008一元二次方程及應用

一、選擇題1. （2014山東省棗莊市，10,3分）x1，x2是一二次方程3（x-1）2=15的兩個解，且x1x2，下列說法正確的是（ ）Ax1小于-1，x2大于3Bx1小于-2，x2大于3Cx1，x2在-1和3之間 Dx1，x2都小于3【答案】A2. （2014甘肅省白銀市，8，3分）用10米長的鋁材制成一個矩形窗框，使它的面積為6平方米若設它的一條邊長為x米，則根據題意可列出關于x的方程為（）Ax（5+x）=6Bx（5x）=6Cx（10x）=6Dx（102x）=6考點：由實際問題抽象出一元二次方程專題：幾何圖形問題分析：一邊長為x米，則另外一邊長為：5x，根據它的面積為5平方米，即可列出方程式解答：解：一邊長為x米，則另外一邊長為：5x，由題意得：x（5x）=6，故選：B點評：本題考查了由實際問題抽相出一元二次方程，難度適中，解答本題的關鍵讀懂題意列出方程式3. （2014湖北省襄陽市，9，3分）用一條長40 cm的繩子圍成一個面積為64 cm2的長方形.設長方形的長為x cm,則可列方程為（ ）Ax(20x)64Bx(20x)64Cx(40x)64Dx(40x)64【答案】B4. （2014山東省濟寧市，8，3分）“如果二次函數yax2bxc的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2bxc=0有兩個不相等的實數根.”請根據你對這句話的理解，解決下面問題：若m、n（mn）是關于x的方程的兩根，且a b， 則a、b、m、n 的大小關系是 A. m a b n B. a m n b C. a m b n D. m a n b 【考點】拋物線與x軸的交點【解析】選A. ，1=.m、n（mn）是關于x的方程的兩根，m、n是直線y=1和二次函數y=的交點，m a b1，x1x2 0Bx1 x2 0C0 x1 x2 0Dx1 x2與x1x2 的符號都不確定【答案】C24. （2014山東聊城，6，3分）用配方法解一元二次方程（），此方程可變形為（ ）ABCD【答案】A25. （2014四川省甘孜州，8，4分）一元二次方程x2px20的一個根為2，則p的值為A1B2C1D2【答案】C26. (2014年湖南省益陽市，5， 4分)一元二次方程總有實數根，則應滿足的條件是ABCD【答案】D27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 二、填空題1. （2014山東省萊蕪市，15，4分）若關于x的方程的兩根互為相反數.則k . 【答案】12. （4分）（2014甘肅省白銀市，14，4分）一元二次方程（a+1）x2ax+a21=0的一個根為0，則a=1考點：一元二次方程的定義專題：計算題分析：根據一元二次方程的定義和一元二次方程的解的定義得到a+10且a21=0，然后解不等式和方程即可得到a的值解答：解：一元二次方程（a+1）x2ax+a21=0的一個根為0，a+10且a21=0，a=1故答案為1點評：本題考查了一元二次方程的定義：含一個未知數，并且未知數的最高次數為2的整式方程叫一元二次方程，其一般式為ax2+bx+c=0（a0）也考查了一元二次方程的解的定義3. （2014廣東省廣州市，16，3分）若關于的方程有兩個實數根、，則的最小值為_.【考點】一元二次方程根與系數的關系，最值的求法【分析】該題主要是考察方程思想與函數思想的結合，由根與系數的關系得到：，原式化簡因為方程有實數根，當時，最小值為【答案】4. （2014山東省濟寧市，13，3分）若一元二次方程ax2=b（ab0）的兩個根分別是m+1與2m4，則= .【考點】解一元二次方程-直接開平方法【解析】ax2=b（ab0），x是的平方根.又一元二次方程ax2=b（ab0）的兩個根分別是m+1與2m4，m1和2m4互為相反數，m12m4=0，m=1.m1=2，2m4=2.=22=4.答案：45. （2014四川省達州市，14，3分）己知實數a、b滿足 a+b =5，ab =3，則 a-b= 【答案】6.