第4章 穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

第4章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法,4.1李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義4.2李雅普諾夫第一法4.3李雅普諾夫第二法4.4李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,4.1李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4.1.1系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動及平衡狀態(tài)設(shè)系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：,設(shè)其在初始條件下，有唯一解那么，此解實(shí)際上描述了系統(tǒng)在n維空間中從初始狀態(tài)出發(fā)的一條狀態(tài)運(yùn)動的軌跡。稱為運(yùn)動軌跡或狀態(tài)軌跡。,其中，x為n維狀態(tài)向量，為n維向量函數(shù)。如果系統(tǒng)是定常的，則不顯含t；如果系統(tǒng)是線性的，則f為Ax,平衡狀態(tài)不一定存在，也不一定唯一。如：其平衡狀態(tài)有：穩(wěn)定性是相對于平衡點(diǎn)而言的！,平衡狀態(tài)：若存在狀態(tài)向量，對所有t，都有成立，則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。,如果，且A非奇異，則原點(diǎn)是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。,4.1.1系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動及平衡狀態(tài),4.1.2穩(wěn)定性的幾個定義,定義歐氏范數(shù)：,稱為向量的歐氏范數(shù)。,超球域,4.1李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,1.Lyapunov意義下的穩(wěn)定,系統(tǒng)中，對任意，若存在，使得，當(dāng)，時，有則稱平衡狀態(tài)為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。,若的選取與初始時刻無關(guān)，則稱這種平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。,4.1.2穩(wěn)定性的幾個定義,2.漸近穩(wěn)定,如果是李雅普諾夫意義穩(wěn)定的，并且則稱是漸近穩(wěn)定的。,4.1.2穩(wěn)定性的幾個定義,如果平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，且漸近穩(wěn)定的最大范圍是整個狀態(tài)空間，則為大范圍漸近穩(wěn)定的，其必要條件是整個狀態(tài)空間只有一個平衡點(diǎn)。線性系統(tǒng)：漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定非線性系統(tǒng)：一般小范圍漸近穩(wěn)定,4.1.2穩(wěn)定性的幾個定義,對于某個實(shí)數(shù)和任意，在超球域內(nèi)始終存在狀態(tài)，使得從該狀態(tài)開始的運(yùn)動軌跡要突破超球域。,4.不穩(wěn)定,4.1.2穩(wěn)定性的幾個定義,此三個圖分別表示平衡狀態(tài)為穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定和不穩(wěn)定時初始擾動所引起的典型軌跡。,4.1.2穩(wěn)定性的幾個定義,4.2李雅普諾夫第一法,李雅普諾夫第一法又稱間接法。基本思路是通過狀態(tài)方程的解來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。線性定常系統(tǒng)：由特征方程的根來判斷穩(wěn)定性。非線性系統(tǒng)：先線性化，再判別。,線性定常系統(tǒng)，在平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。此為狀態(tài)穩(wěn)定性，或稱內(nèi)部穩(wěn)定性。,4.2李雅普諾夫第一法,4.2.1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù),如果，則漸近穩(wěn)定；,輸出穩(wěn)定性：如果系統(tǒng)對于有界輸入u所引起的輸出y是有界的，則稱系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定。BIBO穩(wěn)定（BoundedInputBoundedOutput）,4.2.1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù),輸出穩(wěn)定性判據(jù)：線性定常系統(tǒng)輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于s平面的左半部。,【例4-1】,解：（1）由A的特征方程故系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的。,（2）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：故系統(tǒng)是輸出穩(wěn)定的。,4.2.1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù),設(shè)，為平衡點(diǎn)。將在鄰域內(nèi)展成泰勒級數(shù)，得其中,雅可比矩陣,高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng),近似線性化：令得，其中,4.2.2非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,4.2.2非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,結(jié)論：如果，則漸近穩(wěn)定；如果存在，則不穩(wěn)定；如果，則的穩(wěn)定性由高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)來決定。,4.2.2非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例4-2已知非線性系統(tǒng)試分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。,解：系統(tǒng)有兩個平衡狀態(tài)為,在處線性化，得,特征值為。故，該平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。,在處線性化，得,特征值為，實(shí)部為0。故，該平衡點(diǎn)用此方法無法判定穩(wěn)定性。,（3），則稱是負(fù)定的。,4.3李雅普諾夫第二法,1.標(biāo)量函數(shù)符號性質(zhì),設(shè)是向量x的標(biāo)量函數(shù)，且在x=0處，恒有對所有在定義域中的任何非零向量x，如果成立：,4.3.1預(yù)備知識,（1），則稱是正定的。,（2），則稱是半正定(非負(fù)定)的。,（4），則稱是半負(fù)定(非正定)的。,（5），或則稱是不定的。,例,正定的,半正定的,負(fù)定的,半負(fù)定的,不定的,4.3李雅普諾夫第二法,例設(shè),半正定的,半正定的,4.3李雅普諾夫第二法,2.二次型標(biāo)量函數(shù),二次型標(biāo)量函數(shù)可寫為,其中，P為實(shí)對稱矩陣。