2018年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷

1 2018 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué) 浙江卷 選擇題部分 共 40 分 一一 選擇題選擇題 本大題共本大題共 10 小題小題 每小題 每小題 4 分分 共 共 40 分分 在在每小題給出每小題給出的的四個四個選項中 選項中 只只 有有一項是符合題一項是符合題目目要求的要求的 1 已知全集 1 2 3 4 5U 1 3A 則 U C A A B 1 3 C 2 4 5 D 1 2 3 4 5 答案 C 解析 全集 1 2 3 4 5U 1 3A A的補(bǔ)集 2 4 5 U C A 正確答案為C 2 雙曲線 2 2 1 3 x y 的焦點坐標(biāo)是 A 2 0 2 0 B 2 0 2 0 C 0 2 0 2 D 0 2 0 2 答案 B 解析 雙曲線 2 2 1 3 x y 其中 2 3a 2 1b 222 3 14cab 雙曲線的焦點坐標(biāo)為 2 0 和 2 0 正確答案是B 2 3 某幾何體的三視圖如圖所示 單位 cm 則該幾何體的體積 單位 3 cm 是 A 2 B 4 C 6 D 8 答案 C 解析 由三視圖可知 原圖如下 VSh 底 注意有文字 12 2 2 2 6 正確答案為C 4 復(fù)數(shù) 2 1i i為虛數(shù)單位 的共軛復(fù)數(shù)是 A 1i B 1i C 1i D 1 i 答案 B 解析 2 22 1 2 1 1 1 1 1 1 ii i iiii 其共軛復(fù)數(shù)為1i 正確答案為B 3 5 函數(shù)2 sin2 x yx 的圖象可能是 A B C D 答案 D 解析 函數(shù)2 sin2 x yx 是奇函數(shù) 其函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱 排除A B選項 又 當(dāng) 0 x 時 函數(shù)有零點 2 x 正確答案為D 6 已知平面 直線m n滿足m n 則 mn 是 m 的 A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件 答案 A 解析 m n mn 可以推出m mn 是 m 的充分條件 又 m n m 不能推出mn mn 不是 m 的必要條件 綜上 mn 是 m 的充分不必要條件 正確答案是A 4 7 設(shè)01p 隨機(jī)變量 的分布列 0 1 2 P 1 2 p 1 2 2 p 則當(dāng)p在 0 1 內(nèi)增大時 A D 減小 B D 增大 C D 先減小后增大 D D 先增大后減小 答案 D 解析 111 012 2222 pp Ep 222 11111 012 222222 pp Dppp 2 1 4 pp 2 11 22 p p在 0 1 上增大時 D 先增大后減小 正確答案為D 8 已知四棱錐SABCD 的底面是正方形 側(cè)棱長均相等 E是線段AB上的點 不含端 點 設(shè)SE與BC所成的角為 1 SE與平面ABCD所成的角為 2 二面角SABC 的平 面角為 3 則 A 123 B 321 C 132 D 231 答案 D 解析 線線角大于或等于線面角 二面角大于或等于線面角 12 32 正確答案是D 9 已知a b e是平面向量 e是單位向量 若非零向量a與e的夾角為 3 向量b滿 足 2 430 be b 則 ab的最小值是 A 31 B 31 C 2 D 23 答案 A 解析 43 3 0be bbe be 5 設(shè) 1 0 e bx y 2 1 3 0 xxy 22 2 1xy 如圖abBA 而BA在OAOA 時最短 此時 31abBAOAOB 正確答案是A 10 已知 1 a 2 a 3 a 4 a成等比數(shù)列 且 1234123 ln aaaaaaa 若 1 1a 則 A 13 aa 24 aa B 13 aa 24 aa C 13 aa 24 aa D 13 aa 24 aa 答案 B 解析 若 0q 則 1234123 1aaaaaaa 12341234123 ln ln aaaaaaaaaaa 123 ln 0aaa 23 12341 1 0aaaaaqqq 4 1 0 1 q q 2 0a 2 113 aa qa 2 224 aa qa 正確答案是B 6 非選擇題部分 二二 填空題填空題 本大題共本大題共 7 小題小題 多空 多空題每題題每題 6 分分 單空題每題 單空題每題 4 分分 共 共 36 分分 11 我國古代數(shù)學(xué)著作 張丘建算經(jīng) 中記載百雞問題 