2008-2009學年北京市海淀區(qū)九年級(上)期中數(shù)學試卷及答案

.2008-2009學年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本題共32分，每小題4分）1（4分）（2007武漢）如果2是一元二次方程x2=c的一個根，那么常數(shù)c是（）A 2 B -2 C 4 D -42（4分）如圖是北京奧運會自行車比賽項目標志，則圖中兩輪所在圓的位置關系是（）A.外離 B.相交 C 相切 D 內(nèi)含3（4分）一元二次方程x22x+3=0的根的情況是（）A沒有實數(shù)根B有兩個相等的實數(shù)根C有兩個不相等的實數(shù)根D有兩個實數(shù)根4（4分）在下列圖形中，一定有1=2的是（）A. B. C. D.5（4分）用配方法解下列方程，其中應在方程的左右兩邊同時加上4的是（）A.x22x=5 B.x2+4x=5 C.x2+2x=5 D.2x24x=56（4分）如圖，陰影部分組成的圖案既關于y軸成軸對稱，又關于坐標原點O成中心對稱，若點A的坐標是（2，1），則點M、N的坐標分別是（） A .M（2，1），N（2，1） B. M（2，1），N（2，1）C. M（2，1），N（2，1） D. M（2，1），N（2，1）7（4分）如圖所示的向日葵圖案是用等分圓周畫出的，則O與半圓P的半徑的比為（）A. 53 B. 41 C. 3:1 D . 2:18（4分）如圖，AB是O的直徑，C是O上一點，ACB的平分線交O于D，且AB=10cm，則AD的長為（）A. B . 5cm C. D . 二、填空題（本題共16分，每小題4分）9（4分）方程x2=3x的解為：_10（4分）已知P是O外一點，PA切O于A，PB切O于B若PA=6，則PB=_11（4分）若2x3=1，y2y=2，則3y2+2x2y9y（2yx）的值為_12（4分）如圖，將含30角的直角三角尺ABC繞點B順時針旋轉150后得到EBD，連接CD若BCD的面積為3cm2，則AC=_cm三、解答題（本題共28分，第13題8分，第14題、第15題各4分，第16題3分，第17題5分，第18題4分）13（8分）解下列方程（1）2x26x+3=0（2）x（x2）+x2=014（4分）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x4415（4分）（2008常州）已知：如圖，AB=AD，AC=AE，BAD=CAE求證：BC=DE16（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，已知格點ABC請畫出ABC關于點B成中心對稱的ABC17（5分）根據(jù)國家“兩免一補”政策，某地區(qū)2006年投入教育經(jīng)費5000萬元，預計2008年投入教育經(jīng)費7200萬元求這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率18（4分）已知關于x的方程kx2+4x2=0有實數(shù)根，求k的取值范圍四、解答題（本題共22分，第19題、第20題各5分，第21題、第22題各6分）19（5分）如圖，BC是O的弦，A是O上一點，ODBC于D，且BD=，A=60，求BC的長及O的半徑20（5分）先閱讀，再回答問題：如果x1，x2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩個根那么x1+x2，x1x2與系數(shù)a，b，c的關系是：，（1）若x1，x2是方程2x2+x3=0的兩個根，則x1+x2=，x1x2=；（2）若x1，x2是方程x2+x3=0的兩個根，求的值21（6分）已知關于x的方程x2（k+1）x+（2k2）=0（1）求證：無論k取何值，此方程總有實數(shù)根；（2）若等腰ABC的底邊a=3，另兩邊b，c好是此方程的兩根，求ABC的周長22（6分）如圖，在O中，AB為直徑，AD為弦，過D點的直線與AB的延長線交于點C（1）若A=25，C=40，求證：CD是O的切線；（2）當A與C滿足什么關系時，直線CD與O相切請直接寫出你得到的結論；（3）若CD是O的切線，且AB=14，BC：DC=3：4，求OC的長五、解答題（本題22分，第23題6分，第24題8分，第25題8分）23（6分）請閱讀下列材料：問題：已知方程x2+x3=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍解：設所求方程的根為y，則y=2x，所以x=把x=代入已知方程，得化簡，得y2+2y12=0故所求方程為y2+2y12=0這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”（1）已知方程x2+x1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的3倍，則所求方程為_（2）已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；（3）已知關于x的方程x2mx+n=0有兩個實數(shù)根，求一個方程，使它的根分別是已知方程根的平方24（8分）如圖，在平面直角坐標系中，A（4，0），B（4，4），C（0，4），點F、D分別在x軸、y軸上，正方形DEFO的邊長為a（a2），連接AC、AE、CF（1）求圖中AEC的面積，請直接寫出計算結果；（2）將圖中正方形ODEF繞點O旋轉一周，在旋轉的過程中，SAEC是否存在最大值、最小值？