（2014湖南岳陽，10，4分）方程x23x+2=0的根是 【答案】1，27. （2014貴州省遵義市，14，4分）關于x的一元二次方程x2-3x+b=0有兩個不相等的實數根，則b的取值范圍是 .【答案】8. （2014年上海市11，4分）如果關于x的方程x22xk0（k為常數）有兩個不相等的實數根，那么k的取值范圍是_【答案】k19.（2014甘肅省臨夏州，14，4分）一元二次方程（a+1）x2ax+a21=0的一個根為0，則a= 考點：一元二次方程的定義菁優(yōu)網版權所有專題：計算題分析：根據一元二次方程的定義和一元二次方程的解的定義得到a+10且a21=0，然后解不等式和方程即可得到a的值解答：解：一元二次方程（a+1）x2ax+a21=0的一個根為0，a+10且a21=0，a=1故答案為1點評：本題考查了一元二次方程的定義：含一個未知數，并且未知數的最高次數為2的整式方程叫一元二次方程，其一般式為ax2+bx+c=0（a0）也考查了一元二次方程的解的定義10. （2014浙江省麗水市，15，4分）如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長30m、寬20m的長方形ABCD上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種花草要使每一塊花草的面積都為78，那么通道的寬應設計成多少m？設通道的寬為xm，由題意列得方程_(第15題)【答案】（未化簡不扣分）11.（2014山東省德州市，16，4分）方程x22kxk22k10的兩個實數根x1，x2滿足，則k的值為 【答案】112. （2014四川省巴中市，16，3分）菱形的兩條對角線分別是方程的兩實根，則菱形的面積為 【答案】2413. (2014江西省10，3分)若，是方程x22x30的兩個實數根，則22_【答案】1014. （2014湖南省長沙市，第14題，3分）已知關于x的一元二次方程的一個根是1，則k= .【答案】215.（2014江蘇宿遷，12，3分）一塊矩形菜地的面積是120m2，如果它的長減少2m，那么菜地就變成正方形，則原菜地的長是 m【答案】1216. （2014江蘇省揚州市，17，3分）已知a、b是方程x2-x-3=0的兩個根，則代數式的值為 【答案】2317. （2014內蒙古呼和浩特市，15，3分）已知m，n是方程x22x5 = 0的兩個實數根，則m2mn3mn=_【答案】218.（2014安徽省，12，5分）某廠今年一月份新產品的研發(fā)資金為a元，以后每月新產品的研發(fā)資金與上月比增長率都是x，則該廠今年三月份的研發(fā)資金y（元）關于x的函數關系式為y= .【答案】y=a(1+x)219.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 三、解答題1. （2014山東省萊蕪市，22，10分）某市為打造“綠色城市”，積極投入資金進行河道治污與園林綠化兩項工程.已知2013年投資1000萬元，預計2015年投資1210萬元.若這兩年內平均每年投資增長的百分率相同.(1)平均每年投資增長的百分率；（2）已知河道治污每平方米需投入400元，園林綠化每平方米需投入200元，若要求2015年河道治污及園林綠化總面積不少于35000平方米，且河道治污費用不少于園林綠化費用的4倍，那么園林綠化的費用應在什么范圍內？【答案】解：（1）設平均每年投資增長的百分率為x,根據題意，得1000（1+x）2=1210,解這個方程得：(舍去)答：平均每年投資增長的百分率為10%.(2)設園林綠化的費用是y萬元，則河道治污的費用是（1210-y）萬元，由題意，得解這個不等式組得：190y242.答：園林綠化的費用應不少于190萬元且不多于242萬元.2. （2014廣東省廣州市，19，10分）已知多項式.（1）化簡多項式；（2）若，求的值.