圖形與幾何教材分析及策略

,圖形與幾何內(nèi)容分析與教學(xué)建議烏魯木齊市教研中心韓輝,空間觀念,空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。,實(shí)際物體,幾何圖形,特征描述,空間知覺（表象的基礎(chǔ)）空間觀念（表象的形成）空間想象（表象的改造）三種水平既遞進(jìn)發(fā)展，又交錯共存,實(shí)物指認(rèn),圖形指認(rèn),剖面指認(rèn),例如：指認(rèn)圓柱高,我們認(rèn)為其中的“空間與圖形”涉及到的內(nèi)容可以分為這樣幾類：視圖；圖形的位置；圖形的認(rèn)識；圖形的變換；測量；展開與折疊。,PISA通過各種各樣的問題或是分開或是綜合地對它們進(jìn)行了考察。例如，PISA中有這樣一個(gè)問題是對視圖、變換及測量的綜合考察：螺旋形的建筑（PISA2000）現(xiàn)代建筑通常有著不尋常的形狀。下圖給的是一個(gè)螺旋形的建筑的模型及它的地層的平面圖。圖形下方是方向軸。建筑的底樓有一個(gè)主要入口和一些商店，在此上面的20層都是公寓。每層的平面圖都和底層相同，但每層都相對于下一層旋轉(zhuǎn)了一定角度。建筑的電梯和平臺位于圖中的圓柱形內(nèi)。,問題1：試以米為單位估計(jì)這棟建筑的高度，并解釋你的答案?，F(xiàn)有兩張不同方向看到的圖，,問題2：圖1是從哪個(gè)方向看到的？（A.北B.南C.東D.西）問題3：圖2是從哪個(gè)方向看到的？（A.西北B.東北C.東南D.西南）,問題4：每層的公寓相對于底層都有一定角度的“旋轉(zhuǎn)”。最頂層（21層）相對于底層來說旋轉(zhuǎn)了。下面的圖表示的是底層。請?jiān)谒厦娈嫵龅?1層的平面圖，并標(biāo)明它與底層的相對旋轉(zhuǎn)度數(shù)。,這是一道綜合性問題，問題1涉及的是對建筑高度的估測，問題2、3則是一個(gè)與視圖有關(guān)的題目，而問題4就從“旋轉(zhuǎn)”變換的角度來要求學(xué)生。它不是用抽象的幾何圖形來考察學(xué)生對相關(guān)知識的理解，而是將其融入到這樣一個(gè)現(xiàn)實(shí)的情景中，考察學(xué)生是否能在現(xiàn)實(shí)中把握現(xiàn)代建筑這個(gè)“幾何體”，PISA認(rèn)為這將反映出一個(gè)人的幾何素養(yǎng)。,我們可以進(jìn)一步地把PISA中考察的內(nèi)容總體分為兩大類靜態(tài)與動態(tài)。所謂靜態(tài)，即指我們傳統(tǒng)的幾何課程中所關(guān)注的一些部分，如度量衡方面的知識、圖形的認(rèn)識等；而動態(tài)，則包含了變換、視圖、立體的展開與折疊等內(nèi)容。PISA在不擯棄傳統(tǒng)的幾何的同時(shí)，更側(cè)重于希望學(xué)生用“動態(tài)”的眼光去“了解、探索和征服我們所居住、呼吸和運(yùn)動的空間，以使我們對它有更多的了解”（Freudenthal,1973）。PISA考察的是15歲年齡段的處于基礎(chǔ)教育結(jié)束階段的學(xué)生，對我國來說，這個(gè)年齡段的學(xué)生正是初中畢業(yè)，那么，值得我們思考的是對初中階段的學(xué)生來說，PISA中所關(guān)注的幾何素養(yǎng)是否也應(yīng)成為我國義務(wù)教育階段的學(xué)生幾何學(xué)習(xí)目標(biāo)的重要組成部分呢？,從PISA試題中我們可以看出，它處處滲透著推理的思想和要求，處處體現(xiàn)著幾何中的直觀、經(jīng)驗(yàn)和歸納。,從圓的認(rèn)識三種教材的變化看該領(lǐng)域教學(xué)的變化,1.“圓的認(rèn)識”的編寫順序1980：（1）說明生活中有許多圓形的物體（2）圓規(guī)畫圓（3）圓心、半徑、直徑概念（4）半徑與直徑的屬性（相等、無數(shù)條）（5）圓是軸對稱圖形（6）練習(xí),1990：（1）從平面直線圖形引出曲線圖形圓。（2）生活中有許多圓（3）用圓形物體畫圓（4）紙質(zhì)的圓對折給出圓心（5）用尺子量圓心與與圓上任意一點(diǎn)的距離，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，給出半徑。（6）半徑的屬性（7）直徑的概念與屬性（8）直徑與半徑的關(guān)系（9）圓規(guī)畫圓（10）練習(xí),2006：（1）用圓形物體畫圓（2）用紙質(zhì)的圓對折（3）給出圓心、半徑直徑概念。（4）直徑與半徑屬性與關(guān)系（5）圓規(guī)畫圓（6）練習(xí)（7）圓是軸對稱圖形，畫軸對稱圖（8）練習(xí),2.三種教材如何開頭，引導(dǎo)教師與學(xué)生對圓的認(rèn)識進(jìn)行研究的?有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？3.三種教材如何給出圓心、半徑、直徑三個(gè)概念，如何引導(dǎo)師生研究半徑、直徑的屬性以及它們的關(guān)系？4.三種教材如何引導(dǎo)學(xué)生畫圓？5.三種教材出現(xiàn)了哪些練習(xí)題的類型？,圖形與幾何,“圖形的認(rèn)識”,“測量”,“圖形的運(yùn)動”,“圖形與位置”,新的課程標(biāo)準(zhǔn)在圖形的認(rèn)識方面有哪些變化？有哪些新的要求呢？