況。 最后需要說明的是，前面在研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，假設(shè)干擾是瞬時(shí)性的，即系統(tǒng)的狀態(tài)在瞬時(shí)由轉(zhuǎn)移至此，并且引起變化的干擾消失。這同樣適用于研究永久性干擾下系統(tǒng)的穩(wěn)定性，即此時(shí)我們可以把它考慮成研究系統(tǒng)在新的平衡點(diǎn)遭受瞬時(shí)性干擾的穩(wěn)定性。 另外，對(duì)一些給定的小干擾不穩(wěn)定或阻尼不足的運(yùn)行方式，可以通過特征分析方法得到一些控制參數(shù)和反映系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值之間的關(guān)系，進(jìn)而得出提高系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定性的最佳方案。因而進(jìn)行電力系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定分析顯得尤為重要。 這樣，電力系統(tǒng)在某種穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況下受到小的干擾后，系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析可歸結(jié)為 (1)計(jì)算給定穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況下各變量的穩(wěn)態(tài)值。 (2)將描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的非線性微分-代數(shù)方程在穩(wěn)態(tài)值附近線性化，得到線性微分-代數(shù)方程。 (3)求出線性微分-代數(shù)方程的狀態(tài)矩陣A，根據(jù)其特征值的性質(zhì)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 以上討論的小干擾穩(wěn)定問題主要涉及發(fā)電機(jī)組之間的機(jī)電振蕩，這時(shí)我們將發(fā)電機(jī)組看成是集中的剛體質(zhì)量塊。然而，實(shí)際的大型汽輪發(fā)電機(jī)組的轉(zhuǎn)子具有很復(fù)雜的機(jī)械結(jié)構(gòu)，它是由幾個(gè)主要的質(zhì)量塊，如各個(gè)汽缸的轉(zhuǎn)子、發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子、勵(lì)磁機(jī)轉(zhuǎn)子等，通過有限剛性的軸系聯(lián)接而成。當(dāng)發(fā)電機(jī)受到干擾后，考慮到各質(zhì)量塊之間的彈性，它們?cè)跁簯B(tài)過程中的轉(zhuǎn)速將各不相同，從而導(dǎo)致各質(zhì)量塊之間發(fā)生扭(轉(zhuǎn))振(蕩)(Torsional Oscillation)。由于各質(zhì)量塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小于發(fā)電機(jī)組總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，因此各質(zhì)量塊之間扭振的頻率要高于發(fā)電機(jī)組之間機(jī)電振蕩的頻率，這個(gè)頻率一般在十幾到四十幾赫茲之間，因此也常將這種振蕩稱為次同步振蕩(Subsynchronous Oscillation，SSo)。 次同步振蕩發(fā)生后，在發(fā)電機(jī)組軸系中各質(zhì)量塊之間將產(chǎn)生扭力矩軸系反復(fù)承受扭力矩會(huì)造成疲勞積累，從而降低軸系的使用壽命；當(dāng)扭力矩超過一定限度后會(huì)造成大軸出現(xiàn)裂紋甚至斷裂。系統(tǒng)出現(xiàn)的次同步振蕩主要與勵(lì)磁控制、調(diào)速器、HVDC控制及串聯(lián)電容器補(bǔ)償?shù)妮旊娋€路的相互作用有關(guān)。進(jìn)行電力系統(tǒng)的次同步振蕩分析時(shí)，首先應(yīng)建立汽輪發(fā)電機(jī)組的軸系模型；另外，由于扭振的頻率較高，故系統(tǒng)中各元件不能再采用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型，而應(yīng)計(jì)及系統(tǒng)的電磁暫態(tài)過程。對(duì)次同步振蕩的詳細(xì)分析已超出了本書的既定范圍，有關(guān)電力系統(tǒng)次同步振蕩分析的模型及方法，有興趣的讀者可參閱文獻(xiàn)5，6。 本章首先推導(dǎo)出電力系統(tǒng)各動(dòng)態(tài)元件的線性化方程，并給出了全系統(tǒng)線性化方程的形成方法和小干擾穩(wěn)定計(jì)算的基本步驟，接著討論了小干擾穩(wěn)定分析中的特征值問題和電力系統(tǒng)振蕩分析方法，最后介紹了大規(guī)模電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析的幾種持殊方法。7.2 電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)元件的線性化方程 在進(jìn)行電力系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定分析時(shí)，需要將各動(dòng)態(tài)元件的方程線性化，下面我們推導(dǎo)各動(dòng)態(tài)元件的線性化方程。在進(jìn)行線性化時(shí)，通常不考慮所有控制裝置中限制環(huán)節(jié)的作用。其原因是，在正常的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況下，控制裝置中狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)值一般在其限制環(huán)節(jié)的限制之內(nèi)。當(dāng)干擾足夠小時(shí)，各狀態(tài)變量的變化也足夠小，使得其變化范圍不會(huì)超出其限制環(huán)節(jié)的限制。至于一些控制裝置中的失靈區(qū)，一般認(rèn)為失靈區(qū)很小，可以忽賂不計(jì)；而當(dāng)失靈區(qū)很大時(shí)，可以認(rèn)為整個(gè)控制系統(tǒng)不起作用。7.2.1 同步發(fā)電機(jī)組的線性化方程1. 同步電機(jī)。 對(duì)式(6-114)一(6-116)描述的同步電機(jī)方程，在給定的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況下，系統(tǒng)各變量的穩(wěn)態(tài)值可按式(6-74)一(6-78)和式(6-118)一(6-122)算出。將各方程在穩(wěn)態(tài)值附近線性化，可得到同步電機(jī)的線性化方程(2)勵(lì)磁系統(tǒng)。 以圖5-16所示的采用可控硅調(diào)節(jié)器的直流勵(lì)磁機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)為例，根據(jù)式(6-136)一(6-140)，可以推導(dǎo)出其線性化方程。 