【考點】（1）整式乘除 （2）開方,正負平方根【分析】（1）沒有公因式,直接去括號,合并同類型化簡 （2）由第一問答案,對照第二問條件,只需求出，注意開方后有正負【答案】解:（1） （2）,則 3. （2014河北省，21，10分）嘉淇同學用配方法推導一元二次方程的求根公式時，對于的情況，她是這樣做的：由于，方程變形為：第一步，第二步，第三步，第四步第五步（1）嘉淇的解法從第_步開始出現錯誤；事實上，當時，方程的求根公式是_（2）用配方法解方程【答案】解：（1）四；（2）方程變形，得 ， ， ， ，所以或4. （2014貴州省畢節(jié)市，25，12分）某工廠生產的某種產品按質量分為10個檔次第1檔次（最低檔次）的產品一天能生產95件，每件利潤6元每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產量減少5件（1）若生產第x檔次的產品一天的總利潤為y元（其中x為正整數，且1x10），求出y關于x的函數關系式；（2）若生產第x檔次的產品一天的總利潤為1120元，求該產品的質量檔次【答案】（1）y=6+2(x1)955(x1)，整理，得y=10x2+180x+400（2）由10x2+180x+400=1120，化簡，得x218x+72=0.配方，得(x9)2=9，解得x1=6，x2=12（不合題意，舍去）所以，該產品為第6檔次的產品5. (2014年遂寧市，17，7分)解方程：x+2x-3=0【答案】解：x1=1，x2=-36.（2014湖北省咸寧市，18，7分）（本題滿分7分）隨著市民環(huán)保意識的增強，煙花爆竹銷售量逐年下降咸寧市2011年銷售煙花爆竹20萬箱，到2013年煙花爆竹銷售量為9.8萬箱求咸寧市2011年到2013年煙花爆竹年銷售量的平均下降率【答案】解：設咸寧市2011年到2013年煙花爆竹年銷售量的平均下降率為x，由題意得 20（1- 20（1- 1-x）2=9.8 解之得 x1=0.3 =30% x2=1. =170%(不符合題意，舍去) 經檢驗：x=30%符合題意。 答: 咸寧市2011年到2013年煙花爆竹年銷售量的平均下降率30%。7. （2014湖北省咸寧市，24，12分）（本題滿分12分）如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標軸上，點B的坐標為（，4）點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動；點Q從點O同時出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運動，規(guī)定點P到達點O時，點Q也停止運動連接BP，過P點作BP的垂線，與過點Q平行于y軸的直線l相交于點DBD與軸交于點E，連接PE設點P運動的時間為t（s）（第24題）AxyOBCDEPQl（1）PBD的度數為 ，點D的坐標為 （用t表示）；（2）當t為何值時，PBE 為等腰三角形？（3）探索POE周長是否隨時間t的變化而變化，若變化，說明理由；若不變，試求這個定值【答案】：解: (1) 45 (t ,t) (2)當PB =BE時（如圖1所示），點P與點A重合，點E、D、Q均與點O重合。此時:t=0第24題（2）圖1答圖（2）當BE =PE時（如圖2所示）點P與點O重合，點E、與點C重合。此時:t=4第24題（2）圖2答圖（2）當BE =PE時（如圖2所示）點P與點O重合，點E、與點C重合。此時:t=4第24題（2）圖2答圖（2）當BE =BP時（如圖2所示）第24題（2）圖3答圖 四邊形OABC是正方形。 BA =BC=OA=OC BAP=BCO=90 BAP BCE （HL） CE =AP OC-CE =OAAP 即: OP =OE 由題可得：AP=t ,OP = 4-t 設直線BD的解析式為: y =kx +b ，把點B（-4，4）和D （ t ，t） 代入得。 解之得 直線BD的解析式為: 當x=0時，點E的坐標為(0, ) OE = 4-t = 解之得，t = ，t =（不符合題意，舍去）綜合上述，當t為 0、4時，PBE 為等腰三角形。 （3）POE周長不隨時間t的變化而變化，它始終等8。理由如下: 在RtPOE中， OP=4-t ,OE= PE = POE周長為：（4-t）+=88. （2014湖北省孝感市，22，10分）已知關于的方程有兩個不相等的實數根、（1）求的取值范圍；（3分）（2）試說明，；（3分）（3）若拋物線與軸交于、兩點，點、點到原點的距離分別為、，且，求的值（4分）【答案】解：（1）由題意可知：， 1分 即 2分 3分（2）， 5分 6分（3）依題意，不妨設A（x1,0），B（x2,0）.