小學(xué)階段對于“圖形的認(rèn)識”這一內(nèi)容，教材是遵循怎樣一個(gè)編排體系？怎樣通過圖形的認(rèn)識教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展？(請你舉例）,話題一:圖形的認(rèn)識,1.新的課程標(biāo)準(zhǔn)在圖形的認(rèn)識方面有哪些變化？有哪些新的要求呢？,對圖形認(rèn)識的要求主要包括兩個(gè)方面：一是對圖形自身特征的認(rèn)識。二是對圖形各元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認(rèn)識。,有哪些新的要求呢？,學(xué)生的圖形認(rèn)知水平主要分為五級：,水平1：直觀化；水平2：描述/分析；小學(xué)水平3：抽象/關(guān)聯(lián)；水平4：演繹/形式化推理；水平5：嚴(yán)密/元數(shù)學(xué)。,中學(xué),圖形認(rèn)識的教學(xué)要明確兩點(diǎn)：,一是這部分內(nèi)容屬于圖形認(rèn)識的哪個(gè)水平，前面的知識基礎(chǔ)和后續(xù)知識各是什么；二是多數(shù)學(xué)生現(xiàn)在的形象思維處于一個(gè)什么階段，要通過教學(xué)達(dá)到什么階段。,“體面體”的混合螺旋編排結(jié)構(gòu)原因是：第一、分散難點(diǎn)第二、符合兒童生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知規(guī)律。,2.小學(xué)階段，對于圖形的認(rèn)識，教材是遵循了怎么樣的一個(gè)編排體系？,第一：通過對實(shí)物的觀察與操作認(rèn)識圖形發(fā)展空間觀念案例：畫圖的技能,3.怎樣通過圖形的認(rèn)識教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展？,畫圖技能,思考：畫圖技能背后有哪些認(rèn)知目標(biāo)？教師如何通過設(shè)計(jì)教學(xué)任務(wù)來完成這些認(rèn)知目標(biāo)？有關(guān)圖形知識的學(xué)習(xí)從認(rèn)知目標(biāo)出發(fā)分為：識圖和畫圖。識圖是頭腦中的操作，畫圖是行為中的操作。畫圖的技能對該概念的形成很有意義。“以圖識性”第一學(xué)段側(cè)重直觀感知圖形特征第二學(xué)段側(cè)重理論提升，畫圖時(shí)需要理解畫圖的原理。,第二：基于圖形的想象和圖形之間的轉(zhuǎn)換，發(fā)展空間觀念案例正方體展開圖,正方體盒巧展開，六個(gè)面兒七刀裁。十四條邊布周圍，十一類圖記分明：四方成線兩相衛(wèi)，六種圖形巧組合；躍馬失蹄四分開；兩兩錯開一階梯。對面相隔不相連,識圖巧排“7”、“凹”、“田”。,一、四方成線兩相衛(wèi)，六種圖形巧組合以上六種展開圖可歸結(jié)為四方連線，即，另外兩個(gè)小方塊在四個(gè)方塊的上下兩側(cè)，共六種情況。,二、躍馬失蹄四分開,以上四種情況可歸結(jié)為五個(gè)小方塊組成“三二相連”的基本圖形（如圖），另外一個(gè)小方塊的位置有四種情況，即圖中四個(gè)小方塊中的任意一個(gè)，這一圖形有點(diǎn)像失蹄的馬，故稱為“躍馬失蹄”。,三、兩兩錯開一階梯這一種圖形是兩個(gè)小方塊一組，兩兩錯開，像階梯一樣，故稱“兩兩錯開一階梯”。,四、對面相隔不相連這是確定展開圖的又一種方法，也是確定展開圖中的對面的一種方法。如果出現(xiàn)三個(gè)相連，則1號面與3號面是對面，中間隔了一個(gè)2號面，并且是對面的一定不相連。,五、識圖巧排“7”、“凹”、“田”,這里介紹的是一種排除法。如果圖中出現(xiàn)象圖（1）中的“7”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因?yàn)閳D中1號面與3號面是對面，3號面又與5號面是對面，出現(xiàn)矛盾。如果圖中出現(xiàn)象圖（2）中的“田”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因?yàn)橥豁旤c(diǎn)處不可能出現(xiàn)四個(gè)面的。如果圖中出現(xiàn)象圖（3）中的“凹”形結(jié)構(gòu)的圖形不可能是正方體展開圖的，因?yàn)槿绻言搱D形折疊起來將有兩個(gè)面重合。,話題二：測量,一維圖形的大小,重點(diǎn)問題,問題1：如何以“測量”為載體，體會測量的意義，認(rèn)識度量單位及其實(shí)際意義，滲透度量意識。問題2：如何幫助學(xué)生在圖形測量過程中感悟數(shù)學(xué)思想，了解掌握測量的基本方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。問題3：如何在圖形測量的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的估測意識和能力，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性。,問題1：如何以“測量”為載體，體會測量的意義，認(rèn)識度量單位及其實(shí)際意義，滲透度量意識。角的度量,案例3：關(guān)注沒有問題的“輕松”課堂角的度量,創(chuàng)設(shè)情境,認(rèn)識量角器,使用量角器,總結(jié)提高,課后留給老師們的思考：,.