河北省衡水市2019屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期二模考試試題文（含解析）.docx

20182019學(xué)年度第二學(xué)期二?？荚嚫呷昙墧?shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（下列每小題所給選項只有一項符合題意，請將正確答案的序號填涂在答題卡上）1.集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先求出集合A和集合B，再求AB【詳解】由|x1|3得到2x4，即A2，4，由2x+1422得到x1，即B1，+），則AB2，+），故選：D【點睛】本題考查集合的運算，解題時要認真審題，仔細解答2.復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)共軛的概念得到，再由復(fù)數(shù)的除法運算得到結(jié)果即可.【詳解】虛部為-1，故選A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題,復(fù)數(shù)問題高考必考，常見考點有：點坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，點的象限和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運算，復(fù)數(shù)的模長的計算.3.已知是兩個命題，那么“是真命題”是“是假命題”的（ ）A. 既不充分也不要必要條件B. 充分必要條件C. 充分不必要條件D. 必要不充分條件【答案】C【解析】【分析】由充分必要條件及命題的真假可得：“pq是真命題”是“p是假命題”的充分不必要條件，得解【詳解】因為“pq是真命題”則命題p，q均為真命題，所以p是假命題，由“p是假命題”，可得p為真命題，但不能推出“pq是真命題”，即“pq是真命題”是“p是假命題”的充分不必要條件，故選：C【點睛】本題考查了充分必要條件及命題的真假，屬簡單題4.某中學(xué)2018年的高考考生人數(shù)是2015年高考考生人數(shù)的1.5倍，為了更好地對比該?？忌纳龑W(xué)情況，統(tǒng)計了該校2015年和2018年的高考情況，得到如圖柱狀圖：則下列結(jié)論正確的是（ ）A. 與2015年相比，2018年一本達線人數(shù)減少B. 與2015年相比，2018二本達線人數(shù)增加了0.5倍C. 2015年與2018年藝體達線人數(shù)相同D. 與2015年相比，2018年不上線的人數(shù)有所增加【答案】D【解析】【分析】設(shè)2015年該校參加高考的人數(shù)為，則2018年該校參加高考的人數(shù)為.觀察柱狀統(tǒng)計圖，找出各數(shù)據(jù)，再利用各數(shù)量間的關(guān)系列式計算得到答案.【詳解】設(shè)2015年該校參加高考的人數(shù)為，則2018年該校參加高考的人數(shù)為.對于選項A.2015年一本達線人數(shù).2018年一本達線人數(shù)為，可見一本達線人數(shù)增加了，故選項A錯誤；對于選項B，2015年二本達線人數(shù)為，2018年二本達線人數(shù)為，顯然2018年二本達線人數(shù)不是增加了0.5倍，故選項B錯誤；對于選項C，2015年和2018年.藝體達線率沒變，但是人數(shù)是不相同的，故選項C錯誤；對于選項D，2015年不上線人數(shù)為.2018年不上線人數(shù)為.不達線人數(shù)有所增加.故選D.【點睛】本題考查了柱狀統(tǒng)計圖以及用樣本估計總體，觀察柱狀統(tǒng)計圖，找出各數(shù)據(jù)，再利用各數(shù)量間的關(guān)系列式計算是解題的關(guān)鍵5.程大位是明代著名數(shù)學(xué)家，他的新編直指算法統(tǒng)宗是中國歷史上一部影響巨大的著作.它問世后不久便風(fēng)行宇內(nèi)，成為明清之際研習(xí)數(shù)學(xué)者必讀的教材，而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區(qū)，對推動漢字文化圈的數(shù)學(xué)發(fā)展了重要的作用.卷八中第33問是：“今有三角果一垛，底闊每面七個.問該若干？”如圖是解決該問題的程序框圖.執(zhí)行該程序配圖，求得該垛果子的總數(shù)為（ ）A. 120B. 84C. 56D. 28【答案】B【解析】運行程序：i=1,n=1,s=1,17，i=2,n=3,s=4,27，i=3,n=6,s=10,37，i=4,n=10,s=20,47，i=5.n=15,s=35,57，i=6,n=21,s=56,67，i=7,n=28,s=84,77,s=84.故選C.6.阿基米德（公元前287年公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】利用已知條件列出方程組，求出a，b，即可得到橢圓方程【詳解】由題意可得：，解得a4，b3，因為橢圓的焦點坐標(biāo)在y軸上，所以橢圓方程為：故選：A【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力7.