， 8分，解得k11，k22 9分，k2 10分9.（2014湖北省黃石市，20，8分）解方程： 【答案】解：依題意 由（2）得 （3）將（3）代入（1）化簡得（4分）解此方程得 或 （2分）代入（2）得或原方程組的解為或（2分）10. (2014年株洲市，21，6分)已知關于x的一元二次方程，其中a、b、c分別為ABC的三邊的長.(1)如果x=-1是方程的根，試判斷ABC的形狀，并說明理由；(2)如果方程有兩個相等的實數根，試判斷ABC的形狀，并說明理由；(3)如果ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.【答案】解：（1）把x=-1代入方程得2a-2b=0a=bABC是等腰三角形.(2) 方程有兩個相等的實數根 =（2b)-4（a+c)(a-c)=0 b+c=a ABC是直角三角形.(3) ABC是等邊三角形 a=b=c 原方程變?yōu)椋?ax+2ax=0 a0 x1=0;x2=-111. （2014四川瀘州 ，23，8分）已知、是關于x的一元二次方程的兩個實數根.(1)若，求m的值；(2)已知等腰ABC的一邊長為7，若、恰好是ABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長.【答案】解：(1)、是關于x的一元二次方程的兩個實數根，又，=28，即，m=-4或6.又0，m2，m=6.(2)m=6，三角形的周長為7+14=21.12. （2014四川南充，20，8分）(8分)已知關于x的一元二次方程x22x+m=0,有兩個不相等的實數根.求實數m的最大整數值；在的條下，方程的實數根是x1，x2,求代數式x12+x22x1x2的值.【答案】解：由題意，得：0，即： 0，m2，m的最大整數值為m=1（2）把m=1代入關于x的一元二次方程x22x+m=0得x22x+1=0，根據根與系數的關系：x1+x2 = 2，x1x2=1，x12+x22x1x2= （x1+x2）23x1x2=（2）231=513. （2014四川省巴中市，26，8分）某商店準備進一批季節(jié)性小家電，單價40元，經市場預測，銷售定價為52元時，可售出180個. 定價每增加1元，銷售量凈減少10個；定價每減少1元，銷售量凈增加10個。因受庫存的影響，每批次進貨個數不得超過180個。商店若將準備獲利2000元，則應進貨多少個？定價多少元？【答案】解：（1）設定價為x元，則進貨為180-10（x-52）=180-10x+520=（700-10x）個，所以（x-40）（700-10x）=2000，解得x1=50，x2=60；每批次進貨個數不得超過180個700-10x180x52 x=60當x=60時，700-10x=700-1060=100個；答：商店若準備獲利2000元，應進貨100個，定價為60元.14. （2014重慶市A卷，23，10分）為豐富居民業(yè)余生活，某居民區(qū)組建籌委會，該籌委會動員居民自愿集資建立一個書刊閱覽室，經預算，一共需要籌資30 000元，其中一部分用于購買書桌、書架等設施，另一部分用于購買書刊（1）籌委會計劃，購買書刊的資金不少于購買書桌、書架等設施資金的3倍，問最多用多少資金購買書桌、書架等設施？（2）經初步統(tǒng)計，有200戶居民自愿參與集資，那么平均每戶需要集資150元鎮(zhèn)政府了解情況后，贈送了一批閱覽室設施和書籍，這樣，只需參與戶集資20 000元經籌委會進一步宣傳，自愿參與的戶數在200戶的基礎上增加了a%（其中a0），則每戶平均集資的資金在150元的基礎上減少了，求a的值【答案】解：（1）設用于購買書桌、書架等設施的資金為x元，由題意，得：解得，答：最多花7500元資金購買書桌、書架等設施（2）由題意，得：設，則，整理得，解得（舍），15.