課堂學(xué)生似乎輕松地學(xué)會了角的度量，難道他們真的沒有遇到問題嗎？,3.如何讓學(xué)生在探究知識的過程中學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并嘗試著解決問題呢？,2.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中是否還有比掌握量角的技能更重要的東西呢？,4.這樣的課堂似乎缺了點(diǎn)什么，缺了點(diǎn)什么呢？,“問題叢生”的課堂,問題一：“怎么才能量出這兩個(gè)角誰大誰小呢？”,小角量大角，滲透度量意識,(1),問題二：“小角量大角太麻煩了，有更簡便的測量方法嗎？”,認(rèn)識量角器，感受量角器的價(jià)值,問題三：“這樣量怎么讀不出度數(shù)”？,親自嘗試，探究量角的方法,學(xué)生一上來就犯了從直尺一端開始測量的“經(jīng)驗(yàn)主義”錯誤。不會正確擺放量角器。用量角器非中心點(diǎn)的一端頂住了角的頂點(diǎn)。因此，找不到角的度數(shù)。,學(xué)生用量角器的圓弧直接卡住了兩條邊的任意一點(diǎn)直接去量點(diǎn)。,問題四：“究竟是30還是150呢？”,親自嘗試，突破難點(diǎn),30,150,這是一節(jié)問題叢生的“活力課堂”，巧妙的教學(xué)設(shè)計(jì)魅力就在于此讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題，積極主動地自主建構(gòu)。學(xué)生的錯誤是有價(jià)值的教學(xué)資源。從引發(fā)沖突，激起探究需要，到最后自主解決問題，這樣才能真正讓學(xué)生從知識產(chǎn)生過程的體驗(yàn)中，享受到探究的樂趣，獲得自信和活力，讓學(xué)生獲得高質(zhì)量的課堂生活。,問題2：如何幫助學(xué)生在圖形測量過程中感悟數(shù)學(xué)思想，了解掌握測量的基本方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。計(jì)量單位,問題3：如何在圖形測量的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的估測意識和能力，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性。課標(biāo)的三個(gè)案例,感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)-從課標(biāo)的三個(gè)案例說起,案例（一）圖中每個(gè)小方格為1個(gè)面積單位，試估計(jì)曲線所圍成的面積。如圖一:,解決這個(gè)問題通常的做法是數(shù)方格。先數(shù)一數(shù)有多少個(gè)整格，再數(shù)一數(shù)有幾個(gè)半格，把不滿整格的進(jìn)行整合,最后累加起來,用此方法估計(jì)不規(guī)則圖形的面積。這是我們常用的方法。,沒能體現(xiàn)估算的價(jià)值，此題還可以挖掘更豐富、更深刻的內(nèi)涵。,教學(xué)時(shí)教師可以幫助學(xué)生事先做好規(guī)劃，鼓勵學(xué)生運(yùn)用不同的方法估計(jì)圖形的面積。例如，教學(xué)中教師可以啟發(fā)學(xué)生首先觀察圖形，邊進(jìn)行思考“你認(rèn)為曲線所圍成的面積結(jié)果可能會在那個(gè)范圍之間呢？你能用已有的經(jīng)驗(yàn)來解決這個(gè)問題嗎？”教師可以引導(dǎo)學(xué)生試一試。首先選擇好用來估計(jì)的“單位”即：以圖形中的一個(gè)小方格為一個(gè)單位。再找出曲線圍成圖形面積的上界和下界。學(xué)生可以這樣操作，先數(shù)出曲線圍成圖形內(nèi)包含的完整小方格數(shù)，用彩色筆將它圈出來，估計(jì)出這個(gè)曲線圍成圖形面積的下界（有75個(gè)這樣的單位）；然后再數(shù)出曲線圍成圖形邊緣接觸到的所有的小方格數(shù)，也用彩色筆將它圈出來，估計(jì)出這個(gè)曲線圍成圖形面積的上界（有113個(gè)這樣的單位）。,第一種方法估計(jì)的比實(shí)際面積小，第二種方法估計(jì)的比實(shí)際面積大，實(shí)際的面積是在這兩個(gè)數(shù)之間。由此確定曲線圍成圖形面積可能的取值范圍。,教師繼續(xù)追問“那么還有什么方法能使估算的結(jié)果更接近實(shí)際面積的嗎？試一試！”對學(xué)有余力的學(xué)生無疑是提出了更富有挑戰(zhàn)性的問題。引導(dǎo)學(xué)生將所有的方格等分成更小的方格，繼續(xù)利用上面的經(jīng)驗(yàn)，探索出更接近實(shí)際面積的估計(jì)值。滲透極限思想。如圖三:,同樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材，截然不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，給我們的啟示是什么？“數(shù)方格”的設(shè)計(jì)沒能充分體現(xiàn)估算的學(xué)習(xí)價(jià)值，只是把估算當(dāng)成一個(gè)操作技能數(shù)方格（知識點(diǎn)）去教了，為了教估算而估算?！