高數(shù)的經濟應用ppt課件

,第四節(jié),定積分在經濟學上的應用,第六章,一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù)二、資金流的現(xiàn)值和未來值,機動目錄上頁下頁返回結束,1.成本函數(shù),總成本=固定成本+可變成本,平均成本(單位成本)=,2.收益函數(shù),3.利潤函數(shù),利潤=總收益-總成本，即L(Q)=R(Q)-C(Q).,復習,收益=價格銷量，即R(Q)=PQ.,機動目錄上頁下頁返回結束,邊際的經濟意義:當時,x改變一個單位,y改變,4.邊際,個單位.,5.常用的邊際函數(shù),邊際成本；邊際收益；邊際利潤,機動目錄上頁下頁返回結束,在處的邊際值為.,.,4,一、已知邊際函數(shù)求總函數(shù),問題：已知某邊際經濟函數(shù)，求該總經濟量.,設某個經濟函數(shù)u(x)的邊際函數(shù)為,則有,于是,機動目錄上頁下頁返回結束,.,5,2.已知銷售某產品的邊際收益為，x為銷售量，R(0)=0,則總收益函數(shù)為,1.已知生產某產品的邊際成本為，x為產量，固定成本為C(0),則總成本函數(shù)為,機動目錄上頁下頁返回結束,.,6,3.設利潤函數(shù)L(x)=R(x)-C(x),其中x為產量，R(x)是收益函數(shù),C(x)是成本函數(shù)，若L(x),R(x),C(x)均可導，則邊際利潤為：L(x)=R(x)-C(x).因此總利潤為：,機動目錄上頁下頁返回結束,.,7,例1生產某產品的邊際成本函數(shù)為,固定成本C(0)=1000,求生產x個產品的總成本函數(shù).,解,例2已知邊際收益為,設R(0)=0,求收益函數(shù)R(x).,解,機動目錄上頁下頁返回結束,.,8,例3：設某商品的邊際收益為,(1)求銷售50個商品時的總收益和平均收益；,(2)如果已經銷售了100個商品，求再銷售,100個商品的總收益和平均收益；,解:(1),總收益函數(shù):,平均收益:,機動目錄上頁下頁返回結束,.,9,解:(2),總收益為:,平均收益:,例3：設某商品的邊際收益為,(1)求銷售50個商品時的總收益和平均收益；,(2)如果已經銷售了100個商品，求再銷售,100個商品的總收益和平均收益；,機動目錄上頁下頁返回結束,.,10,例4：已知生產某產品x臺的邊際成本為,(萬元/臺)，邊際收入為(萬元/臺).,(1)若不變成本為C(0)=10(萬元/臺),求總成本函數(shù)，,總收入函數(shù)和總利潤函數(shù)；,(2)當產量從40臺增加到80臺時,總成本與總收入的增量;,解:(1)總成本為,機動目錄上頁下頁返回結束,機動目錄上頁下頁返回結束,.,11,由于當產量為零時總收入為零,即R(0)=0,于是,總收入為,總利潤函數(shù)為,機動目錄上頁下頁返回結束,.,12,（萬元）,(2)當產量從40臺增加到80臺時,總成本的增量為;,當產量從40臺增加到80臺時,總收入的增量為;,（萬元）,機動目錄上頁下頁返回結束,.,13,由變化率求總量,例5某工廠生產某商品,在時刻t的總產量變化率為(單位/小時).求由t=2到t=4這兩小時的總產量.,解,總產量,例6生產某產品的邊際成本為,當產量由200增加到300時,需追加成本為多少?,解,追加成本,機動目錄上頁下頁返回結束,.,14,例7在某地區(qū)當消費者個人收入為x時,消費支出W(x)的變化率,當個人收入由900增加到1600時,消費支出增加多少?,解,機動目錄上頁下頁返回結束,.,15,設有本金A0,年利率為r,則一年后得利息A0r,本利和為,1.單利,假設在期初投資一個單位的本金，在每一時期內,都得到完全相同的利息金額，這種計息方式為單利.,二、收益流的現(xiàn)值與未來值,機動目錄上頁下頁返回結束,A0A0rA0(1r),n年后所得利息nA0r,本利和為,An=A0+nA0r=A0(1+nr),這就是單利的本利和計算公式,.,16,第二年以第一年后的本利和A1為本金,則兩年后的,2.復利,這種計息方式的基本思想是：利息收入自動被,計入下一期的本金.就像常說的“利滾利”.,機動目錄上頁下頁返回結束,這就是一般復利的本利和計算公式.,本利和為A2A0(1r)A0(r)rA0(r)2，照,此計算,n年后應得本利和為,AnA0(1r)n,.,17,資金周轉過程是不斷持續(xù)進行的,若一年中分n期計算,年利率仍為r,于是每期利率為r/n,則一年后的本利和為,t年后本利和為AtA(1r/n)nt，,若采取瞬時結算法,即隨時生息,隨時計算,也就是n時,得t年后本利和為這就是連續(xù)復利公式,A1A(1r/n)n，,.,18,因此，在年利率為r的情形下,若采用連續(xù)復利，有：（1）已知現(xiàn)值為A0,則t年后的未來值為,（2）已知未來值為At,則貼現(xiàn)值為,期數(shù)趨于無窮大的極限情況下的計息方式，即每時,3.