2015年高考數(shù)學(xué)(理)試題分類匯編：專題09-圓錐曲線

1.【2015高考福建，理3】若雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則 等于（）A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】由雙曲線定義得，即，解得，故選B【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義【名師指點(diǎn)】本題考查了雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，利用雙曲線的定義列方程求解，屬于基礎(chǔ)題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性2.【2015高考四川，理5】過雙曲線的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，則（ ）(A) (B) (C)6 （D）【答案】D【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，過F與x軸垂直的直線為，漸近線方程為，將代入得：.選D.【考點(diǎn)定位】雙曲線.【名師指點(diǎn)】雙曲線的漸近線方程為，將直線代入這個(gè)漸近線方程，便可得交點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)，從而快速得出的值.3.【2015高考廣東，理7】已知雙曲線：的離心率，且其右焦點(diǎn)，則雙曲線的方程為（ ） A B. C. D. 【答案】【解析】因?yàn)樗箅p曲線的右焦點(diǎn)為且離心率為，所以，所以所求雙曲線方程為，故選【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【名師指點(diǎn)】本題主要考查學(xué)生利用雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和運(yùn)算求解能力，由離心率和其右焦點(diǎn)易得，值，再結(jié)合雙曲線可求，此題學(xué)生易忽略右焦點(diǎn)信息而做錯(cuò)，屬于容易題4.【2015高考新課標(biāo)1，理5】已知M（）是雙曲線C：上的一點(diǎn)，是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是( )（A）（-，） （B）（-，）（C）（，） （D）（，）【答案】A【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；向量數(shù)量積坐標(biāo)表示；一元二次不等式解法.【名師指點(diǎn)】本題考查利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式將表示為關(guān)于點(diǎn)M坐標(biāo)的函數(shù)，利用點(diǎn)M在雙曲線上，消去x0，根據(jù)題意化為關(guān)于的不等式，即可解出的范圍，是基礎(chǔ)題，將表示為的函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.5.【2015高考湖北，理8】將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)同時(shí)增加個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為的雙曲線，則（ ） A對(duì)任意的， B當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，C對(duì)任意的， D當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】依題意，因?yàn)?，由于，所以?dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，而，所以，所以.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【考點(diǎn)定位】雙曲線的性質(zhì)，離心率.【名師指點(diǎn)】分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法分類討論的時(shí)應(yīng)做到：分類不重不漏；標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明；能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論6.【2015高考四川，理10】設(shè)直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，必有兩條直線滿足題設(shè).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為.設(shè)，則，相減得.由于，所以，即.圓心為，由得，所以，即點(diǎn)M必在直線上.將代入得.因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等號(hào)），所以.選D.【考點(diǎn)定位】直線與圓錐曲線，不等式.【名師指點(diǎn)】首先應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行分析.結(jié)合圖形易知，只要圓的半徑小于5，那么必有兩條直線（即與x軸垂直的兩條切線）滿足題設(shè)，因此只需直線的斜率存在時(shí)，再有兩條直線滿足題設(shè)即可.接下來要解決的問題是當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，圓的半徑的范圍是什么.涉及直線與圓錐曲線的交點(diǎn)及弦的中點(diǎn)的問題，常常采用“點(diǎn)差法”.在本題中利用點(diǎn)差法可得，中點(diǎn)必在直線上，由此可確定中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍，利用這個(gè)范圍即可得到r的取值范圍.7.【2015高考重慶，理10】設(shè)雙曲線（a0,b0）的右焦點(diǎn)為1，過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn)，過B,C分別作AC，AB的垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）A、 B、C、 D、【答案】A【考點(diǎn)定位】雙曲線的性質(zhì).【名師點(diǎn)晴】求雙曲線的漸近線的斜率取舍范圍的基本思想是建立關(guān)于的不等式，根據(jù)已知條件和雙曲線中的關(guān)系，要據(jù)題中提供的條件列出所求雙曲線中關(guān)于的不等關(guān)系，解不等式可得所求范圍解題中要注意橢圓與雙曲線中關(guān)系的不同8.【2015高考天津，理6】已知雙曲線 的一條漸近線過點(diǎn) ，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為( )（A） （B）（C）（D）【答案】D【解析】雙曲線 的漸近線方程為，由點(diǎn)在漸近線上，所以，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線方程上，所以，由此可解得，所以雙曲線方程為，故選D.【考點(diǎn)定位】雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì).【名師指點(diǎn)】本題主要考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，同時(shí)也學(xué)生的考查運(yùn)算能.把雙曲線的幾何性質(zhì)與拋物線的幾何性質(zhì)相結(jié)合，找出雙曲線中的關(guān)系，求出雙曲線方程，體現(xiàn)圓錐曲線的統(tǒng)一性.是中檔.9.【2015高考安徽，理4】下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由題意，選項(xiàng)的焦點(diǎn)在軸，故排除，項(xiàng)的漸近線方程為，即，故選C.【考點(diǎn)定位】1.雙曲線的漸近線.【名師指點(diǎn)】雙曲線確定焦點(diǎn)位置的技巧：前的系數(shù)是正，則焦點(diǎn)就在軸，反之，在軸；在雙曲線的漸近線方程中容易混淆，只要根據(jù)雙曲線的漸近線方程是，便可防止上述錯(cuò)誤.10.【2015高考浙江，理5】如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，其中點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在軸上，則與的面積之比是（ ）A. B. C. D. 【答案】A.【考點(diǎn)定位】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【名師指點(diǎn)】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于中檔題，解題時(shí)，需結(jié)合平面幾何中同高的三角形面積比等于底邊比這一性質(zhì)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點(diǎn)的距離求解，在平面幾何背景下考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，是高考中小題的熱點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)不能遺漏相應(yīng)平面幾何知識(shí)的復(fù)習(xí).11.【2015高考新課標(biāo)2，理11】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為（ ）A B C D【答案】D【解析】設(shè)雙曲線方程為，如圖所示，過點(diǎn)作軸，垂足為，在中，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程得，即，所以，故選D【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【名師指點(diǎn)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、解直角三角形知識(shí)，正確表示點(diǎn)的坐標(biāo)，利用“點(diǎn)在雙曲線上”列方程是解題關(guān)鍵，屬于中檔題12.【2015高考北京，理10】已知雙曲線的一條漸近線為，則【答案】【解析】雙曲線的漸近線方程為，,則【考點(diǎn)定位】本題考點(diǎn)為雙曲線的幾何性質(zhì)，正確利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出漸近線方程，利用已給漸近線方程求參數(shù).【名師指點(diǎn)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，重點(diǎn)考查雙曲線的漸近線方程，本題屬于基礎(chǔ)題，正確利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出漸近線方程，求漸近線方程的簡(jiǎn)單方法就是把標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”改“0”，利用已知漸近線方程，求出參數(shù)的值.【2015高考上海，理5】拋物線（）上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，則 【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€上動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，因此拋物線上動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即【考點(diǎn)定位】拋物線定義【名師指點(diǎn)】標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；p0恰恰說明定義中的焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時(shí)常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于p的值，才易于確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程. 涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性【2015高考湖南，理13】設(shè)是雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)，使線段的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則的離心率為 .【答案】.【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì).【名師指點(diǎn)】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于容易題，根據(jù)對(duì)稱性將條件中的信息進(jìn)行等價(jià)的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，在求解雙曲線的方程時(shí)，主要利用，焦點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程等性質(zhì)，也會(huì)與三角形的中位線，相似三角形，勾股定理等平面幾何知識(shí)聯(lián)系起來.13.【2015高考浙江，理9】雙曲線的焦距是 ，漸近線方程是 【答案】，.【解析】由題意得：，焦距為，漸近線方程為.【考點(diǎn)定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)【名師指點(diǎn)】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其焦距，漸近線等相關(guān)概念，屬于容易題，根據(jù)條件中的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求得，進(jìn)而即可得到焦距與漸近線方程，在復(fù)習(xí)時(shí)，要弄清各個(gè)圓錐曲線方程中各參數(shù)的含義以及之間的關(guān)系，避免無謂失分.14.【2015高考新課標(biāo)1，理14】一個(gè)圓經(jīng)過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .【答案】【解析】設(shè)圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為.