皩ふ覅^(qū)間”的設(shè)計(jì)則注重學(xué)生估算意識和方法的培養(yǎng)。選擇合適的估計(jì)“單位”是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效估算的關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)逐漸逼近的極限思想。,教學(xué)過程中教師要注重幫助學(xué)生養(yǎng)成事先做好規(guī)劃的習(xí)慣，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用不同的方法估計(jì)圖形的面積。通過對上界、下界的確定，幫助學(xué)生尋求取值范圍，找到合適的區(qū)間。這個(gè)上界、下界的確定，對學(xué)生體驗(yàn)估算是很有意義的。這是真正意義上估算價(jià)值的體現(xiàn)。特別是通過教師引導(dǎo)學(xué)生將方格等分成更小的方格，使估計(jì)值更逼近準(zhǔn)確值，從中滲透“極限”的數(shù)學(xué)思想。這對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是很有意義的。,估算教學(xué)要通過在具體情境背景下的問題解決，培養(yǎng)學(xué)生用近似的思想解決問題，培養(yǎng)學(xué)生估算意識和方法，讓學(xué)生多擁有一種解決問題的方法。并在其中幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想和方法，積累數(shù)學(xué)數(shù)活動的經(jīng)驗(yàn)。,“圖形的測量”中的幾個(gè)核心理念：,1.使學(xué)生體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性；2.使學(xué)生理解與把握度量單位的實(shí)際意義，對測量結(jié)果有很好的感悟；3.在具體的問題情境中恰當(dāng)?shù)剡x擇度量單位、工具和方法進(jìn)行測量；4.重視估測及其簡單應(yīng)用；5.幫助學(xué)生在圖形測量活動中感悟數(shù)學(xué)思想，了解掌握測量的基本方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)空間觀念。,話題三:圖形的運(yùn)動,1.圖形的運(yùn)動有哪些主要方式？2.2011版課標(biāo)中關(guān)于“圖形的運(yùn)動”這部分內(nèi)容與2001版實(shí)驗(yàn)稿課標(biāo)相比有哪些變化？有什么新的要求？3.“圖形的運(yùn)動”常用的教學(xué)策略有哪些？,圖形的運(yùn)動,合同運(yùn)動,相似運(yùn)動,形狀和大小不變，僅僅位置發(fā)生變化,形狀不變而大小變化,問題一：圖形的運(yùn)動有哪些主要方式？,第一學(xué)段：學(xué)生借助日常生活中對圖形運(yùn)動現(xiàn)象的觀察與直觀感受，了解平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱；并認(rèn)識兩個(gè)圖形具有平移或軸對稱的關(guān)系。提供大量的豐富的圖形運(yùn)動現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生充分地觀察、想象，運(yùn)用日常生活中已經(jīng)積累的有關(guān)經(jīng)驗(yàn)，歸納、發(fā)現(xiàn)各種運(yùn)動的特點(diǎn)，是達(dá)成這個(gè)課程目標(biāo)的有效途徑。,新修訂的課標(biāo)提倡我們組織學(xué)生分組收集日常生活中常見的圖形。（如課標(biāo)案例21生活中的軸對稱圖形。）,引導(dǎo)學(xué)生觀察它們是否有對稱軸，若有對稱軸，數(shù)出或說出有幾條對稱軸。嘗試畫出它們的對稱軸。在課堂中展示交流大家的發(fā)現(xiàn)，并嘗試設(shè)計(jì)出一些軸對稱圖形。,這個(gè)活動可以鼓勵學(xué)生主動觀察，設(shè)法收集（如可以使用數(shù)碼相機(jī)或現(xiàn)場素描等）。學(xué)生可以結(jié)合自己的生活環(huán)境發(fā)現(xiàn)、找到他們熟悉的圖形對象中隱藏的對稱軸，并在交流過程中豐富自己的經(jīng)驗(yàn)。在交流大家收集到的圖形的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步鼓勵學(xué)生自己設(shè)計(jì)軸對稱圖形，并交流自己圖形所表達(dá)的意思。,第二學(xué)段：（1）按要求在方格紙上畫出一個(gè)圖形經(jīng)過平移或旋轉(zhuǎn)后所得的圖形，會補(bǔ)全一個(gè)軸對稱圖形。圖形的運(yùn)動對小學(xué)生的認(rèn)識來說，是比較抽象的，有一定難度。如果把抽象的空間意識轉(zhuǎn)化為具體的、容易操作的教與學(xué)的過程，方格紙起到很好的作用。,標(biāo)準(zhǔn)只要求圖形沿水平或豎直方向平移、圖形繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。