《高等數(shù)學(xué)B》課程教學(xué)大綱.doc

高等數(shù)學(xué)B課程教學(xué)大綱AdvancedMathematics B課程代碼：03100B01，03100B02 課程性質(zhì)：公共基礎(chǔ)理論課（必修）適用專業(yè)：工商、會(huì)計(jì)等經(jīng)管類各專業(yè) 開課學(xué)期：1、2總學(xué)時(shí)數(shù)：128 總學(xué)分?jǐn)?shù)：8修訂年月：2016年1月 執(zhí) 筆：宋常修 李鋒課程簡(jiǎn)介(中文)： 高等數(shù)學(xué)是近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高等學(xué)校工科各專業(yè)學(xué)生的一門必修的基礎(chǔ)理論課。它在現(xiàn)代工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理和人文科學(xué)等各領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用。本課程以微積分學(xué)為核心內(nèi)容。首先在極限的基礎(chǔ)上建立了連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、不定積分和定積分的概念和應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上結(jié)合空間解析幾何建立了多元函數(shù)微積分學(xué)的基本概念和應(yīng)用。此外還介紹了微積分學(xué)的兩個(gè)應(yīng)用分支：微分方程和無窮級(jí)數(shù)。課程簡(jiǎn)介(英文)： Advanced Mathematics is the foundation of modern mathematics, and is a compulsory public basic theory course for all majors of science and engineering. It has a wide range of applications in modern engineering technology, economic management, humanities and other areas. This course takes calculus as its core content. First, on the basis of limit, the concepts and applications of continuity, derivatives, indefinite and definite integrals are established. Combined with the geometry of space, the basic concepts and applications of multivariate calculus are also established. Moreover, two branches of application are introduced: differential equations and infinite series.一、課程目的通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)極限的思想和方法有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問題的意識(shí)、興趣，用定性與定量相結(jié)合的方法處理經(jīng)濟(jì)問題的能力，為學(xué)生今后在其各個(gè)專業(yè)方向的深入發(fā)展打下牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。二、課程教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配（一）教學(xué)內(nèi)容1函數(shù)、極限與連續(xù)函數(shù)：函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的特性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)、初等函數(shù)的概念，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及圖形。簡(jiǎn)單應(yīng)用問題函數(shù)關(guān)系的建立；經(jīng)濟(jì)變量間的數(shù)量關(guān)系：總成本函數(shù)、總收入函數(shù)、總利潤(rùn)函數(shù)、需求函數(shù)、供給函數(shù)等。極限：數(shù)列極限的定義，收斂數(shù)列的性質(zhì)（唯一性，有界性）；函數(shù)極限的定義，函數(shù)的左右極限，函數(shù)極限的性質(zhì)（局部保號(hào)性、局部有界性），無窮小與無窮大的概念及其關(guān)系；極限的四則運(yùn)算法則，兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則），兩個(gè)重要極限，無窮小的比較。函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)及其分類，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值定理，零點(diǎn)定理和介值定理）。2導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分：導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系；平面曲線的切線和法線，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；高階導(dǎo)數(shù)的概念，初等函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的求法，隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)的求法；微分的定義，微分的運(yùn)算法則（含微分形式的不變性）。3中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用羅爾定理和拉格朗日中值定理、柯西（Cauchy)中值定理，洛必達(dá)法則，泰勒公式，函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性，函數(shù)的極值與最大最小值，求函數(shù)曲線的漸近線，函數(shù)圖形的描繪，導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用（邊際分析、彈性分析）。4不定積分原函數(shù)與不定積分的定義，不定積分的性質(zhì)，基本積分公式，換元積分法，分部積分法，有理函數(shù)的積分。5定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用：定積分的定義及其性質(zhì)，積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，牛頓萊布尼茨公式，定積分的換元法和分部積分法；廣義積分的概念；定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用（面積、旋轉(zhuǎn)體體積、平行截面面積為已知的立體的體積）；積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。