【考點(diǎn)定位】橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【名師指點(diǎn)】本題考查橢圓的性質(zhì)及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，本題結(jié)合橢圓的圖形可知圓過橢圓的上下頂點(diǎn)與左頂點(diǎn)（或右頂點(diǎn)），有圓的性質(zhì)知，圓心在x軸上，設(shè)出圓心，算出半徑，根據(jù)垂徑定理列出關(guān)于圓心的方程，解出圓心坐標(biāo)，即可寫出圓的方程，細(xì)心觀察圓與橢圓的特征是解題的關(guān)鍵.15.【2015高考陜西，理14】若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則 【答案】【解析】拋物線（）的準(zhǔn)線方程是，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€（）的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，解得，所以答案應(yīng)填：【考點(diǎn)定位】雙曲線的幾何性質(zhì)和拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于容易題解題時(shí)要注意拋物線和雙曲線的焦點(diǎn)落在哪個(gè)軸上，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即拋物線（）的準(zhǔn)線方程是，雙曲線（，）的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，其中【2015高考上海，理9】已知點(diǎn)和的橫坐標(biāo)相同，的縱坐標(biāo)是的縱坐標(biāo)的倍，和的軌跡分別為雙曲線和若的漸近線方程為，則的漸近線方程為 【答案】【考點(diǎn)定位】雙曲線漸近線【名師指點(diǎn)】(1)已知漸近線方程ymx，若焦點(diǎn)位置不明確要分或討論 (2)與雙曲線共漸近線的可設(shè)為；(3)若漸近線方程為，則可設(shè)為；(4)相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程16.【2015高考山東，理15】平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)，若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為 .【答案】 【解析】設(shè) 所在的直線方程為 ,則 所在的直線方程為,解方程組 得： ，所以點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,拋物線的焦點(diǎn) 的坐標(biāo)為: .因?yàn)槭?的垂心，所以 ,所以， .所以， .【考點(diǎn)定位】1、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì).【名師指點(diǎn)】本題考查了雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線基本問題的把握以及分析問題解決問題的能力以及基本的運(yùn)算求解能力，三角形的垂心的概念以及兩直線垂直的條件是突破此題的關(guān)鍵.17.【2015江蘇高考，12】在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。若點(diǎn)到直線的距離大于c恒成立，則是實(shí)數(shù)c的最大值為 .【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)橹本€平行于漸近線，所以點(diǎn)到直線的距離恒大于直線與漸近線之間距離，因此c的最大值為直線與漸近線之間距離，為【考點(diǎn)定位】雙曲線漸近線，恒成立轉(zhuǎn)化【名師點(diǎn)晴】漸近線是雙曲線獨(dú)特的性質(zhì)，在解決有關(guān)雙曲線問題時(shí)，需結(jié)合漸近線從數(shù)形結(jié)合上找突破口.與漸近線有關(guān)的結(jié)論或方法還有：(1)與雙曲線共漸近線的可設(shè)為；(2)若漸近線方程為，則可設(shè)為；(3) 雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng)；(4) 的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大小另外解決不等式恒成立問題關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化，其實(shí)質(zhì)是確定極端或極限位置.18.【2015高考新課標(biāo)2，理20】（本題滿分12分） 已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為 ()證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（）若過點(diǎn)，延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由【答案】()詳見解析；（）能，或【解析】()設(shè)直線，將代入得，故，解得，因?yàn)?，所以?dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形【考點(diǎn)定位】1、弦的中點(diǎn)問題；2、直線和橢圓的位置關(guān)系【名師指點(diǎn)】()題中涉及弦的中點(diǎn)坐標(biāo)問題，故可以采取“點(diǎn)差法”或“韋達(dá)定理”兩種方法求解：設(shè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程并作差，出現(xiàn)弦的中點(diǎn)和直線的斜率；設(shè)直線的方程同時(shí)和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求弦的中點(diǎn)，并尋找兩條直線斜率關(guān)系；（）根據(jù)()中結(jié)論，設(shè)直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，求得坐標(biāo)，利用以及直線過點(diǎn)列方程求的值19.【2015江蘇高考，18】（本小題滿分16分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于 點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.BAOxylPC【答案】（1）（2）或【解析】試題分析（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需列兩個(gè)獨(dú)立條件即可：一是離心率為，二是右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3，解方程組即得（2）因?yàn)橹本€AB過F，所以求直線AB的方程就是確定其斜率，本題關(guān)鍵就是根據(jù)PC=2AB列出關(guān)于斜率的等量關(guān)系，這有一定運(yùn)算量.首先利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，解出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出AB長(zhǎng)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩直線交點(diǎn)求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出PC長(zhǎng)，利用PC=2AB解出直線AB斜率,寫出直線AB方程.