徐州市高中數學第一章導數及其應用1.3.1導數在研究函數中的應用_單調性教案7蘇教版.docx

導數在研究函數中的應用單調性【教學目標】1通過實例，利用幾何畫板借助函數圖象直觀地引導學生探索并了解函數的單調性與導數的關系，初步掌握利用導數方法研究函數單調性。2在整體把握高中數學課程的理念下，通過初等方法與導數方法在研究函數單調性過程中的比較，讓學生不斷體會導數方法在研究函數單調性中的一般性和有效性。并在原有基礎上進一步加深對函數單調性的理解，同時感受和體會數學自身發(fā)展的一般規(guī)律。 3通過對導數與函數單調性關系的探究，滲透數形結合的思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程。同時，著重培養(yǎng)學生的合作、探究、積極努力等核心素養(yǎng)?！窘虒W重點】 導數在研究函數單調性中的應用【教學難點】 導數與函數單調性關系的探究和發(fā)現，以及理論分析?！窘虒W方法】 教師啟發(fā)講授，學生探究學習【教學手段】 計算機、實物投影儀【教學過程】一、復習回顧，引入課題引言：函數單調性是函數的一個非常重要的性質，刻畫了函數值隨自變量的變化而的變化情況，進而可以討論函數的最值或值域，甚至畫出函數的圖象。因此，今天我們再次來研究函數的單調性。揭示課題：單調性問題：函數單調性是如何定義的？學生：一般地，設函數的定義域為A，區(qū)間如果對于區(qū)間I內的任意兩個值，當時，都有，那么就說在區(qū)間I上是單調增函數，I稱為的單調增區(qū)間。如果對于區(qū)間I內的任意兩個值，當時，都有，那么就說在區(qū)間I上是單調減函數，I稱為的單調減區(qū)間。問題：如何判斷函數的單調性？引例：確定函數的單調增區(qū)間和減區(qū)間。學生練習，實物投影儀投影板書。設計意圖：以實際數學問題為載體，通過解決問題引導學生復習回顧已掌握的討論函數單調性的初等方法。學生：(1)圖象法：依性作圖，以圖識性。滲透數形結合思想。(2)定義法：取值、作差、變形、斷號、定論。滲透解題的規(guī)范意識。教師小結：運用定義或圖象討論函數的單調性都屬于初等方法，定義法就是根據函數的單調性定義，用數學符號語言來描述，過程比較嚴謹；圖象法就是利用圖形語言來描述，非常直觀。當然，我們還有以利用復合函數的性質、函數加減運算的性質等去判斷函數的單調性。問題：你們能利用這些初等方法討論研究所有函數的單調性嗎？大家能否找出一些反例?學生：有三次以上的函數、含對數的函數、含三角的函數等。教師：根據同學們的意見，列舉其中三個函數：(1)；（2）；（3）。問題：困難在哪里？學生：作差難以變形，圖象難以畫出。教師小結：對基本初等函數進行復合或運算后，例如上述函數判斷單調性，要么用定義法作差后變形非常困難，要么不能利用已有數學知識快速、準確地畫出圖象。設計意圖：讓學生在學習中遇到困難，探究新方法，培養(yǎng)好奇心，引入新課。讓學生隨意推薦函數，既可以激發(fā)學生學習的興趣，又第一次初步感受導數法研究單調性具有一般性和有效性。二、歸納探索，發(fā)現結論 1借助圖象，直觀感知當今社會科技發(fā)達，我們擁有非常先進的信息技術，今天我用幾何畫板作出上述函數的圖形。問題：根據上述連續(xù)函數的圖象，能判斷函數的單調性嗎？學生：函數（1）可以，而第（2）、（3）兩個函數不能，難以確定單調區(qū)間的分點。設計意圖：學生的困難是難以確定單調區(qū)間分界點的確切位置。通過討論，使學生感受到即使畫出函數圖象，用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，還需要尋找其它方法進行嚴密化、精確化的研究。問題：除了初等方法，還有其它的更為有效的方法來研究這些復雜函數的單調性嗎？函數單調性是對函數變化趨勢的一種刻畫，最近所學的數學知識中還有什么也可以刻畫函數變化的趨勢？