今有雞翁一 值錢五 雞母一 值錢三 雞雛三 值錢一 凡百錢 買雞百只 問雞翁 母 雛各幾何 設(shè)雞翁 雞母 雞 雛個數(shù)分別為x y z 則 100 1 53100 3 xyz xyz 當(dāng)81z 時 x y 答案 8x 11y 解析 將81z 代入 得 19 5373 xy xy 8 11 x y 12 若x y滿足約束條件 0 26 2 xy xy xy 則3zxy 的最小值是 最大值是 答案 2 8 解析 通過不等式組 畫出可行域 如圖 2 2 A 4 2 B 3zxy 的最小值是2 最大值是8 7 13 在ABC 中 角A B C所對的邊分別為a b c 若7a 2b 60A 則sinB c 答案 21 7 3 解析 7a 2b 60A 3 sin 2 A sinsin ab AB 21 sin 7 B 32 7173 21 sinsin 272714 CAB 2 21 sinsin3 ca CA 3c 14 二項式 8 3 1 2 x x 的展開式的常數(shù)項是 答案 7 解析 由通項公式 83 18 1 2 r rr r TCx x 求常數(shù)項可得 8 0 3 r r 2r 常數(shù)項是 2 8 1 7 4 C 15 已知R 函數(shù) 2 4 43 xx f x xxx 當(dāng)2 時 不等式 0f x 的解集是 若函數(shù) f x恰有2個零點 則 的取值范圍是 答案 14x 13 或4 解析 當(dāng)2 時 2 42 432 xx f x xxx 圖象如下 8 則 0f x 的解集為14x 若函數(shù) f x恰有2個零點 二次函數(shù)有兩個零點 一次函數(shù)沒有零點 則4 二次函數(shù)有一個零點 一次函數(shù)有一個零點 則13 綜上可得13 或4 16 從1 3 5 7 9中任取2個數(shù)字 從0 2 4 6中任取2個數(shù)字 一共可以組 成 個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù) 用數(shù)字作答 答案 1260 解析 分兩種情況 包含0的四位數(shù) 2143 5343 540CCAA 不包含0的四位數(shù) 224 534 720CCA 一共有1260種 17 已知點 0 1 P 橢圓 2 2 1 4 x ym m 上兩點A B滿足2APPB 則當(dāng)m 時 點B橫坐標(biāo)的絕對值最大 答案 5 解析 設(shè)直線 1AB ykx 2 2 4 1 x ym ykx 2 22 210 4 x k xkxm 12 2 8 14 k xx k 12 2 44 14 m x x k 2APPB 9 12 2xx 1 2 16 14 k x k 2 2 8 14 k x k 22 32 1 14 kmk 若B的橫坐標(biāo)的絕對值最大 則 2 2 88 2 1 14 4 x k k k 當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 k 時 5m 三 三 解答題 本大題共解答題 本大題共 5 5 小題小題 共 共 7474 分分 解答解答應(yīng)寫出應(yīng)寫出文字說明文字說明 證明過程證明過程或或驗算驗算步驟步驟 18 本題滿分 14 分 已知角 的頂點與原點O重合 始邊與x軸的非負(fù)半軸重合 它的終 邊過點 34 55 P 求sin 的值 若角 滿足 5 sin 13 求cos 的值 解析 1 22 4 4 5 sin 5 34 55 3 cos 5 4 sin sin 5 2 5 sin 13 12 cos 13 當(dāng) 12 cos 13 時 coscos cos cossin sin 12354 135135 56 65 當(dāng) 12 cos 13 時 12354 cos 135135 10 16 65 綜上 56 cos 65 或 16 65 19 本題滿分 15 分 如圖 已知多面體 111 ABCABC 1 A A 1 B B 1 C C均垂直于平面ABC 120ABC 1 4A A 1 1CC 1 2ABBCB B 證明 1111 ABABC 平面 求直線 1 AC與平面 1 ABB所成的角的正弦值 解析 1 過 1 B作 11 B EAA 于點E 過 1 C作 11 C FBB 于點F 1 2B EAB 1 2AEBB 1 2AE 22 1111 2 2ABAEB E 22 11 2 2ABBBAB 11 1 4AA 222 1111 ABABAA 111 ABAB 又 1 2C FBC 1 1B F 22 1111 5BCC FB F 2 3AC 22 11 13ACACCC 222 11111 ABBCAC 