試題解析：（1）由題意，得且，解得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）當(dāng)軸時(shí)，又，不合題意當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，將的方程代入橢圓方程，得，則，的坐標(biāo)為，且若，則線段的垂直平分線為軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意【考點(diǎn)定位】橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系【名師點(diǎn)晴】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法：根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題涉及弦中點(diǎn)的問題常常用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單20.【2015高考福建，理18】已知橢圓E：過點(diǎn)，且離心率為()求橢圓E的方程； ()設(shè)直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由【答案】()；() G在以AB為直徑的圓外【解析】解法一：()由已知得解得，所以橢圓E的方程為()設(shè)點(diǎn)AB中點(diǎn)為由所以從而.所以. ,故所以，故G在以AB為直徑的圓外解法二：()同解法一.()設(shè)點(diǎn)，則由所以從而 所以不共線，所以為銳角.故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外【考點(diǎn)定位】1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系【名師指點(diǎn)】本題通過判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系來考查中點(diǎn)問題，利用韋達(dá)定理確定圓心，然后計(jì)算圓心到點(diǎn)的距離并和半徑比較得解；也可以構(gòu)造向量，通過判斷數(shù)量積的正負(fù)來確定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓上，本題綜合性較高，較好地考查分析問題解決問題的能力21.【2015高考浙江，理19】已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)） 【答案】（1）或；（2）.試題分析：（1）可設(shè)直線AB的方程為，從而可知有兩個(gè)不同的解，再由中點(diǎn)也在直線上，即可得到關(guān)于的不等式，從而求解；（2）令，可將表示為的函數(shù)，從而將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為在給定范圍上求函數(shù)的最值，從而求解.試題解析：（1）由題意知，可設(shè)直線AB的方程為，由，消去，得，直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，將AB中點(diǎn)代入直線方程解得，。由得或；（2）令，則，且O到直線AB的距離為，設(shè)的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為.【考點(diǎn)定位】1.直線與橢圓的位置關(guān)系；2.點(diǎn)到直線距離公式；3.求函數(shù)的最值.【名師指點(diǎn)】本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，在直線與橢圓相交背景下求三角形面積的最值，浙江理科數(shù)學(xué)試卷在2012年與2013年均有考查，可以看出是熱點(diǎn)問題，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去一個(gè)字母后利用韋達(dá)定理以及點(diǎn)到直線距離公式建立目標(biāo)函數(shù)，將面積問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，是常規(guī)問題的常規(guī)考法，應(yīng)熟練掌握，同時(shí)，需提高字母運(yùn)算的技巧.22.【2015高考山東，理20】平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上.()求橢圓的方程；（）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓 于兩點(diǎn)，射線 交橢圓于點(diǎn).( i )求的值；（ii）求面積的最大值.【答案】（I）；（II）( i )2；（ii） .試題解析：（I）由題意知 ，則 ,又 可得 ,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（II）由（I）知橢圓E的方程為,（i）設(shè)， ，由題意知 因?yàn)?又 ，即 ,所以 ，即 .（ii）設(shè) 將代入橢圓E的方程，可得由 ，可得 則有 所以 因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 所以的面積 令 ,將 代入橢圓C的方程可得 由 ，可得 由可知 因此 ,故 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取得最大值 由（i）知， 面積為 ,所以面積的最大值為 .【考點(diǎn)定位】1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2、直線與橢圓位置關(guān)系綜合問題；3、函數(shù)的最值問題.【名師指點(diǎn)】本題考查了橢圓的概念標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生理解力、分析判斷能力以及綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問題能力和較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力，在得到三角形的面積的表達(dá)式后，能否利用換元的方法，觀察出其中的函數(shù)背景成了完全解決問題的關(guān)鍵.23,【2015高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為. （I）求E的離心率e；（II）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求 E的方程.【答案】（I）；（II）.【考點(diǎn)定位】1.橢圓的離心率；2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3.點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的應(yīng)用.【名師指點(diǎn)】橢圓一直是解答題中考查解析幾何知識(shí)的重要載體，不管對(duì)其如何進(jìn)行改編與設(shè)計(jì)，抓住基礎(chǔ)知識(shí)、考基本技能是不變的話題.解析幾何主要研究?jī)深悊栴}：一是根據(jù)已知條件確定曲線方程，二是利用曲線方程研究曲線的幾何性質(zhì).