12.8一般周期

第八節(jié) 一般周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 一 周期為2l的周期函數(shù)的 傅里葉級(jí)數(shù) 二 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式 第十二章 一 周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 周期為2l的函數(shù)f x 周期為2 的函數(shù)F z 變量代換 將F z 作傅氏展開 f x 的傅氏展開式 狄利克雷 Dirichlet 條件 1 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn) 2 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn) 設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f x 滿足收斂定理?xiàng)l件 則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為 在f x 的連續(xù)點(diǎn)處 其中 定理 證明 令 則 令 則 所以 且它滿足收斂定 理?xiàng)l件 將它展成傅里葉級(jí)數(shù) 在F z 的連續(xù)點(diǎn)處 變成 是以2 為周期的周期函數(shù) 其中 令 在f x 的連續(xù)點(diǎn)處 證畢 說明 其中 在f x 的連續(xù)點(diǎn)處 如果f x 為偶函數(shù) 則有 在f x 的連續(xù)點(diǎn)處 其中 注 無論哪種情況 在f x 的間斷點(diǎn)x處 傅里葉級(jí)數(shù) 都收斂于 如果f x 為奇函數(shù) 則有 解 例2 把 展開成 1 正弦級(jí)數(shù) 2 余弦級(jí)數(shù) 解 1 將f x 作奇周期延拓 則有 2 將 作偶周期延拓 則有 說明 此式對(duì) 也成立 由此還可導(dǎo)出 據(jù)此有 當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時(shí) 方法1 令 即 在 上展成傅里葉級(jí)數(shù) 周期延拓 將 在 代入展開式 上的傅里葉級(jí)數(shù) 其展開方法為 方法2 令 在 上展成正弦或余弦級(jí)數(shù) 奇或偶式周期延拓 將代入展開式 在 即 上的正弦或余弦級(jí)數(shù) 例3 將函數(shù) 展成傅里葉級(jí)數(shù) 解 令 設(shè) 將F z 延拓成周期為10的周期函數(shù) 理?xiàng)l件 由于F z 是奇函數(shù) 故 則它滿足收斂定 為正弦級(jí)數(shù) 內(nèi)容小結(jié) 1 周期為2l的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開公式 x 間斷點(diǎn) 其中 當(dāng)f x 為奇函數(shù)時(shí) 偶 余弦 2 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法 變換 延拓 3 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式 利用歐拉公式導(dǎo)出 思考與練習(xí) 1 將函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)為什么最好先畫出其圖形 答 易看出奇偶性及間斷點(diǎn) 2 計(jì)算傅里葉系數(shù)時(shí)哪些系數(shù)要單獨(dú)算 答 用系數(shù)公式計(jì)算 如分母中出現(xiàn)因子n k 作業(yè) P3191 1 3 2 2 3 從而便于計(jì)算系數(shù)和寫出 收斂域 必須單獨(dú)計(jì)算 習(xí)題課 備用題 期的傅立葉級(jí)數(shù) 并