6多元函數(shù)微積分多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)：空間解析幾何簡(jiǎn)介，多元函數(shù)的基本概念，二元函數(shù)的幾何表示，二元函數(shù)的極限與連續(xù)性，有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的定義及其求法，高階偏導(dǎo)數(shù)的概念及復(fù)合函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)的求法；全微分的定義，全微分存在的必要條件和充分條件，多元復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求偏導(dǎo)公式（一個(gè)方程的情形）。偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：多元函數(shù)的極值及其求法，最大值、最小值問題及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，條件極值，拉格朗日乘數(shù)法。二重積分：二重積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；二重積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用（曲面面積、立體體積）。7無窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：無窮級(jí)數(shù)及其收斂與發(fā)散的定義，收斂級(jí)數(shù)的和的概念、無窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，級(jí)數(shù)收斂的必要條件，幾何級(jí)數(shù)和P級(jí)數(shù)的斂散性；正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較、比值及根值審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理，絕對(duì)收斂與條件收斂的概念及其關(guān)系。冪級(jí)數(shù)：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與和函數(shù)的概念，冪級(jí)數(shù)的概念，阿貝爾定理，較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)的收斂域的求法，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)；泰勤級(jí)數(shù)，麥克勞林級(jí)數(shù)，函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)。8微分方程與差分方程 微分方程的基本概念，可分離變量的微分方程，齊次方程；一階線性微分方程；線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；二階常系數(shù)齊次線性微分方程，常系數(shù)非齊次線性微分方程；差分方程簡(jiǎn)介。（二）學(xué)時(shí)分配本課程的教學(xué)時(shí)數(shù)為128學(xué)時(shí)，分上、下兩學(xué)期，各學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)分配如下表：（課內(nèi)外學(xué)時(shí)比例均為1:2）教學(xué)環(huán)節(jié)課程內(nèi)容講 課習(xí) 題 課小 計(jì)高等數(shù)學(xué)B（1）函數(shù)、極限、連續(xù)10212導(dǎo)數(shù)與微分10212中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用14216中 段 檢 測(cè)2不 定 積 分8210定積分及其應(yīng)用8210總 復(fù) 習(xí)22合 計(jì)501264高等數(shù)學(xué)B（2）多元函數(shù)微積分24428中 段 檢 測(cè)2無窮級(jí)數(shù)14216微分方程與差分方程14216總 復(fù) 習(xí)22合 計(jì)521064總 計(jì)10222128三、課程教學(xué)基本要求及重點(diǎn)難點(diǎn)（一）函數(shù)、極限與連續(xù)1基本要求1）. 深入理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，了解常用經(jīng)濟(jì)變量間的數(shù)量關(guān)系：總成本函數(shù)、總收入函數(shù)、總利潤(rùn)函數(shù)、需求函數(shù)、供給函數(shù)等，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2）. 熟練掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。3）. 理解復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)、反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4）. 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，理解初等函數(shù)的概念。5）. 理解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系，了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的區(qū)別和聯(lián)系。6）. 掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。7）. 了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。8）. 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。9）. 理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。10）. 了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。2重點(diǎn)：函數(shù)概念，復(fù)合函數(shù)概念，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，極限概念，極限四則運(yùn)算法則，連續(xù)概念。3難點(diǎn)：極限的N、定義，求極限。（二）、導(dǎo)數(shù)與微分1基本要求：1）理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念;了解導(dǎo)數(shù)、微分的幾何意義;了解函數(shù)可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系；2）熟練掌握導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則（包括微分形式不變性）和導(dǎo)數(shù)的基本公式；3）熟練掌握復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握用對(duì)數(shù)求導(dǎo)的方法；4）掌握求參數(shù)方程所表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法；5）了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；熟練掌握求初等函數(shù)一、二階導(dǎo)數(shù)的方法。2重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，隱函數(shù)求導(dǎo)法；初等函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法。