對(duì)測(cè)量濾波環(huán)節(jié)，由于。根據(jù)坐標(biāo)變換式(5-63)，發(fā)電機(jī)端電壓和電流用它們的分量可表示為這時(shí)顯然有將上式在穩(wěn)態(tài)值附近線性化可得到式中：對(duì)式(6-136)線性化，并格式(7-10)代入其中，從而消去，即得到測(cè)量濾波環(huán)節(jié)的線性化方程 用式(6-140)模擬勵(lì)磁機(jī)的飽和特性，將式(6-139)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點(diǎn)線性化，可得到勵(lì)磁機(jī)的線性化方程最后，將式(6-137)、式(6-138)的線性化方程和式(7-12)、式(7-3)一起，并經(jīng)整理后得到整個(gè)直流勵(lì)磁機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)的線性化方程 (3)PSS。 對(duì)于圖5-l 4所示的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器，根據(jù)式(6-142)、式(6-143)，當(dāng)輸入為轉(zhuǎn)速偏差，即時(shí)，可依次列出如下線性化方程：上式經(jīng)適當(dāng)整理后，可得到PSS線性化方程的狀態(tài)表達(dá)式(4)原動(dòng)機(jī)及調(diào)速系統(tǒng)。 對(duì)如圖5-24所示的水輪機(jī)及其調(diào)速系統(tǒng)，可以根據(jù)式(6-171)一(6-177)得到其線性化方程2同步發(fā)電機(jī)組線性化方程的矩陣描述及坐標(biāo)變換1)發(fā)電機(jī)組方程的矩陣描述。當(dāng)發(fā)電機(jī)組采用式(7-6)、式(7-7)、式(7-9)、式(7-15)、式(7-17)描述時(shí)，將其中的狀態(tài)變量按如下順序組成向量：并定義這時(shí)各發(fā)電機(jī)微分方程式的線性化方程寫成如下矩陣形式：而定子電壓方程式的線性化方程表示為以上兩式中系數(shù)矩陣的元素可以很容易地通過比較式(7-20)和式(7-6)、式(7-9)、式(7-15)、式(7-17)及比較式(7-12)和式(7-7)而得到，即在同步電機(jī)、勵(lì)磁系統(tǒng)、原動(dòng)機(jī)及其調(diào)速系統(tǒng)等采用其他模型時(shí)，同上原理，總可以先寫出各自的線性化方程，然后表示成式(7-20)、式(7-21)的形式。另外還需注意，式(7-18)中各狀態(tài)變量的排序并不是一成不變的，不同的排序下有相應(yīng)的矩陣。 (2)坐標(biāo)變換。式(7-20)和式(7-21)中的和為各發(fā)電機(jī)本身軸電壓和電流分量的偏差，因此必須把它們轉(zhuǎn)換成統(tǒng)一的同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)參考軸下的相應(yīng)分量，以便將它們和電力網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系起來。對(duì)于發(fā)電機(jī)端電壓，由坐標(biāo)變換式(5-62)可知穩(wěn)態(tài)值和也應(yīng)滿足式(7-22)，即 將式（7-22）在穩(wěn)態(tài)值附近線性化，得 利用式（7-23），式（7-24）可另寫為簡(jiǎn)寫成式中：很明顯，為正交矩陣，即滿足同理，對(duì)發(fā)電機(jī)電流也可得到以下關(guān)系：式中 將式（7-26）和式（7-28）代入式（7-21）消去和，可以得到式中： 將式（7-26）和式（7-28）代入式（7-20）消去和，并利用式（7-29）、式（7-30）消去，可以得到式中：式(7-31)和式(7-29)便組成每個(gè)發(fā)電機(jī)組的線性化方程，它類似于一般線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。7.2.2 負(fù)荷的線性化方程 在小干擾穩(wěn)定性分析中，負(fù)荷大都采用電壓靜態(tài)特性模型。如果要考慮一些感應(yīng)電動(dòng)機(jī)負(fù)荷，可以用類似于推導(dǎo)同步電機(jī)線性化方程的方法得到感應(yīng)電動(dòng)機(jī)的線性化方程。 無論采用什么形式模擬負(fù)荷的電壓靜特性，負(fù)荷節(jié)點(diǎn)注入電流與節(jié)點(diǎn)電壓的偏差關(guān)系總可以寫成如下形式：式中：其中的系數(shù)可由負(fù)荷節(jié)點(diǎn)注入電流與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系式求得，即當(dāng)采用二次多項(xiàng)式模擬負(fù)荷的電壓靜特性時(shí)，可以利用如式(6-48)所示的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)注入電流與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系和式(7-35)直接求出式(7-34)中的有關(guān)系數(shù)：當(dāng)采用指數(shù)形式模擬負(fù)荷的電壓靜特性時(shí)，可以利用如式(6-49)所示的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)注入電流與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系和式(7-35)直接求出式(7-34)中的有關(guān)系數(shù)：特別地，當(dāng)對(duì)負(fù)荷的電壓靜特性缺少足夠的信息時(shí)，通?？梢越邮艿呢?fù)荷模型是：負(fù)荷的有功功率用恒定電流(即取)、無功功率用恒定阻抗(即取)模擬。7.2.3 FACTS元件的線性化方程（1）SVC。由于，將它線性化，得將上式代入式（7-38），經(jīng)整理后得式中： 另外，根據(jù)式（6-50）可直接得到SVC注入電流和節(jié)點(diǎn)電壓間的偏差關(guān)系式中：這樣式(7-40)、式(7-42)便組成了SVC的全部線性化方程式。(2)TCSC。從式(6-208)、式(6-209)可以直接得到如下線性化方程：根據(jù)式（6-211）可以得到將上式代入式（7-44），并經(jīng)整理后得式中：另外，根據(jù)式（6-51）可直接得到TCSC注入電流和節(jié)點(diǎn)電壓間的偏差關(guān)系式中：這樣式（7-46）、式（7-48）便組成了TCSC的全部線性化方程式。7.2.4 直流輸電系統(tǒng)的線性化方程當(dāng)考慮直流線路的暫態(tài)過程時(shí)，直流線路以及整流器和逆變器的控制方程如式(6-222)、式(6-224)一(6-227)所示，利用式(6-53)中的第一式消去式(6-226)中的，在忽略對(duì)限制的情況下，可得到它們?cè)诜€(wěn)態(tài)值附近的線性化方程整流器和逆變器交流母線電壓的幅值與其分量間的關(guān)系為將上式在穩(wěn)態(tài)值附近線性化，得將式（7-51）代入式（7-50）消去和，并經(jīng)整理后可得式中:式中的系數(shù)矩陣通過對(duì)照式(7-52)和原方程容易得到。 