不要求圖形沿其他方向平移或繞著一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度。方格紙能幫助學(xué)生更準(zhǔn)確地認(rèn)識和理解圖形基本特征，能更好地使學(xué)生認(rèn)識和描述空間圖形的變換過程，可以有效地促進(jìn)學(xué)生對空間概念的建立。這也就回答了在“圖形與幾何”學(xué)習(xí)中方格紙的作用。,（2）研究圖形的相似運(yùn)動，即將圖形放大或縮小。第二學(xué)段要求“能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小”，這里的“放大與縮小”不是嚴(yán)格的相似，主要是直觀感知，即放大或縮小后的圖形與原來的圖形形狀相同而大小不同。這將為第三學(xué)段研究圖形的相似運(yùn)動和位似運(yùn)動奠定基礎(chǔ)。,（3）綜合運(yùn)用圖形的運(yùn)動進(jìn)行圖案的欣賞與設(shè)計(jì)。學(xué)生對圖形運(yùn)動特點(diǎn)的了解、能夠在方格紙上按要求畫出運(yùn)動后的圖形，這些知識技能和經(jīng)驗(yàn)是圖案的欣賞和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。圖案的欣賞與設(shè)計(jì)，為學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界、看生活提供了機(jī)會，也可以進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的美、數(shù)學(xué)的價(jià)值。,欣賞或設(shè)計(jì)一個(gè)圖案時(shí)，不同的學(xué)生會有不同的感受、不同的解釋、不同的想象，只要是合理的都應(yīng)予以肯定，并進(jìn)行交流與分享；但應(yīng)要求學(xué)生用自己的語言表達(dá)圖案中的圖形運(yùn)動關(guān)系，從而更好地體會圖形的運(yùn)動在圖案欣賞和設(shè)計(jì)中的作用。,關(guān)于對稱的教學(xué),五下第一單元：圖形的變化1.學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識圖形的軸對稱，探索成軸對稱的特征和性質(zhì)，并能在方格紙上畫一個(gè)圖形的軸對稱圖形。,2。進(jìn)一步認(rèn)識圖形的旋轉(zhuǎn)，探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)，能在方格紙上畫簡單圖形旋轉(zhuǎn)90度。,3.初步學(xué)會用對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的方法在方格紙上設(shè)計(jì)圖案，進(jìn)一步增強(qiáng)空間觀念。,1.為什么由“圖形與變換”改為“圖形的運(yùn)動”？,一是為了突出小學(xué)階段的特點(diǎn)，“運(yùn)動”更加直觀易懂；二是更加突出了從運(yùn)動的角度刻畫圖形。運(yùn)動是世間萬物的基本特征，是物質(zhì)存在的基本形式。,問題二：2011版課標(biāo)的新變化？新要求？,2.學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的價(jià)值是什么？,（1）從學(xué)生角度來看現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的圖形的變換的現(xiàn)象，學(xué)生有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，為兒童學(xué)習(xí)圖形的變換提供了豐富多彩的現(xiàn)實(shí)背景。我們希望提供給學(xué)生一種數(shù)學(xué)的眼光，去認(rèn)識和把握這些現(xiàn)象。,問題二：2011版課標(biāo)的新變化？新要求？,（2）從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度來看1872年，德國大數(shù)學(xué)家克萊茵發(fā)表“愛爾蘭根綱領(lǐng)”的演說，這個(gè)里程碑式的論斷，改變了近兩千年來人們用靜止的觀點(diǎn)研究幾何的傳統(tǒng)方法。,2.學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的價(jià)值是什么？,問題二：2011版課標(biāo)的新變化？新要求？,問題二：2011版課標(biāo)的新變化？新要求？,3.與實(shí)驗(yàn)稿的課標(biāo)相比有哪些變化？有什么新要求？,問題二：2011版課標(biāo)的新變化？新要求？,3.與實(shí)驗(yàn)稿的課標(biāo)相比有哪些變化？有什么新要求？,1.結(jié)合生活實(shí)例，在觀察與比較中認(rèn)識圖形的運(yùn)動,問題三：常用的教學(xué)策略有哪些？,2.借助操作活動，加深對圖形運(yùn)動的認(rèn)識，幫助學(xué)生體會圖形運(yùn)動的特征,3.注重從運(yùn)動的角度，引導(dǎo)學(xué)生欣賞圖形、設(shè)計(jì)圖案,4.