第七章-剛體力學

力學,主講老師：李志攀zpli.phyMailbox:109#,第七章剛體力學（二）,.,對有限角位移,剛體定軸轉動時外力所做的功，等于該力對轉軸的力矩對角坐標的積分,力矩的功率：,一、力矩的功,剛體中P點在力的作用下位移則力元功,7.4剛體定軸轉動的動能定理,.,二、剛體定軸轉動的動能定理,當剛體繞定軸轉動時,其動能為所有質點作圓周運動動能的總和.,任意質元的動能為：,1.定軸轉動剛體的動能,剛體的動能,.,2.剛體定軸轉動的動能定理,質點系的動能定理：,剛體：,剛體定軸轉動的動能定理,.,三、剛體的重力勢能,剛體的重力勢能與質量集中在重心上的一個質點的重力勢能相同.,剛體的重力勢能,.,P233例題1裝置如圖所示，均質圓柱體質量為m1，半徑為R，重錘質量為m2，最初靜止，后將重錘釋放下落并帶動柱體旋轉，求重錘下落h高度時的速率v，不計阻力，不計繩的質量及伸長.,解方法1.利用質點和剛體轉動的動能定理求解.,由質點動能定理,由剛體動能定理,.,約束關系：,聯(lián)立得,方法2.利用質點系動能定理求解,將轉動柱體、下落物體視作質點系,由質點系動能定理,約束關系,聯(lián)立得到相同結果,.,P234例題2均質桿的質量為m，長為l,一端為光滑的支點.最初處于水平位置，釋放后桿向下擺動，如圖所示.（1）求桿在圖示的豎直位置時，其下端點的線速度v；（2）求桿在圖示的豎直位置時，桿對支點的作用力.,.,解(1)由機械能守恒得,聯(lián)立得,(2)根據質心運動定理,分量式,.,桿處于鉛直位置時不受力矩作用，由轉動定理可知，角加速度為零，所以,方向向上.,又,.,7.5剛體平面運動的動力學,一、剛體平面運動的基本動力學方程,平面運動=基點平動+繞基點軸的定軸轉動,1.質心的平動,根據質心運動定律：,剛體作平面運動，合外力必是平面力,平面直角坐標系中的分量式,.,2.剛體繞質心軸的定軸轉動,選質心坐標系C-xyz,設z為過質心而垂直于固定平面的軸.在質心系中,又M慣=0,即剛體相對于質心軸的轉動同樣服從定軸轉動定律.,.,3、剛體平面運動的基本動力學方程,質心的平動：,剛體平面運動=質心平動+繞質心軸的定軸轉動,兩式合稱為剛體的平面運動的基本動力學方程.,繞質心軸的定軸轉動：,.,P238例題1如圖，固定斜面傾角為，質量為m半徑為R的均質圓柱體順斜面向下作無滑滾動，求圓柱體質心的加速度ac及斜面作用于柱體的摩擦力F.,解,根據質心運動定理,y軸上投影,對質心軸的轉動定理,無滑滾動,.,二、作用于剛體上的力,1.作用于剛體上力的兩種效果滑移矢量,(1)施于剛體的力的特點（力的三要素）,力的作用線通過質心，對質心軸上的力矩為零，使剛體產生平動.,施于剛體的某個點的力,決不可以隨便移到另一點去?,力對質心軸的力矩使剛體產生角加速度.,.,(2)施于剛體的力是滑移矢量,如圖,施于A點的力F可用施于B點的力F代替,即作用于剛體的力可沿作用線滑移而不改變其效果.,.,2.力偶和力偶矩,力偶:大小相等方向相反彼此平行的一對力.,大小:,力偶矩的大小與參考點的選擇無關.,一般作用于剛體的力等效于一作用線通過質心的力和一力偶，這力的方向和大小與原力相同，而力偶矩等于原力對質心軸的力矩.,方向:與二力旋轉方向呈右手螺旋關系,.,3.剛體的二維平動,二維平動：剛體做平面運動又只作平動,剛體并未轉動，但存在力矩平衡問題,.,P239例題2質量為m的汽車在水平路面上急剎車，前后輪均停止轉動.前后輪相距L，與地面的摩擦因數為.汽車質心離地面高度為h，與前輪軸水平距離為l.求前后車輪對地面的壓力.,.,解汽車受力如圖.,y軸投影,對質心軸的轉動定理,根據質心運動定理,.,由上面方程可解出,根據牛頓第三定律，前后輪對地面的壓力大小分別為FN1、FN2，但方向向下.,.,三、剛體平面運動的動能,由克尼希定理可知，剛體平面運動動能,剛體的動能定理,如果剛體不太大，且在運動中只有保守力作功，則剛體的機械能也守恒.,.,P240例題3在例題1中，設圓柱體自靜止開始無滑滾下，求質心下落高度h時，圓柱體質心的速率.,解因為是無滑滾動，靜摩擦力F不做功，只有重力W做功，機械能守恒.,無滑滾動條件,.,*四、滾動摩擦力偶矩,滾動摩擦發(fā)生的原因：是物體與接觸面處的非彈性形變引起.,設滾輪在接觸區(qū)無形變，地面有非彈性形變.,如圖對質心產生反向力矩滾動摩擦力矩M滾,滾動摩擦因數，由實驗測定.,.,M滾使物體角速度減小，則接觸面各點有向前滑動趨勢，從而產生反向摩擦力（滾動摩擦）使物體減速.,滾動阻力因數：,r是輪半徑.,表7.2是常見汽車輪在幾種典型路面上的值,.,如何理解滾動摩擦滑動摩擦？,設滾子勻速滾動，則阻力和阻力矩分別為,聯(lián)立得,若滾子勻速平動,表7.2與表3.2相比，有,.,7.6剛體的平衡,一、剛體的平衡方程,無平動,剛體平衡的充要條件,對共面力系,在直角坐標系O-xyz中平衡條件化為,共面力系所有力的作用線位于同一平面內.,其中，Z軸是垂直于Oxy面的任意軸.,.,剛體平衡方程的其它形式,(1)在力的作用平面內選O和O兩個參考點，OO連線不與Ox軸正交,(2)在力的作用平面內選O、O和O三個參考點，O、O和O三點不共線,剛體平衡時，諸力對任意軸的力矩和為零.,.,二、桿的受力特點,在下面三個條件下，可認為桿僅受兩力而平衡.,1.桿件兩瑞與其它物體的聯(lián)結是光滑鉸鏈聯(lián)結.對光滑鉸鏈聯(lián)結,只有通過節(jié)點（鉸銷中心）的壓力.,2.負荷對桿的作用力過節(jié)點.,3.桿的自重與負荷相比可忽略不計.,.,P245例題1如圖表示小型火箭發(fā)射架.火箭重量為W=1.5kN，重心在C處.導軌重量為W=4kN，重心為C處.支桿AB重量可以不計.A、B和E處均系光滑鉸鏈連接.BE=2.0m,BAE=30,支架其它部分尺寸和夾角如圖所示；重心C和C與節(jié)點B在一條直線上且此直線與導軌垂直.求導軌在E處和支桿在B處所受的力.,.,解受力分析如圖.建立直角坐標系Exyz，得,選擇過E點的z軸為定軸,解以上三方程得,.,補充例題2將長為l,質量為m1的均勻梯子斜靠在墻角下,已知梯子與墻面間以及梯子與地