（2014廣東省汕尾市，22，9分）已知關于x的方程 （1）若該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一根 （2）求證：不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根【答案】解：(1)已知1為原方程的一個根，則1+a+a-2=0 a=帶回方程得： , (2)在中，A=1 B= C= = = =0 不論a取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根16.（2014四川自貢，16，8分）解方程：【答案】解：，17. (2014年湖南省衡陽市，24，6分)學校去年年底的綠化面積為5000平方米，預計到明年年底增加到7200平方米，求這兩年的年平均增長率?！敬鸢浮拷猓涸O這兩年的平均增長率為X。 依題意得： 50001+X2=7200 解之得：x1=0.2 x2=-2.2(不合題意，舍去） 答：這兩年的年平均增長率為20%。18. （2014江蘇省揚州市，20，8分）已知關于x的方程有兩個相等的實數根，求k的值【答案】解：關于x的方程有兩個相等的實數根， 解得：k=2當關于x的方程有兩個相等的實數根時，k=219.（2014江蘇徐州， 20，5分）（1）解方程： ； 【答案】解： 或20. （2014四川省成都市，26，8分）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園（籬笆只圍，兩邊），設m.（1）若花園的面積為192,求的值；（2）若在處有一棵樹與墻，的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積的最大值. 【答案】解：（1）由題意，得 x（28-x）=192 解這個方程，得 （2）花園面積S=x（28-x）=-（x-14）+196 由題意，知解得6x13 在6x13范圍內，S隨x的增大而增大. 當x=13時， =-（13-14）+196=195(m)21. （2014浙江省湖州市，22，10分）已知某市2013年企業(yè)月用水量x(噸)該月應交的水費y(元)之間的函數關系如圖所示.（1） 當x50時，求關于x的函數關系式；（2） 若某企業(yè)2013年10月份的水費為620元，求該企業(yè)2013年10月份的用水量；（3） 為貫徹省委“五水共治”發(fā)展戰(zhàn)略，鼓勵企業(yè)節(jié)約用水，該市自2014年1月開始對頂月用水量超過80噸的企業(yè)加污水處理費，規(guī)定：若企業(yè)月用水量x超過80噸，則除按2013年收費標準收取水查費外，超過80噸部分每噸另加收元。若某企業(yè)2014年3月份的水費和污水處理費共600地，求這個企業(yè)該月的用水量.【答案】解：(1)設所求的函數關系式為y=kx+b.直線y=kx+b經過點（50，200），（60，260）.解得所求的函數關系式為y=6x-100.（2）由圖可知，當y=620時，x50,620=6x-100,解得x=120.(3)由題意得.化簡得解得(不合題意，舍去).答：該企業(yè)2014年3月份的用水量為100噸.22. （2014四川省涼山州，22，8分）實驗與探究：三角形點陣中前n行的點數計算下圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點第n行有n個點容易發(fā)現，10是三角點陣中前4行的點數的和.你能發(fā)現300是前多少行的點數的和嗎？如果用實驗的方法，由上而下地逐行相加其點數，雖然你能發(fā)現1+2+3+23+24=300，得知300是前24行的點數的和，但是這樣尋找答案需要花費較多時間，能否更簡捷地得出結果呢？我們先探究三角點陣中前 n 行的點數和與 n 的數量關系.前 n 行的點數和是1+2+3+（n+2）+（n-1）+n?？梢园l(fā)現，21+2+3+（n+2）+（n-1）+n=1+2+3+（n+2）+（n-1）+n+n+（n-1）+（n+2）+3+2+1把兩個中括號中的第一項相加，第二項相加第 n 項相加，上式等號的后邊變形為這 n 個小 括號都等于 n+ 1 ，整個式子等于