淺談微積分與化學(xué)及關(guān)系.doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 淺談微積分與化學(xué)的關(guān)系 說到微積分與化學(xué)的關(guān)系，首先要從微積分的創(chuàng)造與發(fā)展說起。微積分是微分和積分兩門學(xué)問的統(tǒng)稱，研究的范疇有三，包括微分、積分，以及微分和積分兩者之間的關(guān)系。微分主要討論一個(gè)變量怎樣隨時(shí)間（或其他變量）改變，而積分則主要討論計(jì)算面積的方法。它們兩者的關(guān)系由微積分基本定理（或稱牛頓萊布尼茨公式）給出：簡(jiǎn)單來說，這條定理說明，在適當(dāng)?shù)臈l件下，求積分是求微分之逆，求微分也是求積分之逆。以下簡(jiǎn)稱微積分的歷史。 一微積分發(fā)展的 蒙芽時(shí)期 早在希臘時(shí)期，人類已經(jīng)開始討論無窮、極限以及無窮分割等概念。這些都是微積分的中心思想；雖然這些討論從現(xiàn)代的觀點(diǎn)看有很多漏洞，有時(shí)現(xiàn)代人甚至覺得這些討論的論証和結(jié)論都很荒謬，但無可否認(rèn)，這些討論是人類發(fā)展微積分的第一步。 例如公元前五世紀(jì)，希臘的德謨克利特（Democritus）提出原子論：他認(rèn)為宇宙萬物是由極細(xì)的原子構(gòu)成。在中國(guó)，莊子天下篇中所言的一尺之捶，日取其半，萬世不竭，亦指零是無窮小量。這些都是人類對(duì)早期的極限以及無窮等概念的原始認(rèn)識(shí)。 其他關(guān)於無窮、極限的論述，還包括芝諾（Zeno）幾個(gè)著名的悖論1：其中一個(gè)悖論說一個(gè)人永遠(yuǎn)都追不上一隻烏龜2，因?yàn)楫?dāng)那人追到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)時(shí)，烏龜已經(jīng)向前爬行了一小段路，當(dāng)他再追完這一小段，烏龜又已經(jīng)再向前爬行了一小段路。芝諾說這樣一追一趕的永遠(yuǎn)重覆下去，任何人都總追不上一隻最慢的烏龜當(dāng)然，從現(xiàn)代的觀點(diǎn)看，芝諾說的實(shí)在荒謬不過；他混淆了無限和無限可分的概念。人追烏龜經(jīng)過的那段路縱然無限可分，其長(zhǎng)度卻是有限的；所以人仍然可以以有限的時(shí)間，走完這一段路。然而這些荒謬的論述，開啟了人類對(duì)無窮、極限等概念的探討，對(duì)后世發(fā)展微積分有深遠(yuǎn)的歷史意味。另外值得一提的是，希臘時(shí)代的阿基米德（Archimedes）已經(jīng)懂得用無窮分割的方法正確地計(jì)算一些面積，這跟現(xiàn)代積分的觀念已經(jīng)很相似。由此可見，在歷史上，積分觀念的形成比微分還要早這跟課程上往往先討論微分再討論積分剛剛相反。二、十七世紀(jì)的大發(fā)展牛頓和萊布尼茨的貢獻(xiàn)中世紀(jì)時(shí)期，歐洲科學(xué)發(fā)展停滯不前，人類對(duì)無窮、極限和積分等觀念的想法都沒有甚麼突破。中世紀(jì)以后，歐洲數(shù)學(xué)和科學(xué)急速發(fā)展，微積分的觀念也於此時(shí)趨於成熟。在積分方面，一六一五年，開普勒（Kepler）把酒桶看作一個(gè)由無數(shù)圓薄片積累而成的物件，從而求出其體積。而伽利略（Galileo）的學(xué)生卡瓦列里（Cavalieri）即認(rèn)為一條線由無窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成；一個(gè)面由無窮多條線構(gòu)成；一個(gè)立體由無窮多個(gè)面構(gòu)成。這些想法都是積分法的前驅(qū)。在微分方面，十七世紀(jì)人類也有很大的突破。費(fèi)馬（Fermat）在一封給羅貝瓦（Roberval）的信中，提及計(jì)算函數(shù)的極大值和極小值的步驟，而這實(shí)際上已相當(dāng)於現(xiàn)代微分學(xué)中所用，設(shè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零，然后求出函數(shù)極點(diǎn)的方法。