如圖所示，中，點是線段的中點，是線段的靠近的三等分點，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量的加減運算求解即可【詳解】據(jù)題意，故選：B【點睛】本題考查向量加法、減法以及向量的數(shù)乘運算，是基礎(chǔ)題8.已知定義在上的函數(shù)，設(shè)兩曲線與在公共點處的切線相同，則值等于（ ）A. 5B. 3C. D. 【答案】D【解析】【分析】分別求得和的導(dǎo)數(shù)，令它們的導(dǎo)數(shù)相等，求得切點的橫坐標(biāo)，進而求得縱坐標(biāo)，代入求得的值.【詳解】，令，解得，這就是切點的橫坐標(biāo)，代入求得切點的縱坐標(biāo)為，將代入得.故選D.【點睛】本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與切線，考查兩個函數(shù)公共點的切線方程，有關(guān)切線的問題關(guān)鍵點在于切點和斜率.屬于基礎(chǔ)題.9.一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體表面上的點在正視圖上的對應(yīng)點為，點在俯視圖上的對應(yīng)點為，則與所成角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三視圖知該幾何體是直四棱錐，找出異面直線PA與BC所成的角，再計算所成角的余弦值【詳解】由三視圖知，該幾何體是直四棱錐PABCD，且PD平面ABCD，如圖所示；取CD的中點M，連接AM、PM，則AMBC，PAM或其補角是異面直線PA與BC所成的角，PAM中，PA2，AMPM，cosPAM，又異面直線所成角為銳角即PA與BC所成角的余弦值為故選：B【點睛】本題考查了異面直線所成的角計算問題，可以根據(jù)定義法找角再求值，也可以用空間向量法計算，是基礎(chǔ)題10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點間隔3分鐘先后從點，繞原點按逆時針方向作角速度為弧度/分鐘的勻速圓周運動，則與的縱坐標(biāo)之差第4次達到最大值時，運動的時間為（ ）A. 37.5分鐘B. 40.5分鐘C. 49.5分鐘D. 52.5分鐘【答案】A【解析】【詳解】分析：由題意可得：yN=，yM=，計算yMyN=sin，即可得出詳解：由題意可得：yN=，yM=yMyN= yMyN=sin，令sin=1，解得：=2k+，x=12k+，k=0，1，2，3M與N的縱坐標(biāo)之差第4次達到最大值時，N運動的時間=312+=37.5（分鐘）故選：A點睛：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、和差公式、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題也查到了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義指的是單位圓上的點坐標(biāo)和這一點的旋轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系.11.定義在R上的函數(shù)，且對任意的不相等的實數(shù)有成立，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函數(shù)滿足，函數(shù)為偶函數(shù)又，由題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減恒成立，恒成立，即恒成立令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，在上單調(diào)遞減， 綜上可得實數(shù)的取值范圍為選D點睛：解答本題的兩個注意點（1）要根據(jù)條件中給出的函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為上恒成立的問題，去掉絕對值后轉(zhuǎn)化為不等式恒成立求解（2）解決恒成立問題時，選用分離參數(shù)的方法進行，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最大值或最小值的問題，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性去解即可12.已知四點均在以點為球心的球面上，且，.若球在內(nèi)且與平面相切，則球直徑的最大值為（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】D【解析】如圖所示:取CD的中點O,連接AO,BO,如圖，因為BC=BD=，,所以因為，所以AOCD,且AO=2，又因為OD=4，BO=4，所以故AOOB，又BOCD=O,所以AO平面BCD,所以在AO上，連接,設(shè)則即解之得R=5，球的直徑最大時，球與平面BCD相切且與球內(nèi)切，A,O,四點共線，此時球的直徑為R+=8.故選D.