在解決問題中注重“圖形的運(yùn)動”和相關(guān)知識的聯(lián)系，發(fā)展空間想象力和解決問題的能力,修訂課標(biāo)中有這樣的案例例35圖畫還原：打亂由幾塊積木或者幾幅圖畫構(gòu)成的平面畫面，請學(xué)生還原并利用平移和旋轉(zhuǎn)記錄還原步驟。,2.從運(yùn)動變換的角度理解度量小學(xué)階段，在平面幾何和立體幾何的面積和體積公式的推導(dǎo)過程中，時(shí)刻都能感受到變換的重要作用。三角形、平行四邊形、梯形、圓的面積公式的推導(dǎo)過程中，會用到拼湊、割補(bǔ)等多種推導(dǎo)的方法，這些方法的實(shí)質(zhì)是圖形的變換。,利用圖形的旋轉(zhuǎn)、平移變換求面積,2.從運(yùn)動變換的角度理解度量公園草坪上有一把休閑椅（如下圖）。園林工人發(fā)現(xiàn)，椅子的側(cè)面出現(xiàn)了破損。如果重新更換側(cè)面的裝飾膜，一共需要多少裝飾膜？,總之，小學(xué)階段有關(guān)圖形的運(yùn)動目標(biāo)的達(dá)成是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)該注重多種策略的運(yùn)用，以這個(gè)內(nèi)容為載體，幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。,1.新的課程標(biāo)準(zhǔn)在確定圖形位置方面有哪些變化？變化的意義是什么？2.來自老師們的問題有哪些？3.這部分內(nèi)容教學(xué)中發(fā)展空間觀念的教學(xué)建議有哪些？,話題四:圖形與位置,問題一：新的課程標(biāo)準(zhǔn)在確定圖形位置方面有哪些變化？變化的意義是什么？,問題一：新的課程標(biāo)準(zhǔn)在確定圖形位置方面有哪些變化？變化的意義是什么？,第一、二學(xué)段“圖形與位置”的內(nèi)容是按兩條線索展開的：一是確定物體的相對位置；二是辨認(rèn)方向和使用路線圖。,圖形與位置內(nèi)容分析與教學(xué)建議,“圖形與位置”的教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)目標(biāo),人教版教材在第一、二學(xué)段五次編排了“圖形與位置”的內(nèi)容。第一次：（一年級上冊）用上、下、左、右、前、后描述物體的相對位置。第一次呈現(xiàn)“圖形與位置”的內(nèi)容，教材編排了四個(gè)方面的內(nèi)容。,上、下,上、下,在的上面，在的下面。在的面，在的面。的下面有什么?,李林在王英的前面，王英在李林的后面。張寧在李林的_面，王英在張寧的_面。,李林,王英,張寧,前、后,等一下，我后面還有3個(gè)人。,左、右,1,這是右手。,另一只手是,看看你的兩只手。,左右,左右手是好朋友。,兩只小手可以做什么？,右手寫字,左手壓本子。,我舉手發(fā)言用右手。,我的左邊有什么?,我的左邊有,2,伸出右手，握一握。,3,3,4,4,位置,你的座位是第()組第()個(gè)。你前面的同學(xué)是第()組第()個(gè)。你后面的同學(xué)是第()組第()個(gè)。你左邊的同學(xué)是第()組第()個(gè)。你右邊的同學(xué)是第()組第()個(gè)。,教學(xué)目標(biāo),借助學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識“上、下”，學(xué)習(xí)用上、下描述物體的相對位置。,排隊(duì)上車、游泳比賽中的運(yùn)動員、教室中的座位等都有前、后順序，利用這些學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識前、后，學(xué)會用前、后描述物體的相對位置。,借助“左手、右手平時(shí)做什么”這些早已養(yǎng)成的生活習(xí)慣，認(rèn)識左、右，學(xué)會用左、右描述物體的相對位置。,借助學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)（教室的座位、電影院中的座位等），初步學(xué)習(xí)用“第幾組第幾個(gè)”、“第幾行第幾個(gè)”、“第幾排第幾個(gè)”等語言描述的方式確定物體的位置。,第二次：（三年級下冊）在東、南、西、北、東北、西北、東南、西南八個(gè)方向中，給定一個(gè)方向，辨析其余七個(gè)方向；用方位詞和距離描述路線；會看簡單的路線圖。,第二次呈現(xiàn)“圖形與位置”的內(nèi)容，教材編排了五個(gè)方面的內(nèi)容：,早晨，太陽在東方。,我面向東，背對著的方向是西。,小明,小明左手指向北方，右手指向南方。,1,我們來完成校園的示意圖。,操場,北,教學(xué)樓,我把上方定為西。,我把上方定為南。,2,請問去少年宮怎么走?,先向東再向北。,如果要去體育場，可以怎么走?,3,(1)小紅從家向東走了120米，又向_走了_米到游泳館。,書店,小蘭家,小明家,劇場,學(xué)校,游泳館,小紅家,120米,200米,280米,150米,80米,210米,170米,90米,北,郵局,50米,100米,多功能廳在校園的東北角。,多功能廳,食堂,可以用指南針幫助我們辨別方向。,4,動物園導(dǎo)游圖,北,去熊貓館，可以先到獅山，再向西北走。也可以,熊貓館在西北角。,飛禽館在動物園的什么位置？從大門出發(fā)可以怎樣走？,5,教學(xué)目標(biāo),借助學(xué)生熟悉的校園認(rèn)識東、南、西、北。