3難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。（三）、中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1基本要求：1）理解羅爾定理和拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，了解柯西（Cauchy)中值定理；2）熟練掌握洛必達(dá)法則和各種未定式極限的求法；3）熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法極其應(yīng)用；4）熟練掌握求函數(shù)極值的方法，了解函數(shù)極值和最值的關(guān)系；5）熟練掌握函數(shù)曲線的凹凸性和拐點(diǎn)的判別方法及曲線漸近線的求法；6）掌握函數(shù)作圖的基本步驟和方法；7）掌握對(duì)常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)進(jìn)行邊際分析和彈性分析的方法。2重點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)工具分析函數(shù)性態(tài)；對(duì)經(jīng)濟(jì)函數(shù)進(jìn)行邊際分析和彈性分析。3難點(diǎn)：函數(shù)性態(tài)分析。（四）、不定積分1基本要求：1）理解原函數(shù)和不定積分的概念；2）熟練掌握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式；3）熟練掌握換元積分法，分部積分法；4）會(huì)求有理函數(shù)的積分；2重點(diǎn)：原函數(shù)與不定積分的定義，不定積分的性質(zhì)，基本積分公式，換元積分法，分部積分法。3難點(diǎn)：換元積分法。（五）、定積分及其應(yīng)用1基本要求：1）了解定積分的概念和性質(zhì)；2）熟練掌握牛頓萊布尼茨公式，會(huì)求變上限定積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3）熟練掌握求定積分的湊微分法和第二換元積分法，分部積分法；4）會(huì)利用定積分求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積，會(huì)利用定積分求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題；5）了解廣義積分收斂和發(fā)散的概念，掌握計(jì)算廣義積分的基本方法。2重點(diǎn)：定積分的概念及性質(zhì)，定積分的換元法與分部積分法，變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，牛頓萊布尼茲公式，定積分的幾何應(yīng)用和經(jīng)濟(jì)應(yīng)用。3難點(diǎn)：變上限函數(shù)的求導(dǎo)，換元積分法。（六）、多元函數(shù)微積分1基本要求：1）理解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義。2）了解多元函數(shù)的極限及連續(xù)的概念；理解多元函數(shù)的全微分和偏導(dǎo)數(shù)的概念。掌握偏導(dǎo)數(shù)和全微分的計(jì)算法。3）掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。4）掌握偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。5）了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，了解二重積分在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。2重點(diǎn)：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，復(fù)合函數(shù)階偏導(dǎo)數(shù)的求法，多元函數(shù)極值和條件極值的概念。二重積分的概念，二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）。3難點(diǎn)：求抽象復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。（七）、無窮級(jí)數(shù)1基本要求：1）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念、收斂級(jí)數(shù)的和的概念、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件；2）幾何級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的收斂性、正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法（比較、比值、根值判別法）；3）任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理；4）冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域；5）冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)；6）函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)（泰勒級(jí)數(shù)）；7）簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法、初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式。2重點(diǎn)：無窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，幾何級(jí)數(shù)和P級(jí)數(shù)的收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法，萊布尼茲判別法，比較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的求法。用間接法展開函數(shù)為冪級(jí)數(shù)。3難點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理，求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)，函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)。（八）、微分方程與差分方程1基本要求：1）了解微分方程及其階、解、通解、初始條件、特解的概念；2）能識(shí)別下述一階微分方程、可分離變量的微分方程，齊次方程，一階線性方程3）熟練掌握可分離變量的微分方程、齊次方程、及一階線性方程的解法，會(huì)求其通解、特解；4）了解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；5）熟練掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；6）掌握非齊次項(xiàng)為多項(xiàng)式，指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及以及它們的線性組合與乘積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法；2重點(diǎn)：變量可分離的方程及一階線性方程的解法，二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，二階常系數(shù)齊次（非齊次）線性微分方程的解法。3難點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解。四、本課程與