連續(xù)復利,每刻計算復利的方式稱為連續(xù)復利.,貼現(xiàn)值：時刻t的一個貨幣單位在時刻0時的價值.,機動目錄上頁下頁返回結束,AtAert，,AAte-rt,.,19,我們知道,若以連續(xù)復利率r計息,一筆P元人民幣從現(xiàn)在起存入銀行,t年后的價值(將來值),若t年后得到B元人民幣,則現(xiàn)在需要存入銀行的金額(現(xiàn)值),下面先介紹收益流和收益流量的概念.,若某公司的收益是連續(xù)地獲得的,則其收益可被看作是一種隨時間連續(xù)變化的收益流.而收益流對時間的變化率稱為收益流量.,4、收益流的現(xiàn)值和將來值,機動目錄上頁下頁返回結束,.,20,收益流量實際上是一種速率,一般用R(t)表示;若時間t以年為單位,收益以元為單位,則收益流量的單位為:元/年.(時間t一般從現(xiàn)在開始計算).若R(t)=b為常數(shù),則稱該收益流具有均勻收益流量.,將來值：現(xiàn)在一定量的資金在未來某一時點上的價值,現(xiàn)值：將來某一時點的一定資金折合成現(xiàn)在的價值，俗稱“本金”,例如：假設銀行利率為5%,你現(xiàn)在存入銀行10000塊,一年以后可得本息10500元.10500為10000的將來值,而10000為10500的現(xiàn)值.,機動目錄上頁下頁返回結束,.,21,和單筆款項一樣,收益流的將來值定義為將其存入銀行并加上利息之后的本利和;而收益流的現(xiàn)值是這樣一筆款項,若把它存入可獲息的銀行,將來從收益流中獲得的總收益,與包括利息在內的本利和,有相同價值.,在討論連續(xù)收益流時,為簡單起見,假設以連續(xù)復利率r計息.,機動目錄上頁下頁返回結束,.,22,若有一筆收益流的收益流量為R(t)(元/年),下面計算其現(xiàn)值及將來值.,考慮從現(xiàn)在開始(t=0)到T年后這一時間段.利用元素法,在區(qū)間0,T內,任取一小區(qū)間t,t+dt,在該小區(qū)間內將R(t)近似看作常數(shù),則應獲得的金額近似等于R(t)dt(元).,從現(xiàn)在(t=0)算起,R(t)dt這一金額是在t年后的將來而獲得,因此在t,t+dt內,從而，總現(xiàn)值為,收益的現(xiàn)值,機動目錄上頁下頁返回結束,.,23,在計算將來值時,收入R(t)dt在以后的(Tt)年內獲息,故在t,t+dt內,例8假設以年連續(xù)復利率r=0.1計息,(1)求收益流量為100元/年的收益流在20年期間的現(xiàn)值和將來值;,(2)將來值和現(xiàn)值的關系如何?解釋這一關系.,從而，將來值為,收益流的將來值,機動目錄上頁下頁返回結束,.,24,(2)顯然,若在t=0時刻以現(xiàn)值作為一筆款項存入銀行,以年連續(xù)復利率r=0.1計息,則20年中這筆單獨款項的將來值為,而這正好是上述收益流在20年期間的將來值.,機動目錄上頁下頁返回結束,解(1),.,25,例9某公司投資100萬元(總投資的現(xiàn)值已知）建成1條生產線，并于1年后取得經濟效益，年收入為，設銀行年利率為10%，問公司多少年后收回投資30萬元（收益流量）,解設T年后可收回投資，投資回收期應是總收入的現(xiàn)值等于總投資的現(xiàn)值的時間長度，因此有,即,解得T=4.055，即在投資后的4.055年內可收回投資,機動目錄上頁下頁返回結束,.,26,一般來說,以年連續(xù)復利率r計息,則在從現(xiàn)在起到T年后（該收益流的將來值等于將該收益流的現(xiàn)值）作為單筆款項存入銀行T年后的將來值.,例10設有一項計劃現(xiàn)在(t=0)需要投入1000萬元（投入資金的現(xiàn)值）,在10年中每年收益為200萬元（收益流量）.若連續(xù)利率為5%,求收益資本價值W.(設購置的設備10年后完全失去價值),解,資本價值=收益流的現(xiàn)值投入資金的現(xiàn)值,機動目錄上頁下頁返回結束,.,27,例11某企業(yè)一項為期10年的投資需購置成本80萬元,每年的收益流量為10萬元,求內部利率(注:內部利率是使收益價值等于成本的利率).,解,由收益流的現(xiàn)值等于成本,得,可用近似計算得,機動目錄上頁下頁返回結