點睛：本題是一個難題，只有通過計算，認清以A,B,C,D為頂點的三棱錐的圖形特征，正確判斷球心的位置，借助方程求出球的半徑，直觀判斷球心的位置，才能迎刃而解.二、填空題（把答案在答題紙的橫線上）13.若函數(shù)的零點為，則_.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)零點的定義可得f（2）log2（a2）0，解可得a的值，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，若函數(shù)f（x）log2（x+a）的零點為2，則f（2）log2（a2）0，即a21，解可得a3，故答案為：3【點睛】本題考查函數(shù)的零點，關(guān)鍵是掌握函數(shù)零點的定義，屬于基礎(chǔ)題14.若滿足約束條件，則的最小值為_【答案】6【解析】【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】由約束條件作出可行域如圖陰影所示，化目標(biāo)函數(shù)z2x+y為y2x+z，由圖可知，當(dāng)直線y2x+z過A時直線在y軸上的截距最小，z最小，聯(lián)立 得A（2,2），故z的最小值為6故答案為6【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題15.已知雙曲線的右焦點為，左頂點為.以為圓心，為半徑的圓交的右支于兩點，的一個內(nèi)角為，則的離心率為_.【答案】【解析】【分析】由題意可得PAPB，又，APQ的一個內(nèi)角為60，即有PFB為等腰三角形，PFPAa+c，運用雙曲線的定義和離心率公式，計算即可得到所求【詳解】如圖，設(shè)左焦點為F1，圓于x軸的另一個交點為B，APQ的一個內(nèi)角為60PAF30，PBF60PFAFa+c，PF13a+c，在PFF1中，由余弦定理可得3c2ac4a203e2e40，故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查直徑所對的圓周角為直角，以及等腰三角形的性質(zhì)，考查離心率公式的運用，屬于中檔題16.在平面邊形中，則的最小值為_.【答案】【解析】分析：作出圖形，以為變量，在和中，分別利用余弦定理和正弦定理將表示為關(guān)于的函數(shù)，再利用三角恒等變換和三角函數(shù)的最值進行求解詳解：設(shè)，在中，由正弦定理，得，即，即，由余弦定理，得；在中，由余弦定理，得，其中，則，即的最小值為點睛：（1）解決本題的關(guān)鍵是合理選擇為自變量，再在和中，利用正弦定理、余弦定理進行求解；（2）利用三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)求最值時，往往用到如下輔助角公式：，其中三、解答題（解答應(yīng)寫出文明說明、證明過程或演算步驟，寫在答題紙的相應(yīng)位置）17.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且依次成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，若，求的值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列中項性質(zhì)，解方程可得首項和公差，即可得到所求通項公式；（2）求得bn（），運用裂項相消求和可得Sn，解方程可得n【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列an為公差為d的等差數(shù)列，a7a210，即5d10，即d2，a1，a6，a21依次成等比數(shù)列，可得a62a1a21，即（a1+10）2a1（a1+40），解得a15，則an5+2（n1）2n+3；（2）bn（），即有前n項和為Sn（）（），由Sn，可得5n4n+10，解得n10【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的中項性質(zhì)，考查數(shù)列的裂項相消求和，以及方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題18.如圖1所示，在等腰梯形中，點為的中點.將沿折起，使點到達的位置，得到如圖2所示的四棱錐，點為棱的中點.（1）求證：；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接，交于點，連接，易知底面是平行四邊形，則為中點，又是中點，可知，則結(jié)論可證.（2）先證明是等腰直角三角形，由條件中的面面垂直可得平面，則由（1）可知平面，則為三棱錐的高，底面的面積容易求得，根據(jù)公式求三棱錐的體積.【詳解】（1）在平面圖中，因為且，所以四邊形是平行四邊形；在立體圖中，連接，交于點，連接，所以點是中點，又因為點為棱的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）在平面圖中，因為是平行四邊形，所以，因為四邊形是等腰梯形，所以，所以，因為，所以；在立體圖中，又平面平面，且平面平面，平面所以平面，由（1）知，所以平面，在等腰直角三角形中，因為，所以，所以，又，所以.