另外，巴羅（Barrow）亦已經(jīng)懂得透過微分三角形（相當(dāng)於以dx、dy、ds為邊的三角形）求出切線的方程，這和現(xiàn)今微分學(xué)中用導(dǎo)數(shù)求切線的方法是一樣的。由此可見，人類在十七世紀(jì)已經(jīng)掌握了微分的要領(lǐng)。然而，直至十七世紀(jì)中葉，人類仍然認(rèn)為微分和積分是兩個(gè)獨(dú)立的觀念。就在這個(gè)時(shí)候，牛頓和萊布尼茨將微分及積分兩個(gè)貌似不相關(guān)的問題，透過微積分基本定理或牛頓萊布尼茨公式連繫起來，說明求積分基本上是求微分之逆，求微分也是求積分之逆。這是微積分理論中的基石，是微積分發(fā)展一個(gè)重要的里程碑。微積分誕生以后，逐漸發(fā)揮出它非凡的威力，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，至此往往迎刃而解。例如，雅各布伯努利（JakobBernoulli）用微積分的技巧，發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)螺線經(jīng)過各種適當(dāng)?shù)淖儞Q之后，仍然是對(duì)數(shù)螺線3。他的弟弟約翰伯努利（JohnannBernoulli）在一六九六年提出一個(gè)最速降線問題一質(zhì)點(diǎn)受地心吸力的作用，自較高點(diǎn)下滑至較低點(diǎn)，不計(jì)摩擦，問沿著什麼曲線，時(shí)間最短？這條問題后來促使了變分學(xué)誕生4。歐拉（Euler）的引論、微分學(xué)、積分學(xué)亦總結(jié)了自十七世紀(jì)微積分的全部成果。儘管如此，微積分的理論基礎(chǔ)問題，仍然在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起很多爭(zhēng)論5。牛頓的無窮小量，有時(shí)是零，有時(shí)又不是零，他的極限理論也是十分模糊的。萊布尼茨的微積分同樣不能自圓其說。這個(gè)問題要到十九世紀(jì)才得到完滿的解答，所以微積分在當(dāng)時(shí)，惹來不少反對(duì)的聲音，當(dāng)中包括數(shù)學(xué)家羅爾（Rolle）。儘管如此，羅爾本身亦曾提出一條與微積分有關(guān)的定理他指出任意的多項(xiàng)式f(x)=a+bx+cx2+dx3+.的任何兩個(gè)實(shí)根之間都存在至少一個(gè)b+2cx+3dx2+.的實(shí)根。熟悉微積分的朋友會(huì)知道，b+2cx+3dx2+.其實(shí)是f(x)=a+bx+cx2+dx3+.的導(dǎo)數(shù)6。后人將這條定理推廣至可微函數(shù)，發(fā)現(xiàn)若函數(shù)f(x)可微，則在f(x)=0的任何兩個(gè)實(shí)根之間，方程f(x)=0至少有一個(gè)實(shí)根。這條定理被冠為羅爾定理，是為微分學(xué)的基本定理之一。由此可見，在挑戰(zhàn)微積分的理論基礎(chǔ)的同時(shí)，數(shù)學(xué)家已經(jīng)就微積分的發(fā)展作出了很大的貢獻(xiàn)。三、十九世紀(jì)基礎(chǔ)的奠定微積分的發(fā)展迅速，使人來不及檢查和鞏固微積分的理論基礎(chǔ)。十九世紀(jì)，許多迫切問題基本上經(jīng)已解決，數(shù)學(xué)家於是轉(zhuǎn)向微積分理論的基礎(chǔ)重建，人類亦終於首次給出極限、微分和積分等概念的嚴(yán)格定義。一八一六年，波爾查諾（Bolzano）在人類歷史上首次給出連續(xù)函數(shù)的近代定義。繼而在一八二一年，柯西（Cauchy）在他的教程中提出e方法，后來在一八二三年的概要中他改寫為d方法，把整個(gè)極限過程用不等式來刻畫，使無窮的運(yùn)算化為一系列不等式的推算，這就是所謂極限概念的算術(shù)化。后來外爾斯特拉斯（Weierstrass）將e和d聯(lián)繫起來，完成了e-d方法，這就是現(xiàn)代極限的嚴(yán)格定義。有了極限的嚴(yán)格定義，數(shù)學(xué)家便開始嘗試嚴(yán)格定義導(dǎo)數(shù)和積分。在柯西之前，數(shù)學(xué)家通常以微分為微積分的基本概念，并把導(dǎo)數(shù)視作微分的商。