如果不存在，請說明理由；如果存在，在備用圖中畫出相應位置的圖形，并直接寫出最大值、最小值；（3）將圖1中正方形ODEF繞點O旋轉，當點E在第二象限時，設E（x，y），AEC的面積為S，求S關于x的函數(shù)關系式25（8分）已知：在ABC中，ACB為銳角，D是射線BC上一動點（D與C不重合）以AD為一邊向右側作等邊ADE（C與E不重合），連接CE（1）若ABC為等邊三角形，當點D在線段BC上時，（如圖1所示），則直線BD與直線CE所夾銳角為_度；（2）若ABC為等邊三角形，當點D在線段BC的延長線上時（如圖2所示），你在（1）中得到的結論是否仍然成立？請說明理由；（3）若ABC不是等邊三角形，且BCAC（如圖3所示）試探究當點D在線段BC上時，你在（1）中得到的結論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請指出當ACB滿足什么條件時，能使（1）中的結論成立？并說明理由2008-2009學年北京市海淀區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共32分，每小題4分）在下列各題的四個備選答案中，只有一個是正確的，請你把正確答案前的字母填寫在括號中1（4分）（2007武漢）如果2是一元二次方程x2=c的一個根，那么常數(shù)c是（）A2B2C4D4考點：一元二次方程的解。765359 分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立解答：解：把x=2代入方程x2=c可得c=4，故本題選C點評：本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義2（4分）如圖是北京奧運會自行車比賽項目標志，則圖中兩輪所在圓的位置關系是（）A外離B相交C相切D內(nèi)含考點：圓與圓的位置關系。765359 分析：直接根據(jù)圓與圓的位置關系特點從圖中進行判斷解答：解：兩圓沒有交點，一個圓在另一個圓的外部，所反映的位置關系是外離故選A點評：主要考查了圓與圓之間的位置關系，要掌握住特點依據(jù)圖形直觀的判斷兩圓之間有5種位置關系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個公共點的叫相交3（4分）一元二次方程x22x+3=0的根的情況是（）A沒有實數(shù)根B有兩個相等的實數(shù)根C有兩個不相等的實數(shù)根D有兩個實數(shù)根考點：根的判別式。765359 專題：計算題。分析：根據(jù)根的判別式=b24ac的符號來判定一元二次方程x22x+3=0的根的情況解答：解：一元二次方程x22x+3=0的二次項系數(shù)a=1，一次項系數(shù)b=2，常數(shù)項c=3，=b24ac=412=80，原方程無實數(shù)根故選A點評：本題考查了根的判別式，解題的關鍵是根據(jù)根的判別式的情況決定一元二次方程根的情況4（4分）在下列圖形中，一定有1=2的是（）ABCD考點：圓周角定理。765359 分析：觀察圖形可知：圖1與2是同弧所對的圓周角，根據(jù)圓周角定理，可得1=2；圖根據(jù)圓周角定理，可得BAC=90，然后根據(jù)同角的余角相等，即可判定1=2，則可求得答案解答：解：如圖：1與2是同弧所對的圓周角，1=2；1與2不是對頂角，1與2不一定相等；1與2不一定相等；BC是直徑，BAC=90，2+C=90，ADBC，1+C=90，1=2一定有1=2的是故選D點評：此題考查了圓周角定理與直角的性質此題比較簡單，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等與半圓（或直徑）所對的圓周角是直角定理的應用5（4分）用配方法解下列方程，其中應在方程的左右兩邊同時加上4的是（）Ax22x=5Bx2+4x=5Cx2+2x=5D2x24x=5考點：解一元二次方程-配方法。765359 專題：配方法。