【點睛】本題考查平面幾何與立體幾何的關(guān)系，線面平行的證明，面面垂直的性質(zhì)等，有一定的綜合性，屬中等題.19.已知頂點是坐標(biāo)原點的拋物線的焦點在軸正半軸上，圓心在直線上的圓與軸相切，且關(guān)于點對稱.（1）求和的標(biāo)準方程；（2）過點的直線與交于，與交于，求證：.【答案】（1）,；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）設(shè)的標(biāo)準方程為，由題意可設(shè)結(jié)合中點坐標(biāo)公式計算可得的標(biāo)準方程為半徑，則的標(biāo)準方程為 （2）設(shè)的斜率為，則其方程為，由弦長公式可得聯(lián)立直線與拋物線的方程有設(shè)，利用韋達定理結(jié)合弦長公式可得 則即 詳解：（1）設(shè)的標(biāo)準方程為，則已知在直線上，故可設(shè) 因為關(guān)于對稱，所以解得 所以的標(biāo)準方程為 因為與軸相切，故半徑，所以的標(biāo)準方程為 （2）設(shè)的斜率為，那么其方程為，則到的距離，所以由消去并整理得：設(shè)，則，那么 所以所以，即 點睛：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式20.某商店銷售某海鮮，統(tǒng)計了春節(jié)前后50天海鮮的需求量，（，單位：公斤），其頻率分布直方圖如圖所示，該海鮮每天進貨1次，商店每銷售1公斤可獲利50元；若供大于求，剩余的削價處理，每處理1公斤虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其它商店調(diào)撥，銷售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店每天該海鮮的進貨量為14公斤，商店的日利潤為元.（1）求商店日利潤關(guān)于需求量的函數(shù)表達式；（2）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替.求這50天商店銷售該海鮮日利潤的平均數(shù)；估計日利潤在區(qū)間內(nèi)的概率.【答案】(1) (2) 698.8元 0.54【解析】【分析】（1）根據(jù)不同的需求量，整理出函數(shù)解析式；（2）利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)的方法，結(jié)合利潤函數(shù)得到平均利潤；根據(jù)利潤區(qū)間，換算出需求量所在區(qū)間，從而找到對應(yīng)的概率.【詳解】（1）商店的日利潤關(guān)于需求量的函數(shù)表達式為：化簡得：（2）由頻率分布直方圖得：海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；海鮮需求量在區(qū)間的頻率是；這50天商店銷售該海鮮日利潤的平均數(shù)為：（元）由于時，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，得；，得；日利潤在區(qū)間內(nèi)的概率即求海鮮需求量在區(qū)間的頻率：【點睛】本題考查利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)的問題，關(guān)鍵在于能夠熟練掌握統(tǒng)計中用樣本估計總體的方法，平均數(shù)的估計方法為每組區(qū)間的中點值與每組區(qū)間對應(yīng)的頻率的乘積的總和.21.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)之后，通過對分子的二次函數(shù)的圖像進行討論，依次得到在不同范圍中時，導(dǎo)函數(shù)的符號，從而求得單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）中所求在不同范圍時的單調(diào)區(qū)間，得到的圖像，通過圖像找到恒成立所需條件，從而求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，令，解得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是和；當(dāng)時，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，令，解得，并且當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是當(dāng)時，令，解得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是和（2）由及（1）知，當(dāng)時，不恒成立，因此不合題意；當(dāng)時，需滿足下列三個條件：極大值：，得極小值：當(dāng)時，當(dāng)時，故所以；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，極大值：極小值：由中知，解得所以綜上所述，的取值范圍是【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題以及導(dǎo)數(shù)