兩端直流輸電系統(tǒng)的代數(shù)方程可以由換流器交直流兩側(cè)的功率關(guān)系及電流關(guān)系推得。對(duì)于整流器，將有功功率關(guān)系式在穩(wěn)定值附近線性化，得另外，將式（6-52）中第三式兩端平方，得上式的線性化方程為將式(7-51)代入式(7-55)中消去，并注意到整流器注入交流系統(tǒng)的無功功率總不為零，于是可以從式(7-55)、式(7-57)中解出節(jié)點(diǎn)注入電流的偏差，并寫成如下矩陣形式：式中：對(duì)于逆變器，將有功功率關(guān)系式在穩(wěn)態(tài)值附近線性化，得同樣，將式（6-53）中第三式的兩端平方，得到的線性化方程為同理，將式（7-51）代入式（7-61）中消去，式（7-61）、式（7-62）表示的電流、電壓偏差關(guān)系式可以寫成如下矩陣形式：式中： 式（7-58）、式（7-63）組成了直流系統(tǒng)的代數(shù)方程式中：當(dāng)直流系統(tǒng)采用其他數(shù)學(xué)模型時(shí)，用同樣的方法可導(dǎo)出形如式（7-25）、式（7-65）所示的線性化方程。7.3 小干擾穩(wěn)定分析的步驟7.3.1 網(wǎng)絡(luò)方程為了敘述方便，將網(wǎng)絡(luò)方程式(6-36)寫成分塊矩陣形式，并注意到網(wǎng)絡(luò)方程本身是線性的，因而可以直接寫出在坐標(biāo)下節(jié)點(diǎn)注入電流偏差與節(jié)點(diǎn)電壓偏差之間的線性化方程式中：對(duì)各負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，把式(7-33)給出的注入電流偏差與節(jié)點(diǎn)電壓偏差關(guān)系代入上式，即可消去負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的電流偏差。設(shè)負(fù)荷接在節(jié)點(diǎn)，則消去該負(fù)荷后的網(wǎng)絡(luò)方程僅是對(duì)原網(wǎng)絡(luò)方程(7-67)的簡(jiǎn)單修正：節(jié)點(diǎn)的電流偏差變?yōu)榱?，?dǎo)納矩陣中的第個(gè)對(duì)角塊變?yōu)椋渌麅?nèi)容不變。 不失一般性，假定網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)編號(hào)的次序?yàn)椋合仁歉靼l(fā)電機(jī)所在節(jié)點(diǎn)，然后是各SVC所在節(jié)點(diǎn)，接下來是各TCSC的兩端節(jié)點(diǎn)，再是各直流輸電系統(tǒng)交流母線節(jié)點(diǎn)(先編整流側(cè)節(jié)點(diǎn)，后編逆變側(cè)節(jié)點(diǎn))，最后是其他節(jié)點(diǎn)。消去所有負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的電流偏差后，網(wǎng)絡(luò)方程可寫成如下分塊矩陣形式：式中：和分別為由全部發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)注入電流和節(jié)點(diǎn)電壓偏差組成的向量；和分別為由全部SVC節(jié)點(diǎn)注入電流和節(jié)點(diǎn)電壓偏差組成的向量；和分別為由全部TCSC節(jié)點(diǎn)注入電流和節(jié)點(diǎn)電壓偏差組成的向量；和分別為由全部換流器交流母線節(jié)點(diǎn)注入電流和節(jié)點(diǎn)電壓偏差組成的向量；為其他節(jié)點(diǎn)電壓偏差組成的向量。這些向量可表示為7.3.2 全系統(tǒng)線性化微分方程的形成由各發(fā)電機(jī)組的方程式（7-31）、式（7-29）可以組成全部發(fā)電機(jī)組的方程式式中： 由各SVC的方程式（7-40）、（7-42）可以組成全部SVC的方程式式中： 由各TCSC的方程式（7-46）、式（7-48）可以組成全部TCSC的方程式式中： 由各兩端直流輸電系統(tǒng)的方程式（7-52）、式（7-65）可以組成全部?jī)啥酥绷鬏旊娤到y(tǒng)的方程式式中： 將式（7-72）、式（7-75）、式（7-78）、式（7-81）代入式（7-69）消去、，所得結(jié)果與式(7-71)、式(7-74)、式(7-77)、式(7-80)一起組成如式(7-3)所示的矩陣關(guān)系式，其中：顯然，分別為分塊稀疏矩陣，而及和導(dǎo)納矩陣具有同樣的稀疏結(jié)構(gòu)。 用式(7-83)中的矩陣，根據(jù)式(7-5)即可得到狀態(tài)矩陣。至此已經(jīng)得到電力系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點(diǎn)的線性化方程式。 最后，有必要說明以下幾個(gè)問題： (1)如果線性化后的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，即如果的所有特征值的實(shí)部均為負(fù)，那么實(shí)際的非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。 (2)形成矩陣的方法，在已有的各種商業(yè)化程序中可能各不相同，以上僅給出其中的一種形成方法，皆在介紹形成陣的原理和技巧4-7,9,10。式(7-83)中矩陣的形式多種多樣，它與狀態(tài)變量的次序安排、網(wǎng)絡(luò)方程的形式、各動(dòng)態(tài)元件的代數(shù)方程和網(wǎng)絡(luò)方程的協(xié)調(diào)處理方法等有關(guān)。不同的方法將影響到程序?qū)崿F(xiàn)的復(fù)雜性和靈活性，但并不影響其特征值的計(jì)算結(jié)果。 (3)以上方程的形成中考慮了發(fā)電機(jī)組、SVC、TCSC、兩端直流輸電系統(tǒng)，對(duì)電力系統(tǒng)中的其他動(dòng)態(tài)元件可作類似處理。例如，對(duì)并聯(lián)動(dòng)態(tài)元件(如感應(yīng)電動(dòng)機(jī)負(fù)荷等)，可以仿照以上對(duì)發(fā)電機(jī)的處理方法得到其線性化方程；對(duì)多端直流輸電系統(tǒng)，可以仿照以上對(duì)兩端直流輸電系統(tǒng)的處理方法得到其線性化方程。然后按規(guī)定的順序?qū)⑺鼈儼才旁谡麄€(gè)系統(tǒng)的方程中。（4）按照以上方法形成的系數(shù)矩陣將必定有一個(gè)零特征值。其存在的理由是各發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角度不是惟一的，換言之，系統(tǒng)中存在一個(gè)冗余的轉(zhuǎn)子角度。