分析：配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方解答：解：A、因為本方程的一次項系數(shù)是2，所以等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方1；故本選項錯誤；B、因為本方程的一次項系數(shù)是4，所以等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方4；故本選項正確；C、因為本方程的一次項系數(shù)是2，所以等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方1；故本選項錯誤；D、將該方程的二次項系數(shù)化為1x22x=，所以本方程的一次項系數(shù)是2，所以等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方1；故本選項錯誤；故選B點評：此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確應用選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)6（4分）如圖，陰影部分組成的圖案既關于y軸成軸對稱，又關于坐標原點O成中心對稱，若點A的坐標是（2，1），則點M、N的坐標分別是（）AM（2，1），N（2，1）BM（2，1），N（2，1）CM（2，1），N（2，1）DM（2，1），N（2，1）考點：坐標與圖形變化-旋轉；坐標與圖形變化-對稱。765359 分析：根據(jù)A，M兩點關于y軸對稱，則它們的縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)，利用關于原點對稱橫縱坐標互為相反數(shù)得出即可解答：解：根據(jù)題意，知A、M兩點關于y軸對稱，則M（2，1）A，N關于原點對稱，A的坐標是（2，1），則N（2，1）故選C點評：此題考查了關于對稱軸以及原點對稱坐標性質，利用兩點關于y軸對稱以及兩個點關于原點對稱點的坐標性質得出是解題關鍵7（4分）如圖所示的向日葵圖案是用等分圓周畫出的，則O與半圓P的半徑的比為（）A53B41C31D21考點：正多邊形和圓。765359 分析：連接OA、OP、OB，根據(jù)正六邊形及等腰三角形的性質解答即可解答：解：連接OA、OP、OB；向日葵圖案是用等分圓周畫出的，此圓內(nèi)接多邊形是正六邊形，AOB=60；AOB是等腰三角形，P為AB邊的中點，AOP=AOB=30，AOP是直角三角形，AP=OA，即O與半圓P的半徑的比為2：1故選D點評：此題比較簡單，考查的是正六邊形的性質及等腰三角形的性質；解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出等腰三角形及直角三角形8（4分）如圖，AB是O的直徑，C是O上一點，ACB的平分線交O于D，且AB=10cm，則AD的長為（）AB5cmCD考點：圓周角定理；等腰直角三角形。765359 專題：證明題。分析：連接OD利用直徑所對的圓周角是直角、角平分線的性質求得圓周角ACD=45；然后根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半求得AOD=90；最后根據(jù)在等腰直角三角形AOD中利用勾股定理求AD的長度解答：解：連接ODAB是O的直徑，ACB=ADB=90（直徑所對的圓周角是直角）；又ACB的平分線交O于D，D點為半圓AB的中點，ABD為等腰直角三角形，AD=AB=5cm故選C點評：本題考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質解答該題時，通過作輔助線OD構造等腰直角三角形AOD，利用其性質求得AD的長度的二、填空題（本題共16分，每小題4分）9（4分）方程x2=3x的解為：x1=0，x2=3考點：解一元二次方程-因式分解法。765359 分析：首先把方程移項，把方程的右邊變成0，然后對方程左邊分解因式，根據(jù)幾個式子的積是0，則這幾個因式中至少有一個是0，即可把方程轉化成一元一次方程，從而求解解答：解：移項得：x23x=0，即x（x3）=0，于是得：x=0或x3=0則方程x2=3x的解為：x1=0，x2=3故答案是：x1=0，x2=3點評：本題考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依據(jù)是關鍵10（4分）已知P是O外一點，PA切O于A，PB切O于B若PA=6，則PB=6考點：切線長定理。765359 分析：根據(jù)切線長定理知：PA=PB，由此可求出PB的長解答：解：PA、PB都是O的切線，且A、B是切點；PA=PB，即PB=6點評：此題考查的是切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等11（4分）若2x3=1，y2y=2，則3y2+2x2y9y（2yx）的值為8考點：整式的加減化簡求值。765359 專題：計算題。