第二章_計算機控制系統(tǒng)的數學基礎

.,第2章計算機控制系統(tǒng)的設計方法,計算機控制系統(tǒng)的基礎知識計算機控制系統(tǒng)的數學描述計算機控制系統(tǒng)的模擬化設計方法計算機控制系統(tǒng)的離散化設計方法,本章主要內容,.,21計算機控制系統(tǒng)的信號變換,一、連續(xù)信號的采樣,圖1采樣過程,采樣:用連續(xù)信號在離散時間瞬時值的序列代替原來連續(xù)信號的過程,.,在計算機控制系統(tǒng)中，采樣信號是一數字序列，可分解成一系列單脈沖之和。,式中，為時刻的單脈沖，脈沖的幅值為時刻的單脈沖，脈沖的幅值；為時刻的單脈沖，脈沖的幅值,則：,只有在時刻，才有，而在的所有時刻，都有。,用函數,.,量化過程,圖3量化過程,所謂量化，就是采用一組數碼（如二進制碼）來逼近離散模擬信號的幅值，將其轉換成數字信號。經量化使采樣信號成為數字信號,該過程稱為量化過程。,.,為保證采樣信號的頻譜是連續(xù)信號的頻譜無重疊的重復（沿頻率軸方向），以便采樣信號能反映連續(xù)信號的變化規(guī)律，采樣頻率至少應是的頻譜的最高頻率的兩倍，即,采樣定理奠定了選擇采樣頻率的理論基礎，但對于連續(xù)對象的離散控制，不易確定連續(xù)信號的最高頻率。因此，采樣定理給出了選擇頻率的準則，在實際應用中還要根據系統(tǒng)的實際情況綜合考慮。,采樣定理,.,二、采樣信號的復現(xiàn)和采樣保持器,保持器,保持器是一種基于時域外推原理、把采樣信號轉換成連續(xù)信號，實現(xiàn)采樣點之間的插值的元件。,零階保持器,。,零階保持器采用恒值外推原理，把每個采樣值一直保持到下一個采樣時刻,從而把采樣信號變成了階梯連續(xù)信號。,圖5零階保持器的功能,.,22計算機控制系統(tǒng)的數學描述,1.Z變換,對上式取拉氏變換：,令：,則：,.,零初始條件下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出采樣函數的z變換和輸入采樣函數的z變換之比。為了應用脈沖傳遞函數的概念，通?？稍谳敵龆颂撛O一采樣開關，對輸出的連續(xù)時間信號做假想采樣，來獲得輸出信號的采樣信號。,2.脈沖傳遞函數,.,如果已知和，則在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)的輸出采樣信號為,.,3.差分方程,計算機控制系統(tǒng)的差分方程,圖6連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng),（a）連續(xù)系統(tǒng)（b）離散系統(tǒng),.,脈沖傳遞函數與差分方程的相互轉換,，,若已知n階離散系統(tǒng)的差分方程是,在零初始條件下，進行Z變換,得脈沖傳遞函數為,.,2.3S平面到Z平面之間的映射關系,s平面虛軸映射為z平面單位圓，左半平面映射在z平面單位圓內,1.s平面與z平面映射關系：,.,二、極點位置與時間響應的關系,1極點位于實軸,.,2.復極點位置與系統(tǒng)響應之間關系,.,Z平面極點位置的趨勢,極點越接近原點，脈沖響應收斂速度越快極點從右向左移動，脈沖響應振蕩頻率增加,已知離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數零、極點在平面中的分布情況，分析系統(tǒng)的動態(tài)響應特性,.,24計算機控制系統(tǒng)的模擬化設計方法,.,一、連續(xù)域-離散化設計的步驟,第1步：設計模擬控制器D(s)第2步：選擇合適的采樣周期T第3步：選擇合適的離散化方法，將D(s)離散化，獲得數字控制器D(z)，使兩者性能盡量等效。第4步：檢驗計算機控制系統(tǒng)閉環(huán)性能。若滿足指標要求，進行下一步；否則，重新進行設計。改進設計的途徑有：選擇更合適的離散化方法提高采樣頻率修正連續(xù)域設計，如增加穩(wěn)定裕度指標等第5步：將D(z)變?yōu)椴罘址匠?，在計算機上編程實現(xiàn)。,.,根據香農采樣定理，系統(tǒng)采樣頻率的下限為fs=2fmax，此時系統(tǒng)可真實地恢復到原來的連續(xù)信號。從執(zhí)行機構的特性要求來看，有時需要輸出信號保持一定的寬度，采樣周期必須大于這一時間。從控制系統(tǒng)的隨動和抗干擾的性能來看，要求采樣周期短些。從微機的工作量和每個調節(jié)回路的計算來看，一般要求采樣周期大些。從計算機的精度看，過短的采樣周期是不合適的。,二、采樣周期的選擇,.,實際選擇采樣周期時，必須綜合考慮：采用周期要比對象的時間常數小得多，否則采樣信號無法反映瞬變過程。采用周期應遠小于對象的擾動信號的周期。考慮執(zhí)行器的響應速度。當系統(tǒng)純滯后占主導地位時，應按純滯后大小選取，盡可能使純滯后時間接近或等于采用周期的整數倍?？紤]對象所要求的控制質量，精度越高，采樣周期越短，以減小系統(tǒng)的純滯后。,.,常見被控量的經驗采樣周期,.,三、模擬控制器的離散化方法,最常用的表征控制器特性的主要指標：零極點個數；系統(tǒng)的頻帶；穩(wěn)態(tài)增益；相位及增益裕度；階躍響應或脈沖響應形狀；頻率響應特性。,等效離散,D(z),D(s),數值積分法一階向后差法一階向前差法雙線性變換法及修正雙線性變換法零極點匹配法保持器等價法z變換法(脈沖響應不變法),離散化方法,.,s與z之間的變換關系,向后差分(矩形積分)法,1.一階向后差分法,.,主要特性s平面與z平面映射關系當=0（s平面虛軸），s平面虛軸映射到z平面為該小圓的圓周。當0（s右半平面），映射到z平面為上述小圓的外部。當0（s右半平面），映射到z平面單位圓外。當0（s左半平面），映射到z平面單位圓內。若D(s)穩(wěn)定，則D(z)一定穩(wěn)定,雙線性變換映射關系,.,頻率畸變：雙線性變換的一對一映射，保證了離散頻率特性不產生頻率混疊現(xiàn)象，但產生了頻率畸變。變換前后，穩(wěn)態(tài)增益不變。,應用這種方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的特性，工程上應用較為普遍。這種方法的主要缺點是高頻特性失真嚴重，主要用于低通環(huán)節(jié)的離散化，不宜用于高通環(huán)節(jié)的離散化。,.,注意，這里的零階保持器是假想的，并沒有物理的零階保持器。這種方法可以保證連續(xù)與離散環(huán)節(jié)階躍響應相同，但要進行z變換，同樣具有z變換法的一系列缺點，所以應用亦較少。,3.帶零階保持器z變換法（階躍響應不變法）,.,25計算機控制系統(tǒng)的離散化設計方法,.,計算機控制系統(tǒng)離散化設計的步驟（直接設計）,第1步：求系統(tǒng)廣義脈沖傳遞函數，即對帶有零階保持器的被控對象傳遞函數進行變換。第2步：根據對控制系統(tǒng)性能指標的要求和其他約束條件，構造系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函