,畫校園示意圖，把生活中的東、南、西、北與圖上的東、南、西、北聯(lián)系起來，提高學(xué)生辨別方向的能力。,學(xué)會用東、南、西、北和距離描述簡單的路線。,借助指南針辨別東、南、西、北、西北、東北、西南、東南八個(gè)方向，給定一個(gè)方向，能辨析其余七個(gè)方向。,會看簡單的路線圖，能用東、南、西、北、西北、東北、西南、東南八個(gè)方向描述簡單的路線。,第三次：（四年級下冊）用方向與距離確定物體的位置。,第三次呈現(xiàn)“圖形與位置”的內(nèi)容，教材編排了四個(gè)方面的內(nèi)容：,1,1號檢查點(diǎn)在東偏北30的方向上。,大約要走1千米。,在平面圖上標(biāo)出校園內(nèi)各建筑物的位置。(1)教學(xué)樓在校門的正北方向150米處。(2)圖書館在校門的北偏東35方向150米處。(3)體育館在校門的西偏北40方向200米處。,2,怎樣表示出150米?,可以用1厘米代表50米。,先確定方向。,北京和上海兩地相距大約1067千米。,3,上海在北京的南偏東約30的方向上。,北京在上海的_偏_約_的方向上。,公園定向運(yùn)動路線圖,(1)根據(jù)上面的路線圖，說一說每一賽段所走的方向和路程。,終點(diǎn),起點(diǎn),100米,1,2,1000米,1000米,800米,4,教學(xué)目標(biāo),學(xué)習(xí)用方向和距離確定物體位置的方法。通過在校園平面圖上確定物體的位置，掌握用方向和距離確定物體位置的方法。在地圖上描述北京、上海兩地之間的位置關(guān)系，體會用方向和距離確定物體位置的相對性。借助校園定向運(yùn)動路線圖，利用確定位置的方法描述比賽路線。,第四次：（六年級上冊）用“數(shù)對”確定位置。,第四次呈現(xiàn)“圖形與位置”的內(nèi)容，教材編排了兩個(gè)方面的內(nèi)容：,是第二列，第三行的同學(xué)。,(1)你能指出哪個(gè)是張亮同學(xué)嗎?,趙強(qiáng),李剛,1,熊貓館在(，)。,654321,0123456,動物園示意圖,大象館,大門,猴山,熊貓館,海洋館,我用(3，0)表示大門的位置。,2,教學(xué)目標(biāo),以教室內(nèi)學(xué)生的位置情況為背景學(xué)習(xí)用“數(shù)對”確定位置的方法。,在動物園示意圖上，利用“數(shù)對”確定位置的方法表示各場館的位置。,第五次（六年級下冊）了解比例尺；在具體情境中，會按給定的比例進(jìn)行圖上距離與實(shí)際距離的換算。,學(xué)習(xí)比例尺，提高學(xué)生識圖、畫圖的能力，是確定位置方法的具體應(yīng)用。,第五次呈現(xiàn)“圖形與位置”的內(nèi)容，教材編排了三個(gè)方面的內(nèi)容：,比例尺,在繪制地圖和其他平面圖的時(shí)候，需要把實(shí)際距離按一定的比縮小(或擴(kuò)大)，再畫在圖紙上。這時(shí)，就要確定圖上距離和相對應(yīng)的實(shí)際距離的比。一幅圖的圖上距離和實(shí)際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。,這是線段比例尺，表示地圖上1cm的距離相當(dāng)于地面上50km的實(shí)際距離。,比例尺1:100000000,在生產(chǎn)中，有時(shí)由于機(jī)器零件比較小，需要把實(shí)際距離擴(kuò)大一定的倍數(shù)以后，再畫在圖紙上。,你知道圖中的2:1表示什么嗎?,把下圖的線段比例尺改成數(shù)值比例尺。,1,下面是北京市地鐵規(guī)劃圖。地鐵1號線在圖中的長度大約是10cm，它的實(shí)際長度大約是多少?,2,學(xué)校要建一個(gè)長80m、寬60m的長方形操場，畫出操場的平面圖。,我想用線段比例尺。,可以先確定比例尺。,我覺得1:1000的比例尺比較合適。,再根據(jù)比例尺確定圖上操場的長和寬。,3,教學(xué)目標(biāo),根據(jù)實(shí)際地圖、平面圖理解比例尺的意義；根據(jù)圖上距離、實(shí)際距離會計(jì)算一幅圖的比例尺；認(rèn)識數(shù)值比例尺、線段比例尺，能進(jìn)行二者之間的轉(zhuǎn)換。根據(jù)給出的比例尺會進(jìn)行圖上距離與實(shí)際距離之間的轉(zhuǎn)換。能根據(jù)實(shí)際情況靈活選擇比例尺，繪制簡單的平面圖。,“圖形與位置”內(nèi)容之間的關(guān)系,第一、二學(xué)段“圖形與位置”的內(nèi)容是按兩條線索展開的：一是確定物體的相對位置；二是辨認(rèn)方向和使用路線圖。,圖形與位置,確定物體的相對位置,辨認(rèn)方向和使用路線圖,用上、下、前、后、左、右描述物體的相對位置,用“第幾行第幾個(gè)”、“第幾排第幾個(gè)”描述物體的位置,用“數(shù)對”描述、確定物體的位置,認(rèn)識八個(gè)方向，會用方向詞描述物體所在的方向和簡單路線,用方向、距離描述、確定物體的位置，描述路線，畫路線圖,比例尺及其應(yīng)用,學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)確定點(diǎn)，用坐標(biāo)表示幾何圖形,學(xué)習(xí)極坐標(biāo),把“圖形與位置”的教學(xué)內(nèi)容分成“確定物體的相對位置”、“辨認(rèn)方向與使用路線圖”兩部分，可以讓我們看出兩方面內(nèi)容是有區(qū)別的。