分析：先求得x，再把x=2代入3y2+2x2y9y（2yx），將y2y=2整體代入即可解答：解：2x3=1，x=2，3y2+2x2y9y（2yx）=3y2+8y9y（2y2）=3y2+8y9y2y+2=3y23y+2=3（y2y）+2=32+2=8故答案為8點評：本題考查了整式的加減以及化簡求值，是基礎知識要熟練掌握12（4分）如圖，將含30角的直角三角尺ABC繞點B順時針旋轉150后得到EBD，連接CD若BCD的面積為3cm2，則AC=2cm考點：旋轉的性質；解直角三角形。765359 專題：計算題。分析：作DFBE，由題意知，ABCDBE，則AC=ED，因為ABC=30，ACB=90，則BC=AC，又在直角DFE中，F(xiàn)DE=30，所以，DF=DE=AC，所以，ACAC=3，即可解出AC的長；解答：解：作DFBE，由題意知，ABCDBE，AC=ED，ABC=30，ACB=90，BC=AC，又在直角DFE中，F(xiàn)DE=30，DF=DE=AC，ACAC=3，解得，AC=2cm故答案為：2點評：本題主要考查了旋轉的性質和解直角三角形，掌握旋轉前后的兩個三角形全等，及含30度角的直角三角形中，邊與邊之間的關系三、解答題（本題共28分，第13題8分，第14題、第15題各4分，第16題3分，第17題5分，第18題4分）13（8分）解下列方程（1）2x26x+3=0（2）x（x2）+x2=0考點：解一元二次方程-因式分解法；等式的性質；解一元一次方程；解一元二次方程-公式法。765359 專題：計算題。分析：（2）求出b24ac的值，代入x=求出即可；（2）提取后分解因式得到（x2）（x+1）=0，推出方程x2=0，x+1=0，求出方程的解即可解答：（1）解：2x26x+3=0，b24ac=（6）2423=12，x=，方程的解是x1=，x2=（2）解：x（x2）+x2=0，即x（x2）+（x2）=0，分解因式得：（x2）（x+1）=0，x2=0，x+1=0，解方程得：x1=2，x2=1，方程的解是x1=2，x2=1點評：本題主要考查對等式的性質，解一元一次方程，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，能選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關鍵14（4分）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x44考點：實數(shù)范圍內(nèi)分解因式。765359 專題：計算題。分析：實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，先運用平方差公式得出（x2+2）（x22），后一個括號還能運用平方差公式進行分解解答：解：原式=（x2+2）（x22），=（x2+2）（x+）（x）點評：本題考查了在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，熟練掌握平方差公式a2b2=（a+b）（ab）15（4分）（2008常州）已知：如圖，AB=AD，AC=AE，BAD=CAE求證：BC=DE考點：全等三角形的判定與性質。765359 專題：證明題。分析：先通過BAD=CAE得出BAC=DAE，從而證明ABCADE，得到BC=DE解答：證明：BAD=CAE，BAD+DAC=CAE+DAC即BAC=DAE，在ABC和ADE中，ABCADE（SAS）BC=DE點評：本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：AAS、SSS、SAS、SSA、HL注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角16（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，已知格點ABC請畫出ABC關于點B成中心對稱的ABC考點：作圖-旋轉變換。765359 專題：作圖題。分析：根據(jù)中心對稱圖形的中心對稱點平分對應點連線，可將AB、CB延長相同長度找對應點A、C，然后順次連接得中心對稱圖形ABC；解答：解：將AB、CB延長相同長度找對應點A、C，順次連接可得出圖形ABC，所作圖形如下：點評：本題考查了旋轉作圖的知識，中心對稱圖形是旋轉作圖的一個特殊情況，即旋轉180，注意掌握旋轉的三要素，旋轉中心，旋轉角度，旋轉方向17（5分）根據(jù)國家“兩免一補”政策，某地區(qū)2006年投入教育經(jīng)費5000萬元，預計2008年投入教育經(jīng)費7200萬元求這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率考點：一元二次方程的應用。765359 專題：增長率問題。分析：設該地區(qū)教育經(jīng)費的年平均增長率為x，根據(jù)2006年投入5000萬元，預計2008年投入7200萬元可列方程求解解答：解：設該地區(qū)教育經(jīng)費的年平均增長率為x，5000（1+x）2=7200，（1+x）2=1.44，1+x0，1+x=1.2，x=20%答：這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率為20%點評：本題考查理解題意的能力，是個增長率問題，知道2006年的投入和2008年的投入，經(jīng)過兩年的增長可列出方程求解18（4分）已知關于x的方程kx2+4x2=0有實數(shù)根，求k的取值范圍考點：根的判別式。