事實(shí)上，由于各發(fā)電機(jī)間的功率分配取決于各發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角度的相對(duì)值，如果各發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的絕對(duì)角度都加上一個(gè)固定的值，并不改變各發(fā)電機(jī)間的功率分配，因而不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若要摒除零特征值，只需選定任意一臺(tái)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子角度作為參考，用其余機(jī)與該機(jī)轉(zhuǎn)子的相對(duì)角度作為新的狀態(tài)變量即可，這時(shí)矩陣和相應(yīng)的狀態(tài)變量都將降低一階。（5）另外還需注意，當(dāng)系統(tǒng)中所有發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)矩都與轉(zhuǎn)速的變化有關(guān)，即搖擺方程的右端無阻尼項(xiàng)且不考慮調(diào)速器的作用時(shí)，矩陣還將存在一個(gè)零特征值。同樣，要摒除這個(gè)零特征值，只需選定任意一臺(tái)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速作為參考，用其余機(jī)與該機(jī)轉(zhuǎn)速的相對(duì)值作為新的狀態(tài)變量即可，這時(shí)矩陣和相應(yīng)的狀態(tài)變量也都降低一階。在明白了零特征值的來歷后，可以在后面的計(jì)算步驟（5）和（6）中不作任何處理，僅需在計(jì)算結(jié)果中去除零特征值即可。然而應(yīng)當(dāng)注意，由于潮流和特征計(jì)算的誤差，理論上的零特征值在實(shí)際上是很小的特征值。7.3.3 小干擾穩(wěn)定分析程序的組成按照前面介紹的內(nèi)容和方法，可以構(gòu)成含有FACTS（例如SVC、TCSC）的交直流系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定分析程序。其基本計(jì)算過程如下：（1）對(duì)給定的系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行情況進(jìn)行潮流計(jì)算，求出系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)電壓、電流和功率。（2）形成式（7-67）中的導(dǎo)納矩陣。（3）已知各負(fù)荷的功率及負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓的穩(wěn)態(tài)值為。根據(jù)負(fù)荷電壓靜特性參數(shù)，應(yīng)用式（7-36）或式（7-37）求出式（7-34）中的矩陣元素用它們修改導(dǎo)納矩陣中對(duì)應(yīng)于各負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的對(duì)角子塊。（4）首先由式（6-74）-（6-78）和式（6-118）-（6-122）計(jì)算出各發(fā)電機(jī)組中所有變量的初值，然后分別形成式（7-20）和（7-21）中的矩陣及式（7-28）中的矩陣。然后應(yīng)用式（7-30）和式（7-32）求出,從而得到各發(fā)電機(jī)組的線性化方程。對(duì)其他動(dòng)態(tài)元件，同同樣的方法可得到其線性化方程中的系數(shù)矩陣。其至得出系統(tǒng)中所有動(dòng)態(tài)元件的線性化方程。（5）按照式（7-71）(7-83)形成矩陣，再應(yīng)用式（7-5）計(jì)算出系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣。（6）應(yīng)用QR法計(jì)算矩陣的全部特征值2-4,從而判斷系統(tǒng)在所給定的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況下的小干擾穩(wěn)定性。計(jì)算矩陣全部特征值的QR法將在下節(jié)介紹?！纠?-1】 9節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)的單線圖、支路數(shù)據(jù)、發(fā)電機(jī)參數(shù)、正常運(yùn)行情況下的系統(tǒng)潮流分別如圖6-12、表6-5、表6-6、表6-7所示。系統(tǒng)頻率為60Hz。各負(fù)荷均用恒定阻抗模擬。發(fā)電機(jī)1采用經(jīng)典模型，發(fā)電機(jī)2和3采用雙軸模型。發(fā)電機(jī)2和3均裝有自并勵(lì)靜止勵(lì)磁系統(tǒng)，其參數(shù)如下：另外，各發(fā)電機(jī)的阻尼系數(shù)均取為1.0。 下面研究在正常運(yùn)行情況下系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性。為簡(jiǎn)單起見，在以下的矩陣中“空白”表示數(shù)0或適當(dāng)維數(shù)的0矩陣?！窘狻?1)利用潮流結(jié)果，根據(jù)式(6-74)一(6-78)和式(6-118)一(6-122)計(jì)算出各發(fā)電機(jī)變量的初值，如表7-1所示。負(fù)荷的等值導(dǎo)納見例6-1，直接并入電力網(wǎng)絡(luò)。2)根據(jù)7.2.1節(jié)的方法得到各發(fā)電機(jī)組的線性化方程。發(fā)電機(jī)1：不難算出式(7-20)、式(7-21)、式(7-26)、式(7-28)中的系數(shù)矩陣為最后，根據(jù)式(7-32)、式(7-30)和以上矩陣計(jì)算出發(fā)電機(jī)組線性化方程(-31)、(7-29)中的矩陣：發(fā)電機(jī)2同上原理得到發(fā)電機(jī)2線性化方程的系數(shù)矩陣：發(fā)電機(jī)3：同上原理得到發(fā)電機(jī)3線性化方程的系數(shù)矩陣：3)系統(tǒng)的線性化方程。顯然，式(7-3)中的矩陣見式(7-83)為根據(jù)式（7-5）可得到狀態(tài)矩陣4)狀態(tài)矩陣的特征值和相應(yīng)的特征向量。應(yīng)用QR法求得的全部特征值為顯然，除了我們已知的零特征值外，系統(tǒng)的其他所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，因此系統(tǒng)在給定的運(yùn)行方式下是小干擾穩(wěn)定的。7.4 小干擾穩(wěn)定分析的特征值問題既然遭受小干擾后非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性可由其線性化系統(tǒng)的穩(wěn)定性決定，而線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性又由狀態(tài)矩陣的特征值決定，因此下面我們簡(jiǎn)單介紹狀態(tài)矩陣的特征分析方法2,3,6，從而為進(jìn)行電力系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性分析打下基礎(chǔ)。由上節(jié)可見，狀態(tài)矩陣是一個(gè)實(shí)不對(duì)稱矩陣，因此后面的討論一般僅限于。