相速度與群速度

6-4 光的相速度和群速度折射率是光在真空中和介質(zhì)中傳播速度的比值，即，通?？梢酝ㄟ^測定光線方向的改變并應用折射定律來求它，但原則上也可分別實測和來求它們的比值，用近代實驗室方法，不難以任何介質(zhì)中的光速進行精確的測定，例如水的折射率為1.33，用這兩種方法測得的結(jié)果是符合的，但對二硫化碳，用光線方向的改變的折射法測得的折射率為1.64，而1885年邁克耳孫用實測光速求得的比值則為1.75，其間差別很大，這絕不是由實驗誤差所造成的，瑞利找到了這種差別的原因，他對光速概念的復雜性進行了說明，從而引出了相速度和群速度的概念。按照波動理論，這種通常的光速測定法相當于測定由下列方程所決定的波速的數(shù)值： 不難看出，這里所代表的是單色平面波的一定的位相向前移動的速度，因為位相不變的條件為 由此得到 或 (6-1)所以這個速度稱為位相速度（簡稱相速），這速度的量值可用波長和頻率來計算。波的表達式部是t 和r的函數(shù),可以寫成下列形式： 式中 和都是不隨 t 和 r 而改變的量，故位相不變的條件為=常量由此得 或 (6-2)（6-2）式表示的位相速度乃是嚴格的單色波地(有單一的確定值)所特有的一種速度，單色波以t和r的余弦函數(shù)表達,為常量，這種嚴格的單色波的空間延續(xù)和時間延續(xù)都是無窮無盡的余弦（或正弦）波，但是這種波僅是理想的極限情況，實際所到的永遠是形式不同的脈動，這種脈動僅在空間某一有限范圍內(nèi)、在一定的時間間隔內(nèi)發(fā)生，在時間和空間上都是有起點和終點的，任何形式的脈動都可看成是由無限多個不同頻率、不同振幅的單色正弦波或余弦波疊加而成的，即可將任何脈動寫成傅里葉級數(shù)或傅里葉積分的形式，在無色散介質(zhì)中所有這些組成脈動的單色平面波都以同一相速度傳播，那么該脈動在傳播過程中將永遠保持形狀不變，整個脈動也永遠以這一速度向前傳播，但是除真空以外，任何介質(zhì)通常都具有色散的特征，就是說，各個單色平面波各以不同的相速傳播，其大小隨頻率而變，所以由它們疊加而成的脈動在傳播過程中將不斷改變其形狀，在這種情況下，關(guān)于脈動的傳播速度問題就變得比較復雜了，觀察種脈動時，可以先認定它上面的某一特殊點，例如振幅最在大的一點，而把這一點在空間的傳播速度看作是代表整個脈動的傳播速度，但是由于脈動形狀的改變，所選定的這一特殊點在脈動范圍內(nèi)也將不斷改變其位置，因而該點的傳播速度和任何一個作為組成部分的單針平面波的相速都將有所不同，按照瑞利的說法，這脈動稱為波群，因而脈動的傳播速度稱為群速度，簡稱群速，現(xiàn)在僅就一個簡化的例子來討論兩種速度的關(guān)系。假設脈動由兩個頻率相近且振幅相等的單色簡諧波疊加而成，在這簡化的例子中，現(xiàn)象的主要特征仍然保留無遺，這兩個單色余弦波可用下列兩式表示 這時假設兩個單色波的頻率和波長彼此相差很小，可以認為 脈動為 和 之和，即引入符號 使該脈動的形式仍舊寫為 應當注意現(xiàn)在 不是常數(shù)，而是隨時間和空間在改變，但改變得很緩慢，因為 和 比起和 k來都是很小的量（這和頻率相近的兩個振動疊加時形成的拍相類似），因此，如果不用嚴格的措詞，則可認為該脈動是一個振幅變化緩慢的簡諧波，(圖68)圖6-8（）表示兩個簡諧波（一個用實踐，一個用虛線表示）的疊加，圖6-8（）中虛線表示合振動緩慢的變化，形成一個脈動。設在該脈動上選定一個具體有一定數(shù)值的點（例如最大值），而計算這一點向前移動的速度，這個速度就代表脈動的傳播速度（群速），它既是波的一定振幅向前推進的速度，因而也就是在一定的條件下運動著的脈動所具有的能量的傳播速度。(圖69)圖6-9表示（6-3）式的這兩個余弦波，波長分別為 和，分別以速度 和 沿同一方向傳播，并假設，在某瞬時，空間某一點A處兩波的波峰和 重合，因而這時里出現(xiàn)一個最大值的振幅，經(jīng)過了時間t后，波長為的波超前了一段路程，在空間另一點B處兩波的波峰和重合，在這一段時間里最大值振幅已從A點移到B點，也就是說AB這一段距離和時間 t 的比值給出群速度 u ，從圖中可直接看出 或?qū)τ谌我粋€波從圖中還可以看出豎直雙線處 從上兩式中消去t，即得 這個關(guān)系式稱為瑞利公式，從已知的相速度和 的值就可算出群速度 u 的值。事實上，在脈動中不選定最大值而選定任一個指定的合振幅 也可同樣算得相同的群速度，按（6-4）式,不變的條件為 注意和是不隨t 和r 而變的，故在不同時刻和不同地點 A 保持不變的條件為 而這里的 是指群速度，于是u由此可見，單色波的特征在于用相速 表示一定位相的推進速度，而任何脈動的一般特征在于用群速 u 表示一定振幅的推進速度。對于任何脈動，u 和v 之間的一般關(guān)系式也不難找到，（6-2）式表示任何一個嚴格單色波的相速度 v 與及 k之間的關(guān)系，在考慮群速度 u 時，必須注意各個成分波（嚴格單色波）的相速度是隨波長而變的，即 v 是 k 的函數(shù)，按（6-2）式， 或 ，于是 又因 故 于是 最后得任何脈動的一般瑞利公式 (6-7)上式給出群速u 和相速 v之間的關(guān)系，由此可以看出，群速與相速大小的差值與和 有關(guān)， 表示相速隨波長的變化率，由于折射率的定義為 ，是相速之比，并隨入射波長不同而不同，所以 和 有密切關(guān)系，只有在有色散介質(zhì)中，才必須區(qū)分群速和相速，真空中二者是沒有區(qū)別的。如果知道了 的函數(shù)，還可用作圖法來求出群速度，（圖610）圖6-10所示的曲線表示某一假定的這種函數(shù)，曲線上一步P的橫坐標為 ，縱坐標為 v ，P點的切線 的斜率為 ，從圖直接可以看出 欲求相當于某波長附近的群速度，只要在圖中曲線上該點作切線和 v 軸相交于一點R， 的長度即等于所求的群速度。瑞利指出，在測定光速的各種實驗方法中，就實質(zhì)來看，所用的都不是一列延綿不斷的波，而是把波分割成許多小脈動，在測定光速的羅默法中，光的分割是由周期蝕造成的；在遮斷法中是由齒輪或其它遮斷器造成的；在旋轉(zhuǎn)鏡法中，當鏡子的轉(zhuǎn)動角度足夠大時，光就達不到觀察者，在所有這些情況下，實際在色散物質(zhì)中測量到的都是群速而不是相速，光只有在真空中才沒有色散，即 ，因而其群速和相速相等。邁克耳孫在水和二硫化碳的實驗中所測量到的是群速的比值，不是相速的比值，但在他的測定范圍內(nèi)水的 非