定積分不等式證明方法講座

定積分不等式證明方法一 柯西不等式方法 利用柯西不等式證明的問(wèn)題經(jīng)常含有特殊的形態(tài)，比如涉及兩個(gè)積分項(xiàng)相乘，或者含有函數(shù)平方、平方根的積分?？挛鞑坏仁?設(shè)在上連續(xù)，則有等號(hào)成立的充分必要條件是存在常數(shù)使得或者。注意有些問(wèn)題（不一定在不等式證明中）會(huì)涉及到等號(hào)成立的條件。例1 設(shè)在上連續(xù)，證明。證明 在柯西不等式中設(shè)，即證。例2 設(shè)在上連續(xù)，且恒正，證明證明 在柯西不等式中設(shè)，取函數(shù)，可證。例3 設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果，求證其中為在上最小值，。證明 在柯西不等式中，分別設(shè)函數(shù)為，有等式中，這是由推廣積分中值定理得到：設(shè)是上恒大于等于零的連續(xù)函數(shù)，如果在上連續(xù)，則存在使得。例4 在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果，求證證明 因?yàn)?，所以由積分可加性，有兩邊取定積分，得 。例5 設(shè)在上連續(xù)，且，證明。證明 左邊不等式由柯西不等式得。 由條件，有，所以得。例6 設(shè)為上連續(xù)周期函數(shù)，周期為1，如果滿足：，且，求證。以及取等號(hào)的條件。證明 由條件，有利用離散柯西不等式，有。且取等式充分必要條件是：，即。所以。特別當(dāng)時(shí)，有根據(jù)周期性，以及，有，所以取等號(hào)充分必要條件是。注 本題并不是利用連續(xù)型柯西不等式方法證明結(jié)論，而是利用離散型柯西不等式方法證明結(jié)論，但問(wèn)題是在利用柯西不等式時(shí)采用了“一般人”想不到的“技巧”，這種技巧并不明顯。確實(shí)柯西不等式形式上是簡(jiǎn)潔的，但對(duì)于什么樣不等式，我們會(huì)想到采用柯西不等式來(lái)證明呢？這才是問(wèn)題的所在，回答它并不容易。當(dāng)然這地方可以避免使用離散型柯西不等式證明：，而是利用導(dǎo)數(shù)方法證明。二 常數(shù)變異法 將區(qū)間某端點(diǎn)看成變量（或者轉(zhuǎn)換為變量），然后利用上限函數(shù)求導(dǎo)。此類(lèi)定積分不等式問(wèn)題中，通常含有某些函數(shù)滿足連續(xù)、單調(diào)條件，此時(shí)可以通過(guò)將上限或下限涉及到的常數(shù)符號(hào)，在整個(gè)不等式中換成與變量積分變量無(wú)關(guān)的變量，然后作輔助函數(shù)，再通過(guò)求導(dǎo)對(duì)輔助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究。例1設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明分析 將定積分不等式視為數(shù)值不等式，可利用相應(yīng)的函數(shù)不等式的證明方法證明，將要證的不等式兩端做差，并將上限換成，作輔助函數(shù)如下如果證明，即證得原命題。證明 對(duì)求導(dǎo)，得由于在上單調(diào)增加，且因?yàn)?，所以有，再根?jù)定積分性質(zhì)，有。由此知在上單調(diào)增加，則，得，得證。例2 設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明 存在使得分析 假設(shè)結(jié)論成立，則有，而由上例知道，此不等式成立。再由，且單調(diào)增加，知在上滿足，則由推廣積分中值定理有使得，如此得即可證明結(jié)論。例3 設(shè)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且求證證明 設(shè)輔助函數(shù)則。設(shè)，則因?yàn)?，所以?yán)格單調(diào)遞增，且，所以。又因?yàn)椋缘?，由此得：所以有，得，即得。?當(dāng)時(shí)，此題為94北方交通大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題。例 4 設(shè)在上連續(xù)，如果對(duì)于任意在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)取值為零的函數(shù)，都滿足，求證 可導(dǎo)，且。證明 設(shè)，則有由條件得下證，在上與恒等。采用反證法，如果存在，使得（同理可證情況），則由連續(xù)性有，存在，使得在(或者，或者，下面僅對(duì)第一種情況說(shuō)明)且在此區(qū)間上。構(gòu)造函數(shù)滿足：在取常值，在上取零，在內(nèi)單調(diào)遞增，則在上有。由此由定積分性質(zhì)得矛盾。所以得在上與恒等，即證得題中命題。三 微分中值定理方法 當(dāng)題目條件含有一階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí)，可考慮微分中值定理證明方法。例1（前蘇聯(lián)競(jìng)賽題）設(shè)在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求證其中為在上的最大值。證明 利用拉格朗日中值定理得：所以有則由定積分性質(zhì)得 。習(xí)題 1. 設(shè)在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求證其中為在上的最大值。2.（1985陜西省高校數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）設(shè)在上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，。求證。解 由已知條件有所以有與由此.與，得證。3.（前蘇聯(lián)競(jìng)賽試題） 在區(qū)間是否存在函數(shù)使其有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足：， ，。解 利用題2，有 如果存在，使得，則，矛盾，所以，；同理，。但此時(shí)在處不可導(dǎo)，矛盾。由此不存在這樣函數(shù)。4. 在區(qū)間是否存在函數(shù)使其有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足：， ，。5. 設(shè)在上存在連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，且有，則存在使得。是否存在函數(shù)使其有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足：， ，。四 凹凸性利用 當(dāng)題目條件給出二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)時(shí)，可考慮函數(shù)凹凸性方法例1 設(shè)在上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且在上有，求證證明 因?yàn)樵谏嫌校院瘮?shù)為凹函數(shù)，即對(duì)于任意有所以有 。五 重積分法對(duì)含有形式的不等式可考慮將轉(zhuǎn)化為形式。然后再利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明。例1 設(shè)為上的單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，如果，證明 證明 將不等式通分變形為轉(zhuǎn)化為分次積分同理有將所得兩式相加有由已知條件，得，即得，所以原不等式成立。例2 （柯西不等式） 設(shè)在上連續(xù)，則有證明 因?yàn)樗杂?。?（98