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第11.5節(jié),一、有向曲面及曲面元素的投影,二、第二型（對坐標的）曲面積分的概念與性質,三、第二型（對坐標的）曲面積分的計算法,四、兩類曲面積分的聯(lián)系,第二型（對坐標的）曲面積分,第十一章,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分類,雙側曲面,單側曲面,莫比烏斯帶,曲面分上側和下側,曲面分內側和外側,曲面分左側和右側,(單側曲面的典型),其方向用法向量指向,方向余弦,0為前側0為右側0為上側0為下側,外側內側,設為有向曲面,側的規(guī)定,指定了側的曲面叫有向曲面,表示:,其面元,在xoy面上的投影記為,的面積為,則規(guī)定,類似可規(guī)定,二、第二型（對坐標的）曲面積分的概念與性質,1.引例設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為,求單位時間流過有向曲面的流量.,分析:若是面積為S的平面,則流量,法向量:,流速為常向量:,對一般的有向曲面,用“大化小,常代變,近似和,取極限”,對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的,速度場,進行分析可得,則,設為光滑的有向曲面,在上定義了一個,意分割和在局部面元上任意取點,分,記作,P,Q,R叫做被積函數(shù);,叫做積分曲面.,或第二型曲面積分.,下列極限都存在,向量場,若對的任,2.定義.,引例中,流過有向曲面的流體的流量為,稱為Q在有向曲面上對z,x的曲面積分;,稱為R在有向曲面上對x,y的曲面積分.,稱為P在有向曲面上對y,z的曲面積分;,若記正側的單位法向量為,令,則對坐標的曲面積分也常寫成如下向量形式,3.性質,(1)若,之間無公共內點,則,(2)用表示的反向曲面,則,三、第二型（對坐標的）曲面積分的計算法,定理:設光滑曲面,取上側,是上的連續(xù)函數(shù),則,證:,取上側,若,則有,若,則有,(前正后負),(右正左負),說明:,如果積分曲面取下側,則,例1.計算,其中是以原點為中心,邊長為a的正立方,體的整個表面的外側.,解:,利用對稱性.,原式,的頂部,取上側,的底部,取下側,解:把分為上下兩部分,思考:下述解法是否正確:,例2.計算曲面積分,其中為球面,外側在第一和第五卦限部分.,例3.設S是球面,的外側,計算,解:,四、兩類曲面積分的聯(lián)系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫,令,向量形式,四、兩類曲面積分的聯(lián)系,例4.設,是其外法線與z軸正向,夾成的銳角,計算,解:,例5.計算曲面積分,其中,解

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