111 ABBC 11 BC 平面 211 A BC 11 AB 平面 111 ABC 1 AB 平面 111 ABC 2 以A為原點 AC為y軸 1 AA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 0 0 0 A 1 0 0 4 A 1 3 0 B 1 1 3 2 B 1 0 2 3 1 C 1 0 2 3 1 AC 1 1 3 2 AB 1 0 0 4 AA 設(shè) z nx y 的法向量 320 xyz 12 40z 3 1 0 n sin AC n AC n ACn 2 3 2 13 39 13 正弦值是 39 13 20 本題滿分 15 分 已知等比數(shù)列 n a的公比1q 且 345 28aaa 4 2a 是 3 a 5 a 的等差中項 數(shù)列 n b滿足 1 1b 數(shù)列 1 nnn bba 的前n項和為 2 2nn 求q的值 求數(shù)列 n b的通項公式 解析 1 345 28aaa 435 2 2 aaa 2 333 28aa qa q 2 333 24a qaa q 3 4a 2q 1 2n n a 2q 2 設(shè) n S為 1 nnn bba 的前n項和 即 2 2 n Snn 11 2111 2 3 1 nnnnn bbaSSn bbaSn 1 41 nnn bban 13 1 1 41 2 nn n n bb 1 2 45 2 nn n n bb 21 0 3 2 bb 累加得 11 011 3741 222 n n n bb 令 011 3741 222 n n n T 121 1374541 22222 n nn nn T 1 47 14 2 n n n T 1 1 47 15 2 n n n b 2 43 15 2 n n n b 21 本題滿分 15 分 如圖 已知點P是y軸左側(cè) 不含y軸 一點 拋物線 2 4C yx 上 存在不同的兩點A B滿足PA PB的中點均在C上 設(shè)AB中點為M 證明 PM垂直于y軸 若P是半橢圓 2 2 1 0 4 y xx 上的動點 求PAB 面積的取值范圍 14 解析 設(shè) 11 A x y 22 B xy mm M xy pp P xy 2 11 2 22 4 1 4 2 yx yx 1 2 得 121212 4 yyyyxx 12 1212 442 2 mm yy xxyyyy 又 11 22 pp xxyy E 22 22 pp xxyy F E F在拋物線上 2 11 4 42 pp yyxx 22 111 28 ppp yy yyxx 2 11 4yx 2 21 248 ppp y yyxx 3 同理 2 22 248 ppp y yyxx 4 3 4 1212 2 y 4 p yyxx 12 12 2 p yy xxy 22 mp yy mp yy PMy 軸 12 1 2 PABmp Sxxyy 22 12 12 1 28 p yy xyy 15 2 1212 2 1212 2 8 1 4 28 p yyy yx yyy y 由第 問可知 22 2 11 1 2 2 42 pp p yy yy y x 22 2 22 2 2 2 42 pp p yy yy y x 可知 12 2 p yyy 2 1200 8yyxy 3 2 2 3 2 4 4 pp Syx 又 2 2 1 4 p p x y 1 0 p x 2 6 21 pp Sxx PAB 面積的取值范圍是 15 10 6 2 4 22 本題滿分 15 分 已知函數(shù) lnf xxx 若 f x在 1 xx 2 x 12 xx 處倒數(shù)相等 證明 12 88ln2f xf x 若34ln2a 證明 對于任意0k 直線ykxa 與曲線 yf x 有唯一公共點 解析 x lnfxx 1112 22 x fx xxx 當(dāng)4x 時 f x單調(diào)遞增 04x 時 f x單調(diào)遞減 12 fxfx 12 12 22 22 xx xx 1212 2 x xxx 121212 4 2 x xxxx x 12121212 84 x 8x xx xxx x 12 xx 1212 16x xx x 12 16x x 16 121212 x x lnlnffxxxx 1212 1 ln x 2 x xx 令 12 16x xt 12 f xf xg t 2 1 t ln 2 gtt 4 t 2 t g t 當(dāng)4t 時 t g單調(diào)遞增 t 16 88ln2gg 12 88ln2f xf x 設(shè)函數(shù) lng xxxkx 則 1122 22 kxx g xk xxx 當(dāng)1 160k 時 即 1 16 k 此時