然而微分的概念模糊，把導(dǎo)數(shù)定義作微分的商因此并不嚴(yán)謹(jǐn)。於是柯西概要中直接定義導(dǎo)數(shù)為差商的極限，這就是現(xiàn)代導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格定義，是為現(xiàn)代微分學(xué)的基礎(chǔ)。在概要中，柯西還給出連續(xù)函數(shù)的積分的定義：設(shè)f(x)為在a,b上連續(xù)的函數(shù)，則任意用分點(diǎn)a=x0.xn=b，將a,b分為n個(gè)子區(qū)間xi-1,xi(i=1,2,.,n)，若果和式當(dāng)最大子區(qū)間的長(zhǎng)度趨向0時(shí)，極限存在，則此極限稱為函數(shù)f(x)在a,b上的積分。這跟現(xiàn)代連續(xù)函數(shù)積分的定義是一致的。后來黎曼（Riemann）推廣了柯西的定義。黎曼的定義跟柯西的定義不同的地方，在於和式S的定義：在黎曼的定義中，和式S定義為（留意黎曼在黎曼和中用了xi-1,xi中任意一點(diǎn)xi-1，而柯西在其和式S中則永遠(yuǎn)選取子區(qū)間xi-1,xi的左端點(diǎn)xi-1）。我們說黎曼推廣了柯西的定義，是因?yàn)閷?duì)所有在a,b上連續(xù)的函數(shù)，柯西積分的值跟黎曼積分的值一樣，而且有一些在a,b上不連續(xù)的函數(shù)，當(dāng)最大子區(qū)間的長(zhǎng)度趨向0時(shí)S的極限依然存在。這就是現(xiàn)在所用的黎曼積分的定義，至此微積分理論的基礎(chǔ)部分概念問題已經(jīng)大致完。 柯西以后，微積分邏輯基礎(chǔ)發(fā)展史上的最重大事件是人類從集合理論出發(fā)，建立了實(shí)數(shù)理論我們說實(shí)數(shù)理論的建立是微積分理論發(fā)展史上的一件大事，是因?yàn)槲⒎e分的理論用上了很多實(shí)數(shù)的性質(zhì)。這實(shí)數(shù)理論的建立，主要功勞歸於戴德金（Dedekind）、康托爾（Cantor）、外爾斯特拉斯等人。一八七二年，梅雷（Mray）提出的無理數(shù)定義，和同一年康托爾提出用有理基本序列來定義無理數(shù)實(shí)質(zhì)相同。有了實(shí)數(shù)理論，加上集合論和極限理論，微積分就自從三百年以來，首次有了鞏固的邏輯基礎(chǔ)，而微積分的理論亦終於趨於完備。從微積分的發(fā)展來看，微積分的創(chuàng)造和發(fā)展就是為了解決當(dāng)時(shí)一些不能用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)解決的數(shù)學(xué)或者關(guān)于物理計(jì)算的難題。微積分可以講一些彎曲無規(guī)則的曲線先進(jìn)行微分，把他們都分割成無窮多的小塊，那么每一小塊就都可以看成是規(guī)則的直線或者面，計(jì)算其中每一小塊的長(zhǎng)度或者面積，然后再將所有小塊進(jìn)行積分，所求之和就是原來的面積。又這個(gè)求面積的問題引申下去就是求功或者其他化學(xué)方面的計(jì)算。大家都知道化學(xué)以前就從屬與物理而存在的，只是到了19世紀(jì)因?yàn)榛瘜W(xué)的發(fā)展才從物理這一門學(xué)科中獨(dú)立出來的。與物理一樣，化學(xué)與我們的生活息息相關(guān)，在平時(shí)生活當(dāng)中，我們也可以用我們所學(xué)的化學(xué)原理進(jìn)行解釋和說明。但是生活中遇到的一些關(guān)于化學(xué)計(jì)算的問題就不能簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題來解決，于是引進(jìn)了微積分來進(jìn)行計(jì)算。學(xué)化學(xué)的目的就是為了更好了利用科學(xué)來為人類創(chuàng)造財(cái)富，要想利用它，首先就要理解和處理它。比如功是與物理化學(xué)精密相關(guān)的，如果是恒力對(duì)物體直線做功，那么總功E=FS?？墒鞘聦?shí)并不是如此簡(jiǎn)單，力未必是恒力，而是變力；而路程又未必是直線，彎曲的也是有可能的。