另外，在下面的論述中要涉及到復(fù)數(shù)及復(fù)矩陣的計(jì)算，記表示復(fù)數(shù)集合，表示維復(fù)向量空間(列向量)，為所有行列復(fù)數(shù)矩陣組成的向量空間。復(fù)矩陣的標(biāo)乘、相加、相乘是與實(shí)矩陣完全相對(duì)應(yīng)的。但是，轉(zhuǎn)置在復(fù)情形下是轉(zhuǎn)置共扼(用上標(biāo)H表示)，即。維復(fù)向量和的點(diǎn)積是。另外，在范數(shù)意義下的單位向量(或規(guī)范化向量)是指滿足于的向量。例如在1、2和無窮范數(shù)意義下的單位向量分別為將任一向量變?yōu)閱挝幌蛄康倪^程稱為向量的歸一化。7.4.1 狀態(tài)矩陣的特征特性1. 特征值對(duì)于標(biāo)量參數(shù)和向量，如果方程有非退化解（即），則稱為矩陣的特征值。要計(jì)算特征值，方程（7-85）可寫成如下形式：它具有非退化解的充分必要條件是展開上式左端的行列式，得到顯式的多項(xiàng)式方程該方程稱為矩陣的特征方程，方程左端的多項(xiàng)式稱為特征多項(xiàng)式。因?yàn)榈南禂?shù)不為零，所以此方程共有個(gè)根，這里根的集合稱為譜，記為。如果，則有而且，如果我們定義的追跡為可以證明。實(shí)不對(duì)稱矩陣的特征值既可能是實(shí)數(shù)，也可能是復(fù)數(shù)，并且復(fù)特征值總是以共扼對(duì)的形式出現(xiàn)。另外，相似矩陣的特征值相同，轉(zhuǎn)置矩陣的特征值不變。2. 特征向量對(duì)任一特征值，滿足方程的非零向量稱為矩陣關(guān)于特征值的右特征向量。由于該方程為齊次方程，因而 (為標(biāo)量)也是以上方程的解，即同樣是矩陣關(guān)于特征值的右特征向量。除非特別聲明，以后提到的“特征向量”均指“右特征向量”。一個(gè)特征向量定義了一個(gè)一維子空間，這個(gè)子空間用矩陣左乘保持不變性。同樣，滿足方程的非零向量，稱為矩陣關(guān)于特征值的右特征向量。方程(7-90)兩邊轉(zhuǎn)置，得稱行向量為矩陣關(guān)于特征值的左特征向量。為了簡(jiǎn)明地表達(dá)矩陣的特征持性，將的所有特征值組成對(duì)角矩陣，相應(yīng)的右特征向量按列組成矩陣，相應(yīng)的左特征向量按行組成矩陣，即以上三個(gè)階方陣稱為模態(tài)矩陣，利用式（7-92）,方程（7-89）和（7-91）可表示成如下矩陣形式：在上式中，前一式兩邊左乘，后一式兩邊右乘，即可得到以下關(guān)系式：或?qū)懗娠@然，相應(yīng)于不同特征值的左、右特征向量是正交的；相應(yīng)于同一特征值的左、右特征向量的乘積為一非零常數(shù)，通過對(duì)左、右特征向量的歸一化處理總可以使這個(gè)常數(shù)為1。即有注意，并不是通常理解的內(nèi)積。上式的矩陣形式為根據(jù)式（7-93）和式（7-96）可得3. 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)由狀態(tài)方程(7-4)可看出，每個(gè)狀態(tài)變量的變化率都是所有狀態(tài)變量的線性和。由于狀態(tài)之間的耦合，很難對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)有一個(gè)明晰的概念。為了消去狀態(tài)變量間的耦合，引入一個(gè)新的狀態(tài)向量，它和原始狀態(tài)向量間的關(guān)系定義為把上式代入方程（7-4）,并考慮式（7-97），狀態(tài)方程即可改寫為它和原方程的差別在于：為對(duì)角陣，而一般不是對(duì)角陣。方程（7-99）表示個(gè)解耦的一階方程它的時(shí)域解為式中：的初值可根據(jù)式（7-98）用和表示，即將式(7-101)、式(7-102)代入變換式(7-98)，可得到原始狀態(tài)向量的時(shí)域解其中第個(gè)狀態(tài)變量的時(shí)域解為式中：表示向量的第個(gè)元素。上式給出了用特征值、左特征向量和右特征向量表示系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)時(shí)間響應(yīng)的表達(dá)式。特征值對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的第個(gè)模態(tài)(Mode)，與之相應(yīng)的時(shí)間特性為，這樣系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的時(shí)間響應(yīng)就可以說成是n個(gè)摸態(tài)的線性和。 因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以由特征值決定： (1)一個(gè)實(shí)特征值相應(yīng)于一個(gè)非振蕩模態(tài)。負(fù)實(shí)特征值表示衰減模態(tài)，其絕對(duì)值越大，則衰減越快；正實(shí)特征值表示非周期性不穩(wěn)定。與實(shí)特征值有關(guān)的持征向量和都具有實(shí)數(shù)值。(2)復(fù)特征值總是以共扼對(duì)的形式出現(xiàn)，即每對(duì)復(fù)特征值相應(yīng)于一個(gè)振蕩模態(tài)。與復(fù)特征值有關(guān)的特征向量和都具有復(fù)數(shù)值。因此具有這樣的形式顯然，特征值的實(shí)部刻畫了系統(tǒng)對(duì)振蕩的阻尼，而虛部則指出了振蕩的頻率。負(fù)實(shí)部表示衰減振蕩；正實(shí)部表示增幅振蕩。振蕩的頻率(Hz)為定義阻尼比為它決定了振蕩幅值的衰減率和衰減特性。7.4.2 線性系統(tǒng)的模態(tài)分析1. 模態(tài)與特征向量前面已經(jīng)討論了系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，向量和的關(guān)系為變量式表示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的原始狀態(tài)變量。變量 是變換后的狀態(tài)變量，每一個(gè)變量?jī)H對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的一個(gè)模態(tài)。從方程(7-107)的第一式可以看出，右特征向量呈現(xiàn)出模態(tài)的表現(xiàn)形式，即當(dāng)特定的模態(tài)被激活時(shí)，各狀態(tài)變量的相對(duì)活動(dòng)情況。例如，右特征向量中的第k個(gè)元素給出了狀態(tài)變量在第個(gè)模態(tài)中的活動(dòng)程度。中各元素的模值表征了n個(gè)狀態(tài)變量在第i個(gè)模態(tài)中的活動(dòng)程度，而各元素的角度則表征了各狀態(tài)變量關(guān)于該模態(tài)的相位移。從方程(7-107)的第二式可以看出，左特征向量確定呈現(xiàn)第i個(gè)模態(tài)時(shí)原始狀態(tài)變量的組合方式。這樣，右特征向量中的第k個(gè)元素度量變量在第i個(gè)模態(tài)中的活動(dòng)，而左特征向量中的第k個(gè)元素加權(quán)這個(gè)活動(dòng)對(duì)策i個(gè)模態(tài)的貢獻(xiàn)。 