765359 分析：根據(jù)方程根的情況可以判定其根的判別式的取值范圍，進而可以得到關于k的不等式，解得即可，同時還應注意二次項系數(shù)不能為0解答：解：當k=0時，方程變?yōu)橐辉淮畏匠?x2=0，此時方程有實數(shù)根，當K0時，關于x的方程kx2+4x2=0有實數(shù)根，=b24ac0，即：16+8k0，解得：k2，K的取值范圍為k2點評：本題考查了根的判別式，解題的關鍵是了解根的判別式如何決定一元二次方程根的情況四、解答題（本題共22分，第19題、第20題各5分，第21題、第22題各6分）19（5分）如圖，BC是O的弦，A是O上一點，ODBC于D，且BD=，A=60，求BC的長及O的半徑考點：圓周角定理；垂徑定理；解直角三角形。765359 分析：連接BO、CO構建圓心角BOC和等腰三角形BOC，然后根據(jù)垂徑定理求BC的長度；最后利用圓周角定理、以及等腰三角形的性質中直角三角形BOD中利用特殊角的三角函數(shù)的定義求得半徑OB的長度解答：解：連接BO、COA=60，BOC=120（同弧所對的圓周角是圓心角的一半）；BC是O的弦，A是O上一點，ODBC于D，BD=CD（垂徑定理），BOD=COD=60，BC=2BD=2，在RtBOD中，BD=，B0=2點評：本題綜合考查了圓周角定理、垂徑定理、解直角三角形等幾何知識解答該題的關鍵是通過作輔助線OB、OC構建圓心角和等腰三角形BOC20（5分）先閱讀，再回答問題：如果x1，x2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩個根那么x1+x2，x1x2與系數(shù)a，b，c的關系是：，（1）若x1，x2是方程2x2+x3=0的兩個根，則x1+x2=，x1x2=；（2）若x1，x2是方程x2+x3=0的兩個根，求的值考點：根與系數(shù)的關系。765359 分析：（1）利用根與系數(shù)關系得出x1+x2=，x1x2=，求出即可；（2）將原始通分化簡得出=進而利用根與系數(shù)關系求出即可解答：解：（1）x1+x2=，x1x2=；（2）=，又x2+x3=0，x1+x2=1，x2x2=3原式=答：原式值為點評：此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將原始通分化簡后，利用根與系數(shù)關系得出是解題關鍵21（6分）已知關于x的方程x2（k+1）x+（2k2）=0（1）求證：無論k取何值，此方程總有實數(shù)根；（2）若等腰ABC的底邊a=3，另兩邊b，c好是此方程的兩根，求ABC的周長考點：根的判別式；三角形三邊關系；等腰三角形的性質。765359 分析：（1）計算方程的根的判別式，若=b24ac0，則證明方程總有實數(shù)根；（2）已知a=3，則a可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得b，c的值后，再求出ABC的周長注意兩種情況都要用三角形三邊關系定理進行檢驗解答：（1）證明：=b24ac=（k+1）24（2k2）=k26k+9=（k3）20無論k取何值，方程總有實數(shù)根（2）解：若a=3為底邊，則b，c為腰長，則b=c，則=0（k3）2=0，解得：k=3此時原方程化為x24x+4=0x1=x2=2，即b=c=2此時ABC三邊為3，2，2；若a=b為腰，則b，c中一邊為腰，不妨設b=a=3代入方程：323（k+1）+（2k2）=0k=4則原方程化為x25x+6=0（x2）（x3）=0x1=2，x2=3即b=3，c=2此時ABC三邊為3，3，2能構成三角形，綜上所述：ABC三邊為3，3，2周長為8或7點評：重點考查了根的判別式及三角形三邊關系定理，注意求出三角形的三邊后，要用三邊關系定理檢驗22（6分）如圖，在O中，AB為直徑，AD為弦，過D點的直線與AB的延長線交于點C（1）若A=25，C=40，求證：CD是O的切線；（2）當A與C滿足什么關系時，直線CD與O相切請直接寫出你得到的結論；（3）若CD是O的切線，且AB=14，BC：DC=3：4，求OC的長考點：切線的判定與性質；解一元二次方程-因式分解法；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質；等腰三角形的性質。765359 專題：證明題。