但是它們并非截然分開，而是有聯(lián)系的，無論是上下、前后、左右，還是東、南、西、北，都既可以用來描述物體的相對位置，又可以用來說明方向。,例如，“把數(shù)學(xué)書放在作業(yè)本的上面”、“電梯上行”，前者表示相對位置，后者表示方向。,在“圖形與位置”內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)該注意哪些問題？“圖形與位置”的內(nèi)容是“空間觀念”在教材中的具體呈現(xiàn)，因此，發(fā)展學(xué)生的空間觀念是“圖形與位置”教學(xué)的核心目標(biāo)。在“圖形與位置”的教學(xué)中，如何更好地發(fā)展學(xué)生的空間觀念呢？提出三點(diǎn)總體建議：,建議一：充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn),學(xué)生的空間知識來自于豐富的現(xiàn)實(shí)原型，與現(xiàn)實(shí)生活關(guān)系非常緊密，這是他們理解和發(fā)展空間觀念的寶貴資源。讓學(xué)生在“教室里”、“校園內(nèi)”、“電影院中”、“上學(xué)路上”等熟悉的情境中學(xué)習(xí)“圖形與位置”的內(nèi)容，不僅可以激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，而且有利于更好地認(rèn)識空間，發(fā)展空間觀念。,建議二：讓學(xué)生經(jīng)歷生活經(jīng)驗(yàn)回憶、觀察、操作、想象、描述、思考、交流、分析、推理、表示等活動過程,發(fā)展空間觀念的途徑是多樣化的，在教學(xué)中我們只有讓學(xué)生經(jīng)歷了多樣化的數(shù)學(xué)活動過程，才能逐步發(fā)展空間觀念。,建議三：倡導(dǎo)自主探索與合作交流的教學(xué)方式,以被動的聽講和練習(xí)為主的方式，很難形成空間觀念。培養(yǎng)空間觀念需要大量的實(shí)踐活動，學(xué)生需要有充分的時(shí)間和空間去經(jīng)歷多樣化的數(shù)學(xué)活動過程，這不僅需要自主探索、親身體驗(yàn)，更需要合作交流。,辨別方向,變式練習(xí),游戲鞏固,填寫記錄卡,制作校園平面圖,案例：認(rèn)識東、南、西、北教學(xué)片段（在操場上辨別方向）,案例解讀,操場是學(xué)生熟悉的校園環(huán)境，太陽從東方升起從西方落下是學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，前、后、左、右是學(xué)生已有的知識，在學(xué)生熟悉的情境中，利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識東、南、西、北，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。,案例解讀,變式練習(xí)讓學(xué)生在比較中感知到了東、南、西、北各占一方的固定性和前、后、左、右的相對性。有趣的游戲要利用剛剛學(xué)到的方位的知識，實(shí)現(xiàn)了“興趣”與“數(shù)學(xué)思考”的有機(jī)結(jié)合。,填寫記錄卡、制作校園平面圖這兩個(gè)活動，對于低年級學(xué)生來說還是有一定難度的，但是非常有意義，不僅讓學(xué)生剛知道了實(shí)際方位與圖上方向之間的聯(lián)系，而且讓學(xué)生經(jīng)歷了“觀察初步形成表象再現(xiàn)形成校園平面圖的表象”的過程，有利于發(fā)展學(xué)生的空間觀念。,學(xué)生在生活中獲得了很多對“圖形與位置”的認(rèn)識，可能這些認(rèn)識是零散、模糊的，與教學(xué)的要求并不相符，教學(xué)中如何充分利用學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)？案例一：六年級數(shù)對教學(xué)前測測試問題：請你在紙上描述出你們班長的位置。,學(xué)生的描述方法可以分為三類,文字?jǐn)⑹霭嚅L的位置班長的位置是第三排第四個(gè)；班長的位置是第三列第四個(gè)；班長在從窗戶數(shù)的第三排第四個(gè)；從門這邊數(shù)第五組的第四個(gè)是班長。,畫圖表示班長的位置,還有一個(gè)孩子談到了，班長在我的斜后方第三個(gè)。學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)很豐富，這固然可喜。但是，學(xué)生的想法各異，老師該如何處理呢？如何引導(dǎo)學(xué)生掌握教材介紹的“用數(shù)對確定位置”的方法呢？,案例解讀,面對學(xué)生不同的表示方法，教師應(yīng)迅速歸類，選擇有代表性的方法，傾聽學(xué)生的心聲。在所有的學(xué)生理解不同的表示方法之后，通過不同表示方法的對比，讓學(xué)生體會到確定位置要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。,最后引導(dǎo)學(xué)生掌握用數(shù)對確定位置的方法：確定學(xué)生在教室中的位置，要以教師面向?qū)W生的位置為觀測點(diǎn)，豎排叫做列，橫排叫做行。確定第幾列