曲線方程的確定可分為兩類：若已知曲線類型，則采用待定系數(shù)法；若曲線類型未知時(shí)，則可利用直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法等求解.本題是第一種類型，要利用給定條件求出.24.【2015高考天津，理19】（本小題滿分14分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為,離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長(zhǎng)為c，.(I)求直線的斜率；(II)求橢圓的方程；(III)設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍.【答案】(I) ； (II) ；(III) .【解析】(I) 由已知有，又由，可得，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由已知有，解得.(II)由(I)得橢圓方程為，直線的方程為，兩個(gè)方程聯(lián)立，消去，整理得，解得或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，可得的坐標(biāo)為，由，解得，所以橢圓方程為(III)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，得，即,與橢圓方程聯(lián)立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得.當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得綜上，直線的斜率的取值范圍是【考點(diǎn)定位】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)；2.直線和圓的位置關(guān)系；3.一元二次不等式.【名師指點(diǎn)】本題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.由勾股定理求圓的弦長(zhǎng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想；用數(shù)字來刻畫幾何圖形的特征，是解析幾何的精髓，聯(lián)立方程組，求出橢圓中參數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步得到橢圓方程；構(gòu)造函數(shù)求斜率取值范圍，體現(xiàn)函數(shù)在解決實(shí)際問題中的重要作用，是撥高題.25.【2015高考重慶，理21】如題（21）圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若求橢圓的離心率【答案】（1）；（2）【解析】試題解析：（1）本題中已知橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離，因此由橢圓定義可得長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即參數(shù)的值，而由，應(yīng)用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；（2）要求橢圓的離心率，就是要找到關(guān)于的一個(gè)等式，題中涉及到焦點(diǎn)距離，因此我們?nèi)匀粦?yīng)用橢圓定義，設(shè)，則，于是有，這樣在中求得，在中可建立關(guān)于的等式，從而求得離心率.(1)由橢圓的定義，設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知，因此即從而故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)解法一：如圖(21)圖，設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且，則求得由,得,從而由橢圓的定義，,從而由，有又由，知，因此于是解得.【考點(diǎn)定位】考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì).，直線和橢圓相交問題，考查運(yùn)算求解能力【名師指點(diǎn)】確定圓錐曲線方程的最基本方法就是根據(jù)已知條件得到圓錐曲線系數(shù)的方程，解方程組得到系數(shù)值注意在橢圓中c2a2b2，在雙曲線中c2a2b2.圓錐曲線基本問題的考查的另一個(gè)重點(diǎn)是定義的應(yīng)用；求橢圓與雙曲線的離心率的基本思想是建立關(guān)于a，b，c的方程，根據(jù)已知條件和橢圓、雙曲線中a，b，c的關(guān)系，求出所求的橢圓、雙曲線中a，c之間的比例關(guān)系，根據(jù)離心率定義求解如果是求解離心率的范圍，則需要建立關(guān)于a，c的不等式26.【2015高考四川，理20】如圖，橢圓E：的離心率是，過點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行與軸時(shí)，直線被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】（1）由已知，點(diǎn)在橢圓E上.因此，解得.所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線與軸平行時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn).如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則，即.所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn).則，由，有，解得或.所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為.下面證明：對(duì)任意的直線，均有.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，A、B的坐標(biāo)分別為.聯(lián)立得.其判別式，所以，.因此.易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.【考點(diǎn)定位】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.【名師指點(diǎn)】高考中解幾題一般都屬于難題的范疇，考生應(yīng)立足于拿穩(wěn)第（1）題的分和第（2）小題的步驟分.解決直線與圓錐曲線相交的問題，一般是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解答.本題是一個(gè)探索性問題，對(duì)這類問題一般是根據(jù)特殊情況找出結(jié)果，然后再證明其普遍性.解決本題的關(guān)鍵是通過作B的對(duì)稱點(diǎn)將問題轉(zhuǎn)化. 27.【2015高考湖北，理21】一種作圖工具如圖1所示是滑槽的中點(diǎn)，短桿可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，當(dāng)栓子在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周（不動(dòng)時(shí)，也不動(dòng)），處的筆尖畫出的曲線記為以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系（）求曲線C的方程；（）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)若直線總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由 xDOMNy第21題圖2第21題圖1 【答案】（）；（）存在最小值8.