分析：（1）連接OA，根據(jù)三角形外角性質求出AOC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出OAC即可；（2）根據(jù)2A+C=90求出C=30，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出OAC的度數(shù)即可；（3）設AC=4x，F(xiàn)C=3x，由切割線定理得到（4x）2=3x（3x+14），求出方程的解即可解答：解：（1）證明：連接OD，OA=OD，B=ADO=25，DOC=25+25=50，ODC=180CDOC=90，CD是O的切線（2）當2A+C=90時，直線CD與O相切（3）設DC=4x，BC=3x，由切割線定理得：（4x）2=3x（3x+14），x=6，OC=3x+7=25，答：OC的長是25點評：本題主要考查對三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質，三角形的外角性質，切線的性質和判定，解一元二次方程等知識點的連接和掌握，熟練地運用這些性質進行推理是解此題的關鍵五、解答題（本題22分，第23題6分，第24題8分，第25題8分）23（6分）請閱讀下列材料：問題：已知方程x2+x3=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍解：設所求方程的根為y，則y=2x，所以x=把x=代入已知方程，得化簡，得y2+2y12=0故所求方程為y2+2y12=0這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”（1）已知方程x2+x1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的3倍，則所求方程為y2+3y9=0（2）已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；（3）已知關于x的方程x2mx+n=0有兩個實數(shù)根，求一個方程，使它的根分別是已知方程根的平方考點：一元二次方程的解；根的判別式。765359 專題：閱讀型。分析：根據(jù)所給的材料，設所求方程的根為y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程解答：解：（1）設所求方程的根為y，則y=3x，所以x=把x=代入已知方程，得化簡，得y2+3y9=0，故所求方程為y2+3y9=0故答案是：y2+3y9=0；（2）設所求方程的根為y，則y=（x0），于是x=（y0）把x=代入方程ax2+bx+c=0，得a（ ）2+b+c=0去分母，得a+by+cy2=0若c=0，有ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0有一個根為0，不符合題意，c0，故所求方程為cy2+by+a=0（c0）；（3）設所求方程的根為y，則y=x2，所以x=當x=時，把x=代入已知方程，得m+n=0，即ym+n=0；當x=時，把x=代入已知方程，得+m+n=0，即y+m+n=0點評：本題主要考查了一元二次方程的解、根的判別式本題是一道材料題，是一種新型問題，解題時，要提取材料中的關鍵性信息24（8分）如圖，在平面直角坐標系中，A（4，0），B（4，4），C（0，4），點F、D分別在x軸、y軸上，正方形DEFO的邊長為a（a2），連接AC、AE、CF（1）求圖中AEC的面積，請直接寫出計算結果；（2）將圖中正方形ODEF繞點O旋轉一周，在旋轉的過程中，SAEC是否存在最大值、最小值？如果不存在，請說明理由；如果存在，在備用圖中畫出相應位置的圖形，并直接寫出最大值、最小值；（3）將圖1中正方形ODEF繞點O旋轉，當點E在第二象限時，設E（x，y），AEC的面積為S，求S關于x的函數(shù)關系式考點：相似三角形的判定與性質；二次函數(shù)的最值；正方形的性質；旋轉的性質。765359 分析：（1）A（4，0），B（4，4），C（0，4），可以知道正方形ABCO的邊長為4，而SAEC=SAOC+S梯形CEFOSEFA這樣就求出了該三角形的面積（2）如圖2，當E點旋轉到正方形的對角線H點時，SAHC最小當E點運動到G點SAHC最大，根據(jù)三角形面積公式可以求出其面積（3）首先利用OE不變把y用含x和a的式子表示出來，然后根據(jù)第一問求AEC的面積的方法，表示出S后通過化簡就可以求出S與x之間的函數(shù)關系式解答：解：（1）由圖形得SAEC=SAOC+S梯形CEFOSEFASAEC=+=8（2）如圖，SAHC=SAEC最小=84aSAGC=SAEC最大=8+4a（3）在正方形EFOD中，由勾股定理得：EO=aE（x，y）OG=x，EG=y在RtEGO中，由勾股定理得：y2+x2=2a2EG=S=8+S=82x2點評：本題是一道有關旋轉問題的試題，考查了三角形的面積公式、勾股定理、正方形的性質以及旋轉的性質和利用圖形面積求函數(shù)的表達式25（8分）已知：在ABC中，ACB為銳角，D是射線BC上一動點（D與C不重合）以AD為一邊向右側作等邊ADE（C與E不重合），連接CE（1）若ABC為等邊三角形，當點D在線段BC上時，（如圖1所示），則直線BD與直