2特征值靈敏度我們首先考查特征值對(duì)狀態(tài)矩陣A各元素 (A的k行、j列元素)的靈敏度。將(7-89)兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，得上式兩邊左乘行向量，并考慮式（7-91）、式（7-95），可得到顯然，中除第k行、j列的元素為1外，其余元素都為零，因此式中：表示向量的第j個(gè)元素，表示向量的第k個(gè)元素。設(shè)是標(biāo)量，是由元素組成的n階方陣，如果對(duì)一切的k和j，都是可微函數(shù)，則這樣，仿照以上推導(dǎo)可得到特征值對(duì)標(biāo)量的靈敏度3. 參與因子(Participation Factor)為了確定狀態(tài)變量和模態(tài)之間的關(guān)系，把右特征向量和左特征向量結(jié)合起來，形成如下的參與矩陣(Participation Matrix)P，用它來度量狀態(tài)變量與模態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度：稱參與矩陣P的元素為參與因子12，它度量了第i個(gè)模態(tài)于第k個(gè)狀態(tài)變量的相互參與程度。稱矩陣P的第i列為第i個(gè)模態(tài)的參與向量。由于度量在第i個(gè)模態(tài)中的活動(dòng)狀況，而加權(quán)這個(gè)活動(dòng)對(duì)模態(tài)的貢獻(xiàn)，因此它們的乘積即可度量?jī)魠⑴c程度。左、右特征向量相應(yīng)元素的乘積導(dǎo)致是無量綱的，即獨(dú)立于特征向量單位的選擇。設(shè)，即且，則由式(7-102)得，根據(jù)式(7-103)可得這個(gè)方程表明，被初值激活的第i個(gè)模態(tài)，以系數(shù)參與在響應(yīng)中，參與因子由此而得名。對(duì)于所有的模態(tài)或所有的狀態(tài)變量，有上式不難得到證明。在式(7-114)中令，容易得到矩陣P的第k行元素之和為1；而矩陣P的第i列元素之和等于，根據(jù)式(7-95)可知其值為1。另外，參看式(7-110)可知，參與因子實(shí)際上等于特征值對(duì)狀態(tài)矩陣A的對(duì)角元素的靈敏度：7.4.3 特征值的計(jì)算 1. QR法計(jì)算一般矩陣全部特征值的數(shù)值方法中，當(dāng)首推雙位移QR法，它是J.G.F.Francis在1962年提出來的。這種方法具有魯棒性強(qiáng)、收斂速度快等特點(diǎn)，是迄今為止最有效的特征求解方法。對(duì)于給定的和正交陣，考慮如下達(dá)代：其中，每個(gè)都是正交陣，每個(gè)都是上三角陣。由歸納法可得這樣，每個(gè)都與A相似。由于A有復(fù)特征值，因此不會(huì)收斂到嚴(yán)格的、“特征值暴露”的三角陣，而只能滿足于計(jì)算稱為實(shí)Schur分解的另一種分解。對(duì)角均為11塊或22塊的分塊上三角陣稱為擬上三角陣（Upper Quasitriangular)。實(shí)Schur分解相當(dāng)于將矩陣實(shí)歸約為一個(gè)擬上三角陣。若，則存在一個(gè)正交陣使得其中每個(gè)是11矩陣或22矩陣。若是11的，其元素就是A的特征值；若是22的，的特征值是A的一對(duì)共軛的復(fù)特征值。 為了有效實(shí)現(xiàn)實(shí)Schur分解，選取式(7-117)中的初始正交相似變換陣，使得為上海森伯矩陣，這樣一次迭代的計(jì)算量將從減小到。一個(gè)上海森伯矩陣是這樣的矩陣，在其對(duì)角線下，除去第一個(gè)次對(duì)角線上元素之外的其他所有元素為零。例如，對(duì)于66的情形，非零元素是至此，能夠一眼看出，這樣一種形式可以通過一系列豪斯霍爾德（Householder)變換得到，每一次變換將矩陣一列中的相應(yīng)元素化為零。由于豪斯霍爾德變換為對(duì)稱正交相似變換，所以得到的上海森伯矩陣與原矩陣具有相同的特征值。 要詳細(xì)了解QR法的原理和算法實(shí)現(xiàn)，可參閱各種有關(guān)數(shù)值分析的教科書和專著。目前，用雙位移QR法計(jì)算一般矩陣全部特征值，在一般的大、中型計(jì)算機(jī)中也都有標(biāo)準(zhǔn)的庫程序供用戶調(diào)用。 最后，我們應(yīng)注意到，如果A中的元素?cái)?shù)值差別很大，當(dāng)實(shí)施某種迭代算法時(shí)，可能導(dǎo)致計(jì)算的特征值誤差過大。特征值對(duì)舍入誤差的敏感程度可以通過平衡來減小。由于數(shù)值過程中導(dǎo)致的特征系統(tǒng)的誤差一般是與矩陣的歐幾里得范數(shù)成正比，而平衡的思想就是：用相似變換將矩陣對(duì)應(yīng)的行和列的范數(shù)變得相接近，從而在不改變特征值的前提下使矩陣的總范數(shù)減小。平衡的實(shí)現(xiàn)是通過運(yùn)算確定對(duì)角陣D，使得若則，。對(duì)角陣D選成具有形式，其中b是浮點(diǎn)基數(shù)，這樣計(jì)算就可以沒有舍入誤差。當(dāng)A被平衡后，計(jì)算的特征值常常會(huì)更精確。2. 冪法(The Power Method)一般矩陣特征值問題的庫程序都能夠把矩陣的全部特征值和特征向量一并求出。但在實(shí)際應(yīng)用中，往往不需要計(jì)算矩陣A的全部特征值，而只需求出模數(shù)最大的特征值(通常稱為主特征值，Dominant Eigenvalue)。冪法是計(jì)算矩陣主特征值和相應(yīng)特征向量的一種非常有效的迭代方法。設(shè)可對(duì)角化且，其中，給定2范數(shù)下的單位初始向量，冪法產(chǎn)生如下向量序列：顯然，以上迭代中得到的向量序列都是2范數(shù)下的單位向量。 由于并且顯然，只要，當(dāng)時(shí)，我們說冪法是線性收斂的方法，其有用性取決于比值，因?yàn)樗从呈諗克俾省?在用冪法求得A的主特征值后，我們可以利用“收縮技術(shù)”(Deflation Technique)得到A的剩余特征值。收縮方法有多種，但數(shù)值穩(wěn)定的方法并不是很多，下面我們介紹一種以相似變換為基礎(chǔ)的收縮方法。設(shè)、已知，可以找到一個(gè)豪斯霍爾德矩陣，使，且。由，給出，顯然，即的第一列為，記式中：為階方陣，它顯然有特征值。在條件下，可用冪法求出的主特征值和相應(yīng)的特征向量，其中。設(shè)，為求出路，設(shè)為待定常數(shù)，為維向量，則因?yàn)?，可取，這樣就求出。而就是A關(guān)于的特征向量。按以上方法和豪斯霍爾德矩陣的應(yīng)用，應(yīng)有求出、后，可對(duì)繼續(xù)收縮，計(jì)算其他特征值和特征向量。理論上只要A按模排列的前若干個(gè)特征值按模分離便可求出它們。這種收縮方法的缺點(diǎn)是改變了原矩陣的元素，使得當(dāng)A是稀疏矩陣時(shí)，收縮過程將使矩陣的稀疏性不再保持。 最后應(yīng)該指出的是，用冪法計(jì)算矩陣A的主特征值和相應(yīng)特征向量的程序?qū)崿F(xiàn)并非以上敘述的那么簡(jiǎn)單。在前面，我們僅時(shí)論了A的主特征值是實(shí)數(shù)且是單重的情形。實(shí)際上，還可能出現(xiàn)其他幾種情形；為r重實(shí)特征值；和為模數(shù)相同但符號(hào)相反的實(shí)特征值；和為一對(duì)共軛復(fù)特征值。