,例如：,4.3李雅普諾夫第二法,二次型函數(shù)，若P為實(shí)對稱陣，則必存在正交矩陣T，通過變換，使之化為：,此稱為二次型函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)型，為P的特征值，則正定的充要條件是P的特征值均大于0。,4.3李雅普諾夫第二法,矩陣P的符號性質(zhì)定義如下：設(shè)P為nn實(shí)對稱陣，為由P決定的二次型函數(shù)，則（1）正定，則P正定矩陣，記為P0;（2）負(fù)定，則P負(fù)定矩陣，記為P0;（3）半正定，則P半正定矩陣，記為P0;（4）半負(fù)定，則P半負(fù)定矩陣，記為P0;,4.3李雅普諾夫第二法,3、希爾維斯特判據(jù)設(shè)實(shí)對稱陣為其各階順序主子式，即矩陣P或V(x)定號性的充要條件是：,4.3李雅普諾夫第二法,(2)若，則P負(fù)定；,(1)若，則P正定；,(3)若，則P半正定；,(4)若，則P半負(fù)定；,4.3李雅普諾夫第二法,解：二次型可以寫為,例證明如下二次型函數(shù)是正定的。,可見此二次型函數(shù)是正定的，即,4.3李雅普諾夫第二法,4.3李雅普諾夫第二法,4.3.2幾個穩(wěn)定性判據(jù),定理設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果平衡狀態(tài)即，如果存在標(biāo)量函數(shù)V(x)滿足：1）對所有x具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。2）是正定的；3）若是半負(fù)定的。則平衡狀態(tài)為在李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。,4.3李雅普諾夫第二法,4.3.2幾個穩(wěn)定性判據(jù),定理設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果平衡狀態(tài)即，如果存在標(biāo)量函數(shù)V(x)滿足：1）對所有x具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。2）是正定的；3）若是負(fù)定的；或者為半負(fù)定，對任意初始狀態(tài)，除去x=0外，有不恒為0。則平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。進(jìn)一步當(dāng)，有，則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。,4.3李雅普諾夫第二法,4.3.2幾個穩(wěn)定性判據(jù),定理設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果平衡狀態(tài)即，如果存在標(biāo)量函數(shù)V(x)滿足：1）對所有x具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。2）是正定的；3）若是正定的。則平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。,4.3李雅普諾夫第二法,說明：（1），則此時，系統(tǒng)軌跡將在某個曲面上，而不能收斂于原點(diǎn)，因此不是漸近穩(wěn)定。（2）不恒等于0，說明軌跡在某個時刻與曲面相交，但仍會收斂于原點(diǎn)，所以是漸近穩(wěn)定。（3）穩(wěn)定判據(jù)只是充分條件而非必要條件！,4.3李雅普諾夫第二法,解:顯然，原點(diǎn)是系統(tǒng)平衡點(diǎn)，取，則又因?yàn)楫?dāng)時，有，所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。,例4-4已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩(wěn)定性。,4.3李雅普諾夫第二法,【例4-5】已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程，試分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：線性系統(tǒng)，故是其唯一平衡點(diǎn)。將矩陣形式的狀態(tài)方程展開得到：取標(biāo)量函數(shù)(李雅譜諾夫函數(shù))：,且當(dāng)時，,4.3李雅普諾夫第二法,半負(fù)定，不恒為0，漸近穩(wěn)定。,所以系統(tǒng)在其原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。,另選一個李雅普諾夫函數(shù)：,當(dāng)時，所以系統(tǒng)在其原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。,4.3李雅普諾夫第二法,解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點(diǎn)。取則于是知系統(tǒng)在原點(diǎn)處不穩(wěn)定。,例4-8系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)在其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。,4.3李雅普諾夫第二法,4.3.3對李雅譜諾夫函數(shù)的討論（1）V(x)是正定的標(biāo)量函數(shù)，V(x)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；（2）并不是對所有的系統(tǒng)都能找到V(x)來證明該系統(tǒng)穩(wěn)定或者不穩(wěn)定；（3）V(x)如果能找到，一般是不唯一的，但關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論是一致的；（4）V(x)最簡單的形式是二次型；（5）V(x)只是提供平衡點(diǎn)附近的運(yùn)動情況，絲毫不能反映域外運(yùn)動的任何信息；（6）構(gòu)造V(x)需要一定的技巧。,4.3李雅普諾夫第二法,4.4李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,4.4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù),系統(tǒng)矩陣非奇異,選擇李雅普諾夫函數(shù)正定,對其求時間導(dǎo)數(shù),將狀態(tài)方程代入,令其負(fù)定,整理,記為-Q,設(shè)線性定常系統(tǒng)為：則平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：對任意給定的正定實(shí)對稱矩陣Q，必存在正定的實(shí)對稱矩陣P，滿足李雅普諾夫方程：且就是李雅普諾夫函數(shù)。證明：略。,定理,4.4李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,說明：（1）一般先取正定矩陣Q，帶入李雅譜諾夫方程，求出P，判別P的正定性，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（2）以方便計算，通常取QI。（3）若沿任一軌線不恒等于零，那么Q可取半正定，即可取計算更簡單。（4）判據(jù)是充分必要條件,4.4李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,例4-9:分析下列系統(tǒng)穩(wěn)定性解：令，則由得,4.4李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,解上述矩陣方程，即得,因?yàn)?可知P是正定的。因此系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。,或，取李雅譜諾夫函數(shù),正定,負(fù)定,4.4李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用,【例4-10