D31中值定理[同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)

第三章,中值定理,應(yīng)用,研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài),利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題,羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式(第三節(jié)),微分中值定理,與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,一、羅爾(Rolle)定理,第一節(jié),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,費(fèi)馬(fermat)引理,一、羅爾(Rolle)定理,且,存在,證:設(shè),則,費(fèi)馬目錄上頁下頁返回結(jié)束,證畢,羅爾（Rolle）定理,滿足:,(1)在區(qū)間a,b上連續(xù),(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),(3)f(a)=f(b),使,證:,故在a,b上取得最大值,M和最小值m.,若M=m,則,因此,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,若Mm,則M和m中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè),則至少存在一點(diǎn),使,注意:,1)定理?xiàng)l件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.,例如,則由費(fèi)馬引理得,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,使,2)定理?xiàng)l件只是充分的.,本定理可推廣為,在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且,在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),證明提示:設(shè),證F(x)在a,b上滿足羅爾定理.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例1.證明方程,有且僅有一個(gè)小于1的,正實(shí)根.,證:1)存在性.,則,在0,1連續(xù),且,由介值定理知存在,使,即方程有小于1的正根,2)唯一性.,假設(shè)另有,為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn),但,矛盾,故假設(shè)不真!,設(shè),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,二、拉格朗日中值定理,(1)在區(qū)間a,b上連續(xù),滿足:,(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),至少存在一點(diǎn),使,思路:利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù),作輔助函數(shù),顯然,在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且,證:,問題轉(zhuǎn)化為證,由羅爾定理知至少存在一點(diǎn),即定理結(jié)論成立.,拉氏目錄上頁下頁返回結(jié)束,證畢,拉格朗日中值定理的有限增量形式:,推論:,若函數(shù),在區(qū)間I上滿足,則,在I上必為常數(shù).,證:在I上任取兩點(diǎn),日中值公式,得,由的任意性知,在I上為常數(shù).,令,則,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例2.證明等式,證:設(shè),由推論可知,(常數(shù)),令x=0,得,又,故所證等式在定義域上成立.,自證:,經(jīng)驗(yàn):,欲證,時(shí),只需證在I上,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例3.證明不等式,證:設(shè),中值定理?xiàng)l件,即,因?yàn)?故,因此應(yīng)有,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,三、柯西(Cauchy)中值定理,分析:,及,(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),(3)在開區(qū)間(a,b)內(nèi),至少存在一點(diǎn),使,滿足:,要證,柯西目錄上頁下頁返回結(jié)束,證:作輔助函數(shù),且,使,即,由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn),思考:柯西定理的下述證法對嗎?,兩個(gè)不一定相同,錯(cuò)!,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,上面兩式相比即得結(jié)論.,柯西定理的幾何意義:,注意:,弦的斜率,切線斜率,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例4.設(shè),至少存在一點(diǎn),使,證:結(jié)論可變形為,設(shè),則,在0,1上滿足柯西中值,定理?xiàng)l件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使,即,證明,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例5.試證至少存在一點(diǎn),使,證:,法1用柯西中值定理.,則f(x),F(x)在1,e上滿足柯西中值定理?xiàng)l件,令,因此,即,分析:,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,例5.試證至少存在一點(diǎn),使,法2令,則f(x)在1,e上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件,使,因此存在,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系,羅爾定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的應(yīng)用,(1)證明恒等式,(2)證明不等式,(3)證明有關(guān)中值問題的結(jié)論,關(guān)鍵:利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù),費(fèi)馬引理,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,思考與練習(xí),1.填空題,1)函數(shù),在區(qū)間1,2上滿足拉格朗日定理,條件,則中值,2)設(shè),有,個(gè)根,它們分別在區(qū)間,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,上.,方程,2.設(shè),且在,內(nèi)可導(dǎo),證明至少存,在一點(diǎn),使,提示:,由結(jié)論可知,只需證,即,驗(yàn)證,在,上滿足羅爾定理?xiàng)l件.,設(shè),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,3.若,可導(dǎo),試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有,的零點(diǎn).,提示:,設(shè),欲證:,使,只要證,亦即,作輔助函數(shù),驗(yàn)證,在,上滿足,羅爾定理?xiàng)l件.,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,4.思考:在,即,當(dāng),時(shí),問是否可由此得出,不能!,因?yàn)?是依賴于x的一個(gè)特殊的函數(shù).,因此由上式得,表示x從右側(cè)以任意方式趨于0.,應(yīng)用拉格朗日中值定理得,上對函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束,作業(yè),P1327,8,10,12,14,15,提示:,題15.,題14.考慮,第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束,費(fèi)馬(16011665),法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué),只是他的業(yè)余愛好.,他興趣廣泛,博,覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多,重大貢獻(xiàn).,他特別愛好數(shù)論,他提出,的費(fèi)馬大定理:,至今尚未得到普遍的證明.,他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中,提煉出來的.,拉格朗日(17361813),法國數(shù)學(xué)家.,他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百,余年來,數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間,接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學(xué),產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.,柯西(17891857),法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中,在微積分學(xué),柯,西全集共有27卷.,其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué),校編寫的分析教程,無窮小分析概論,微積,分在幾何上的應(yīng)用等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn).,對數(shù)學(xué)的影,他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分,所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展.,復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.,一生