A的特征值出現(xiàn)這些不同的情形時(shí)，冪法的實(shí)現(xiàn)將稍有不同，其詳細(xì)討論可參閱文獻(xiàn)2。3. 反冪法(The Inverse Power Method) 我們知道，非奇異矩陣A的逆陣的特征值是A的持征慎的倒數(shù)。因此，的主特征值的倒數(shù)便是A的模數(shù)最小的特征值。把冪法用于矩陣，得到的方法稱為反冪法(或逆迭代法)，它可以用來計(jì)算非奇異矩陣A的模數(shù)最小的特征值及相應(yīng)的特征向量。給定2范數(shù)下的單位初始向量，則反冪法產(chǎn)生如下達(dá)代序列：當(dāng)時(shí)，反冪法的一種更有用的形式是把冪法用于矩陣，其中為實(shí)常數(shù)或復(fù)常數(shù)。給定2范數(shù)下的單位初始向量，其迭代過程如下：當(dāng)時(shí)，式中：為矩陣A的所有特征值中最靠近數(shù)的特征值；而為相應(yīng)的特征向量。對(duì)式(7-128)需要作如下解釋： 由于非奇異矩陣的特征值為，因此與矩陣相對(duì)應(yīng)的特征值為。對(duì)矩陣應(yīng)用冪法即可得到模數(shù)最大的特征值，這意味著的模數(shù)最小，或最靠近數(shù)。 這樣，如果我們想要得到矩陣A的離最近的特征值和相應(yīng)的特征向量，可應(yīng)用式(7-127)所示的反冪法。反冪法的另外一個(gè)用途是，如果知道矩陣A的某特征值的近似值，應(yīng)用反冪法可求出相應(yīng)的特征向量，并能改善特征值的精度。 在實(shí)際求解式(7-127)時(shí)，可先對(duì)進(jìn)行三角分解：式中：L為單位下三角矩陣；U為上三角矩陣。此時(shí)求解方程成為從而，每次迭代只需做簡(jiǎn)單的前代和回代即可。7.4.4 稀疏特征求解方法 在小干擾穩(wěn)定分析中，電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由式(7-3)所示的線性微分-代數(shù)方程描述，由式(7-83)可知，其中的矩陣、都為稀疏矩陣。當(dāng)用式(7-5)得到矩陣A，進(jìn)而計(jì)算其特征值時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)矩陣A幾乎完全失去稀疏性。由于著名的QR法不能稀疏實(shí)現(xiàn)，因此在用QR法計(jì)算A的特征值時(shí)，A是否稀疏無關(guān)緊要。但是，在用其他迭代方法(例如，冪法、反冪法或后面介紹的子空間法)計(jì)算矩陣A的部分特征值時(shí)，如果能夠充分利用原始矩陣的稀疏性，直接從式(7-3)中求得A的特征值，則可人大提高特征值計(jì)算的效率。對(duì)于A的特征值，滿足方程的非零向量就是矩陣A關(guān)于特征值的右特征向量。上式最左側(cè)的矩陣稱為增廣狀態(tài)短陣。上述結(jié)論不難得到證明。事實(shí)上，在式(7-129)中可得，然后消去，并利用式(7-5)，容易得到這樣，我們就可通過對(duì)式(7-129)所示的增廣狀態(tài)矩陣方程直接求解，在不破壞系統(tǒng)稀疏性的前提下，得到矩陣A的特征值和特征向量。下面描述冪法和反冪法的稀疏實(shí)現(xiàn)，并給出特征值對(duì)標(biāo)量靈敏度的稀疏表達(dá)式。1. 冪法迭代式(7-121)的稀疏實(shí)現(xiàn)由于方程所表達(dá)的與之間的關(guān)系等價(jià)于，因此，可將式（7-121）中第一式的計(jì)算用下式替換：在實(shí)施式(7-121)的迭代前，僅對(duì)作一次稀疏三角分解，即，則每步迭代中對(duì)式(7-131)的計(jì)算僅是一些稀疏矩陣與向量相乘及兩個(gè)三角方程的求解。2. 反冪法迭代式(7-127)的稀疏實(shí)現(xiàn)由于方程所表達(dá)的與之間的關(guān)系等價(jià)于，因此，可將式(7-127)中第一式的求解用求解式(7-132)替換，從而得到所需要的向量。 對(duì)于給定的數(shù)，首先計(jì)算矩陣，并作稀疏三角分解。注意到為分塊對(duì)角距陣(個(gè)動(dòng)態(tài)元件對(duì)應(yīng)于一個(gè)對(duì)角塊)，因此可通過對(duì)各對(duì)角塊分別直接求逆得到。另外不難看出，與有同樣的稀疏結(jié)構(gòu)(22的分塊稀疏陣)。這樣，方程(7-132)的求解步驟可以歸納如下：(1) 求解方程得到即(2) 計(jì)算3. 特征值對(duì)標(biāo)量靈敏度的稀疏表達(dá)類似于式(7-129)，對(duì)左特征向量，有這樣，仿照前面的推導(dǎo)容易得到7.4.5 特征值靈敏度分析的應(yīng)用 在電力系統(tǒng)運(yùn)行情況分析和控制器的設(shè)計(jì)中，往往需要分析系統(tǒng)中的某些參數(shù)(諸如控制器的放大倍數(shù)和時(shí)間常數(shù)等)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，以便適當(dāng)選擇或調(diào)整這些參數(shù)，使系統(tǒng)由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定，或進(jìn)一步提高系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。 由于系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A是系統(tǒng)中某一參數(shù)的函數(shù)，即，因此，A的任一特征值也是參數(shù)的函數(shù)，即，。當(dāng)改變參數(shù)時(shí)，將發(fā)生相應(yīng)的變化，的變化即反映了參數(shù)的變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。設(shè)參數(shù)從變?yōu)?，則對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)特征值從變?yōu)椤⒃谔├照归_，即在很小時(shí)，的變化可近似為式中：偏導(dǎo)數(shù)就是特征值對(duì)參數(shù)的一階靈敏度，簡(jiǎn)稱特征值靈敏度。這樣，如果能求出，則可以根據(jù)所希望得到的特征值變化來近似地決定。特征值對(duì)參數(shù)的一階靈敏度計(jì)算可歸納如下：(1)置，形成狀態(tài)矩陣。(2)計(jì)算的特征值和相應(yīng)的左、右特征向量和，使。(3)計(jì)算。(4) 其中對(duì)于的計(jì)算，下面以為PSS的放大倍數(shù)、相位環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)、為例加以說明。在發(fā)電機(jī)組g的方程式(7-20)、式(7-21)中，除了與有關(guān)外，、都與無關(guān)。另外，、也都與無關(guān)。因此，根據(jù)式(7-30)、式(7-32)可得其中的矩陣不難由式（7-20）所示的矩陣求出。顯然，在全系統(tǒng)的方程式中，由式（7-83）可求出其中的可由式（7-73）求出。另外，根據(jù)式（7-5）和上式可得矩陣A對(duì)于其他參數(shù)的偏倒數(shù)也可以類似地求出。