如何刻畫的？學生：導數。函數的導數主要刻畫了函數在每一點處的瞬時變化率，反映了函數上升或下降的陡峭程度。問題：導數的幾何意義是什么？在某區(qū)間內，伴隨著函數圖象切線的變化，導數值具有什么特征時，函數單調遞增；導數值又具有什么特征時，函數單調遞減？兩者有什么關聯(lián)？學生：對于函數（1）如果在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上增函數；（2）如果在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上減函數；（3）如果，那么為單調區(qū)間的分點。（備案）師生共同探究，分組討論，猜想出導數法的一般結論，板書結論。設計意圖：通過實例，借助幾何圖形的直觀，引導學生觀察、分析、總結和提煉出導數與函數單調性的密切關系，培養(yǎng)學生由特殊到一般的歸納總結能力。問題：雖然上述三個函數是由大家隨意找出的，但能代表所有連續(xù)可導函數嗎？也就是說上述結論具有一般性嗎？學生：（1）（2）對任何可導函數均成立，具有一般性；（3）當滿足時，不一定是分點。例如：雖然，但函數在上單調遞增，所以不是分點。教師指出：上述結論是由上述三個特殊的函數圖象得到的，只是一種猜想，是否具有一般性，還需要嚴格的數學證明。設計意圖：觀察特殊函數圖象切線的變化，發(fā)現單調性與導數的關系，從而找出研究函數單調性的又一種方法導數法。2抽象思維，嚴密論證問題：對任意連續(xù)可導函數在區(qū)間上恒成立，幾何意義是什么？學生：函數圖象在區(qū)間上任意一點處切線的斜率都大于零。問題：要證明函數在區(qū)間上單調遞增，根據定義就是要證明什么？學生：（1）任取,且,有成立； （2）任取，都有成立； （3）函數圖象在區(qū)間上連結任意兩點割線的斜率都大于零。教師指出：原來函數在區(qū)間上單調也具有類似的幾何意義。問題：如果圖象連續(xù)的函數在區(qū)間上恒成立，則函數在區(qū)間上單調遞增，你能簡單說明理由嗎？ 學生分組討論。學生：讓經過兩點的割線平行移動，與函數圖象相切，設切點為。因此得到教師指出：雖然還不是十分的嚴密，但分析過程已非常接近于嚴格的數學證明了，大家發(fā)現了連續(xù)可導函數在區(qū)間上的整體的平均變化率與區(qū)間內某點的局部的瞬時變化率的關系。等式就是高等數學中的拉格朗日定理，法國數學家拉格朗日于1797年在其著作解析函數論的第六章提出了該結論，并進行證明，感興趣的同學課后可以做進一步的研究。上述結論就是導數在研究函數中的重要應用。補充完善課題：導數在研究函數中的應用單調性設計意圖：使學生明確猜想只是一種合情推理，判斷是否正確還必須經過嚴格的數學證明。對證明上述結論的高等數學中的拉格朗日定理，采用中學生能夠接受的方式，用直觀的方法來分析和說明，培養(yǎng)學生嚴密的邏輯思維能力和意識。問題：該結論反之成立嗎？能舉反例嗎？學生：(1) 成立；(2)不成立。對于學生錯誤的回答，引導學生舉反例說明。例如：雖然函數在上單調遞增，但，所以逆命題不真。設計意圖：把對導數法的認識由感性上升到理性認識的高度,第二次強化了導數法研究函數單調性的一般性，培養(yǎng)學生嚴密的邏輯思維能力。三、掌握方法，適當延展例1.討論確定下列函數的單調區(qū)間：(1)；（2），（3）；1分析解決問題針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流。強調單調區(qū)間的區(qū)間形式、不能取并集等注意點。第（1）題教師板書過程；（2）、（3）小題學生板書。2歸納解題步驟引導學生分組討論，歸納導數法討論函數單調性的基本步驟：確定定義域，求導數，解不等式，確定單調區(qū)間。 練習：1.利用導數法研究函數 的單調性2.（1）討論函數的單調性； （2）討論函數的單調性。