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平面向量的基本定理,成都市樹人學校,一、問題情境,火箭在飛行過程中的某一時刻速度可以分解成豎直向上和水平向前的兩個分速度。在利用平行四邊形法則對速度進行分解的過程中，我們看到一個速度可以分解為兩個不共線方向的速度之和。,那么平面內的任一向量否可以用兩個不共線的向量來表示呢？,例:設是同一平面內的兩個不共線的向量,是這一平面內的任一向量,問能否用來表示?,則有且只有一對實數,使得,數學理論,在平面內任取一點o,過點C作平行于OB的直線,交直線OA于M,過點C作平行于OA的直線,交直線OB于N,因為,三、數學理論,平面向量基本定理：如果是同一平面內兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，使,把不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底,平面向量的基本定理的幾點說明：,1、作為基底的向量是不共線的。凡共線的兩個向量都不能作為基底。,2、平面內的任意一個向量（包括0）都可以被基底唯一的表示出來。,3、基底不能含有0。,例1：判斷下列說法是否正確。1、一個平面內有且只有一對不共線向量可作為該平面所有向量的基底。,2、一個平面內有無數對不共線向量可作為該平面所有向量的基底。,3、零向量不可為基底中的向量。,三、數學理論,一個平面向量用一組基底表示成的形式，我們稱它為向量的分解。當相互垂直時，就稱為向量的正交分解。,四、數學應用,A,D,C,B,M,分析:利用關系式,例1如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于M，若，試用基底表示,分析:利用關系式,解:,四、數學應用,例2如圖在三角形ABC中，D、E、F分別為邊上的中點，且。（1）試用基底表示（2）證明：,分析：（1）,（2）將，用基底統(tǒng)一表示出來，加起來驗證是否為0即可。,顯然,四、數學應用,例3如圖在三角形ABC中，AD=AB，CF=FD，若，試用基底表示。,分析：在中,代入得：,方法小結：將內部的向量向外部的基底轉化，尋求含有基底的三角形。,四、數學應用,例4如圖在平行四邊形ABCD中，E，F分別為CD，BC的中點，且，試用基底，表示。,分析：,四、數學應用,例4如圖在平行四邊形ABCD中，E，F分別為CD，BC的中點，且，試用基底，表示。,分析：所求向量是不共線的兩個向量，所以可以表示平面內的任何向量包括即：,本方法再

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