值得注意的是，在推導(dǎo)過程中必須仔細(xì)觀察參數(shù)與該元件方程有關(guān)矩陣、之間的關(guān)系，從而防止遺漏和錯(cuò)誤。在特征值靈敏度分析方面，除了以上介紹的特征值對(duì)參數(shù)的靈敏度外，目前還提出了特征值對(duì)運(yùn)行方式的靈敏度；為了提高特征值對(duì)參數(shù)靈敏度的計(jì)算精度，還提出了特征值對(duì)參數(shù)的二階靈敏度，并提出了一些有效的計(jì)算方法。有關(guān)這些方面的成果可參閱文獻(xiàn)34371。7.5 電力系統(tǒng)的振蕩分析 沒有控制的電力系統(tǒng)是不能運(yùn)行的。運(yùn)行調(diào)度人員可以通過對(duì)發(fā)電機(jī)功率的控制(包括一些其他控制裝置的投切)來滿足各種預(yù)定的負(fù)荷需求。而系統(tǒng)中的一些自動(dòng)控制裝置(例如，發(fā)電機(jī)的調(diào)理器、勵(lì)磁調(diào)節(jié)器，HVDC的控制，F(xiàn)ACTS元件的控制等)則是在系統(tǒng)遭受到干擾后承擔(dān)著快速調(diào)節(jié)的任務(wù)從而使得系統(tǒng)的頻率和電壓保持在設(shè)計(jì)的限值之內(nèi)。 20世紀(jì)中葉，電力工業(yè)界發(fā)現(xiàn)將各區(qū)域電力系統(tǒng)互聯(lián)可以獲得更高的可靠性和經(jīng)濟(jì)性，至今50年來，電力系統(tǒng)規(guī)模發(fā)展得越來越大。在20世紀(jì)60年代，北美剛剛建立起來的大型互聯(lián)系統(tǒng)便遭受到增幅振蕩，從而破壞了大型系統(tǒng)間的并聯(lián)運(yùn)行。研究發(fā)現(xiàn)，各區(qū)域電力系統(tǒng)之間大多通過長(zhǎng)距離輸電線路互聯(lián)，這種大型的弱耦合系統(tǒng)本身固有的對(duì)振蕩的薄弱阻尼是產(chǎn)生這種現(xiàn)象的主要原因，而高放大倍數(shù)的快速勵(lì)磁系統(tǒng)則進(jìn)一步加重了負(fù)阻尼的狀況。工程師們認(rèn)識(shí)到，通過給勵(lì)磁系統(tǒng)引入適當(dāng)?shù)目刂菩盘?hào)(PSS)可以使系統(tǒng)的阻尼得到加強(qiáng)。北美電力系統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)表明，這個(gè)方案對(duì)于克服增幅振蕩是非常成功的。增幅振蕩妨礙了各區(qū)域電力系統(tǒng)的互聯(lián)。一些互聯(lián)的電力系統(tǒng)，為了避免增幅振蕩的發(fā)生，不得不輸送很少的功率，從而使得互聯(lián)變得沒有多少實(shí)際意義；一些互聯(lián)的電力系統(tǒng)，為了避免增幅振蕩的發(fā)生，不得不采用低放大倍數(shù)的勵(lì)磁調(diào)節(jié)器。因此，直到異步HVDC互聯(lián)方案產(chǎn)生前，一些系統(tǒng)干脆放棄互聯(lián)。 在20世紀(jì)40年代，人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到勵(lì)磁控制可以增加同步發(fā)電機(jī)的穩(wěn)定極限。從另一個(gè)角度去看這個(gè)問題，就是允許發(fā)心機(jī)在較高的電抗下運(yùn)行。勵(lì)磁系統(tǒng)在某些情況下改善電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能所取得的成功，加之其控制速度快、效率高，使得電力系統(tǒng)工程師們對(duì)它的控制能力寄予了更高的期望。但是應(yīng)該明白，勵(lì)磁系統(tǒng)的控制效果是有限的，Concordia早就警告說：“我們不能指望用越來越強(qiáng)大的勵(lì)磁系統(tǒng)來無限制地繼續(xù)補(bǔ)償電抗的增加”7?？焖賱?lì)磁系統(tǒng)的確能夠改善同步轉(zhuǎn)矩，從而提高系統(tǒng)在第一搖擺周期的暫態(tài)穩(wěn)定性。然而，快速勵(lì)磁系統(tǒng)一般是高放大倍數(shù)的負(fù)反饋系統(tǒng)，它對(duì)第搖擺周期以后系統(tǒng)振蕩的阻尼影響很小，有時(shí)甚至減小系統(tǒng)對(duì)振蕩的阻尼。在系統(tǒng)呈現(xiàn)負(fù)阻尼特性時(shí)，快速勵(lì)磁系統(tǒng)(特別是高放大倍數(shù)時(shí))通常是增大負(fù)阻尼，從而惡化系統(tǒng)的運(yùn)行情況。 對(duì)于由m臺(tái)發(fā)電機(jī)組成的互聯(lián)電力系統(tǒng)來說，一般認(rèn)為系統(tǒng)中機(jī)電振蕩模態(tài)的總數(shù)為。根據(jù)對(duì)實(shí)際系統(tǒng)振蕩的現(xiàn)場(chǎng)記錄48和大量的仿真結(jié)果，將電力系統(tǒng)出現(xiàn)的振蕩按振蕩所涉及的范圍及振蕩頻率大小大致分為兩種類型6,8：局部模態(tài)(Local Modes)和區(qū)域之間模態(tài)(Interarea Modes)： (1)局部模態(tài)涉及一個(gè)發(fā)電廠內(nèi)的發(fā)電機(jī)組與電力系統(tǒng)其他部分之間的搖擺。由于發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子的慣性常數(shù)較大，因此這種模態(tài)振蕩的頻率大致在12Hz范圍內(nèi)。(2)區(qū)域之間模態(tài)涉及系統(tǒng)中一個(gè)區(qū)域內(nèi)的多臺(tái)發(fā)電機(jī)與另一個(gè)區(qū)域內(nèi)的多臺(tái)發(fā)電機(jī)之間的搖擺。聯(lián)系薄弱的互聯(lián)系統(tǒng)中接近耦合的兩臺(tái)或多臺(tái)發(fā)電機(jī)之間常發(fā)生這種振蕩。由于各區(qū)域的等值發(fā)電機(jī)具有更大的慣性常數(shù)，因此這種模態(tài)要比局部模態(tài)振蕩的頻率還要低，大致在0.10.7Hz范圍內(nèi)。當(dāng)系統(tǒng)表現(xiàn)為兩群發(fā)電機(jī)之間振蕩時(shí)，振蕩的頻率大致在0.10.3Hz范圍內(nèi)；檔系統(tǒng)表現(xiàn)為多群發(fā)電機(jī)之間的振蕩時(shí)，振蕩的頻率大致在0.40.7Hz范圍內(nèi)。這兩種類型的機(jī)電振蕩，由于振蕩頻率較低，因此，也常稱為電力系統(tǒng)的低頻振蕩。遭受小干擾的電力系統(tǒng)，除了機(jī)電振蕩模態(tài)外，系統(tǒng)中的振蕩還涉及控制模態(tài)和扭振模態(tài)。扭振模態(tài)在前面已經(jīng)提及；控制模態(tài)涉及系統(tǒng)中的各種控制裝置。由于控制裝置的調(diào)節(jié)速度較快，時(shí)間常數(shù)非常小因此控制模態(tài)的振蕩頻率一般很高。這里我們僅關(guān)注電力系統(tǒng)的機(jī)電振蕩模態(tài)，有關(guān)控制模態(tài)和扭振模態(tài)的分析和控制已超出本書的研究范圍。 小的干擾能夠引發(fā)電力系統(tǒng)發(fā)生低頻機(jī)電振蕩，只要所有的振蕩模