【解析】（）設(shè)點(diǎn)，依題意，第21題解答圖，且，所以，且即且 由于當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也不動(dòng)，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲線的方程為 （）（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有. （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線， 由 消去，可得.因?yàn)橹本€總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即. 又由 可得；同理可得.由原點(diǎn)到直線的距離為和，可得考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，最值.【名師指點(diǎn)】本題以滑槽，長(zhǎng)短桿為背景，乍一看與我們往年考的很不一樣，但是只要學(xué)生仔細(xì)讀題均能找到橢圓的,.那么第一問就迎刃而解了，第二問仍然為圓錐曲線的綜合問題。直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷、有關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對(duì)函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，一直是高考考查的重點(diǎn)，特別是焦點(diǎn)弦和中點(diǎn)弦等問題，涉及中點(diǎn)公式、根與系數(shù)的關(guān)系以及設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數(shù)學(xué)思想方法的熱點(diǎn)題型解題過程中要注意討論直線斜率的存在情況，計(jì)算要準(zhǔn)確28.【2015高考陜西，理20】（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的距離為（I）求橢圓的離心率；（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方程【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）先寫過點(diǎn)，的直線方程，再計(jì)算原點(diǎn)到該直線的距離，進(jìn)而可得橢圓的離心率；（II）先由（I）知橢圓的方程，設(shè)的方程，聯(lián)立，消去，可得和的值，進(jìn)而可得，再利用可得的值，進(jìn)而可得橢圓的方程試題解析：（I）過點(diǎn)，的直線方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由（I）知，橢圓的方程為. (1)依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且.易知，不與軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得設(shè)則由，得解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.解法二：由（I）知，橢圓的方程為. (2)考點(diǎn)：1、直線方程；2、點(diǎn)到直線的距離公式；3、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；4、橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關(guān)系；7、直線與圓錐曲線的位置.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、橢圓的方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系和直線與圓錐曲線的位置，屬于難題解題時(shí)一定要注意考慮直線的斜率是否存在，否則很容易失分解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是截距式方程，點(diǎn)到直線的距離公式和橢圓的離心率，即截距式方程（在軸上的截距，在軸上的截距），點(diǎn)到直線的距離，橢圓（）的離心率29.【2015高考新課標(biāo)1，理20】在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線(0)交與M,N兩點(diǎn)，（）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；（）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有OPM=OPN？說明理由.【答案】（）或（）存在【解析】試題分析：（）先求出M,N的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出M,N.（）先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將代入曲線C的方程整理成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出M,N的坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用表示出來，利用直線PM，PN的斜率為0,即可求出關(guān)系，從而找出適合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).試題解析：（）由題設(shè)可得，或，.，故在=處的到數(shù)值為，C在處的切線方程為，即.故在=-處的到數(shù)值為-，C在處的切線方程為，即. 故所求切線方程為或. 5分（）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下： 設(shè)P（0，b）為復(fù)合題意得點(diǎn)，直線PM，PN的斜率分別為. 將代入C得方程整理得. . =. 當(dāng)時(shí)，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)， 故OPM=OPN，所以符合題意. 12分【考點(diǎn)定位】拋物線的切線；直線與拋物線位置關(guān)系；探索新問題；運(yùn)算求解能力【名師指點(diǎn)】對(duì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，常用設(shè)而不求思想，即設(shè)出直線方程代入圓錐曲線方程化為關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用根與系數(shù)關(guān)系，將交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和與積一元二次方程的系數(shù)表示出來，然后根據(jù)題中的條件和所求結(jié)論，選擇合適的方法進(jìn)行計(jì)算，注意題中條件的合理轉(zhuǎn)化，如本題中，將角OPM=OPN相同轉(zhuǎn)化為直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線PM的斜率與