設計意圖：掌握導數法研究函數單調性的方法和步驟，并與初等方法進行對比，第三次感受導數法對研究函數單調性的一般性和有效性。同時滲透極限的思想，為今后畫出函數圖象，研究函數的其它性質打下基礎。四、歸納小結，提高認識問題：本節(jié)課你感受最深的是什么？學生交流本節(jié)課學習過程中的體會和收獲。課外探究：利用函數單調性，畫出函數的草圖。導數在研究函數中的應用單調性教學設計說明只有在整體把握高中數學課程的理念下，進行單元教學設計，充分尊重學生的認知規(guī)律、心理和生理發(fā)展特點，充分遵循高中數學內在的知識結構和邏輯思想體系，充分體現高中數學課程的整體性、規(guī)律性、結構性和連續(xù)性，才能抓住事物的本質，讓學生的數學知識和能力不斷呈現螺旋式上升，使教師的教和學生的學更輕松、更高效，也才能讓學生真正走進高中數學，感受數學的應用和文化價值，培養(yǎng)學生嚴格的邏輯思維能力、科學的思想和精神。一、教學內容的分析函數的單調性是學生了解的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，在必修一中學生已掌握了用定義法和圖象法等初等方法研究函數的單調性。本章學生是在掌握基本初等函數的性質和學習導數的概念和運算的基礎上，特別是了解導數的幾何意義的前提下，學會運用導數法研究函數的單調性，為進一步研究函數的極值、最值，進而畫出函數的草圖，討論“恒成立問題”、“存在性問題”、“零點問題”等打下基礎，同時，也幫助學生了解函數整體的平均變化率與某點處的瞬時變化率的關系，進一步加深對函數單調性的理解。利用導數研究函數的單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）導數與函數單調性關系的探索發(fā)現。高等數學是用極限思想給予嚴格的證明，而高中階段只能利用幾何意義，由特殊函數在同一單調區(qū)間內導數值的特征來觀察、分析、歸納和總結規(guī)律，這種非常抽象的、由特殊到一般的發(fā)現式的猜想對學生來講是比較困難的；（2）由于導數法是由特殊函數的圖象觀察發(fā)現的，是否具有一般性，學生還存有疑問，如何進行理論分析、如何處理是一大難點。根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點。二、教學目標的確定在整體把握高中數學課程的理念下，根據本節(jié)課在整個高中數學教學大綱中的地位和教學要求、教材中的特點以及學生現有的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標。通過實例，利用幾何畫板借助函數圖象直觀地引導學生探索并了解函數的單調性與導數的關系，初步掌握利用導數方法研究函數單調性。在整體把握高中數學課程的理念下，通過初等方法與導數方法在研究函數單調性過程中的比較，讓學生不斷體會導數方法在研究函數單調性中的一般性和有效性。并在原有基礎上進一步加深對函數單調性的理解，同時感受和體會數學自身發(fā)展的一般規(guī)律。通過對導數與函數單調性關系的探究，滲透數形結合的思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程。同時，著重培養(yǎng)學生的合作、探究、積極努力等核心素養(yǎng)。三、教學方法和教學手段的選擇本節(jié)課是導數研究函數單調性的第一節(jié)課，采用教師啟發(fā)引導，學生觀察、總結的教學方法，通過創(chuàng)設情境，引導探究，師生交流，最終發(fā)現結論，獲得方法。本節(jié)課使用了多媒體實物投影和計算機來輔助教學，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對抽象數學問題的理解和認識。四、教學過程的設計為達到本節(jié)課在整個高中數學課