三角函數(shù)圖像與質(zhì).doc

高三數(shù)學(xué)第二輪專題復(fù)習(xí)必備精品系列教案習(xí)題(4)三角函數(shù) 二、高考要求一 理解任意角的概念、弧度的意義、正確進行弧度與角度的換算；掌握任意角三角函數(shù)的定義、會利用單位圓中的三角函數(shù)線表示正弦、余弦、正切。二 掌握三角函數(shù)公式的運用（即同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、和差及倍角公式）三 能正確運用三角公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明。四 會用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖線、并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象、會用“五點法”畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及Y=Asin(+)的簡圖、理解A、的物理意義。五 會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinxarccosxarctanx表示角。三、熱點分析1.近幾年高考對三角變換的考查要求有所降低，而對本章的內(nèi)容的考查有逐步加強的趨勢，主要表現(xiàn)在對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查上有所加強.2.對本章內(nèi)容一般以選擇、填空題形式進行考查，且難度不大，從1993年至2002年考查的內(nèi)容看，大致可分為四類問題（1）與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題；（2）與三角函數(shù)圖象有關(guān)的問題；（3）應(yīng)用同角變換和誘導(dǎo)公式，求三角函數(shù)值及化簡和等式證明的問題；（4）與周期有關(guān)的問題3.基本的解題規(guī)律為：觀察差異（或角，或函數(shù)，或運算），尋找聯(lián)系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析綜合（由因?qū)Ч驁?zhí)果索因），實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.解題規(guī)律：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解；在最值問題和周期問題中，解題思路是合理運用基本公式將表達式轉(zhuǎn)化為由一個三角函數(shù)表達的形式求解.4.立足課本、抓好基礎(chǔ).從前面敘述可知，我們已經(jīng)看到近幾年高考已逐步拋棄了對復(fù)雜三角變換和特殊技巧的考查，而重點轉(zhuǎn)移到對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查上來，所以在復(fù)習(xí)中首先要打好基礎(chǔ).在考查利用三角公式進行恒等變形的同時，也直接考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變換，可見高考在降低對三角函數(shù)恒等變形的要求下，加強了對三角函數(shù)性質(zhì)和圖象的考查力度.四、復(fù)習(xí)建議本章內(nèi)容由于公式多，且習(xí)題變換靈活等特點，建議同學(xué)們復(fù)習(xí)本章時應(yīng)注意以下幾點：(1) 首先對現(xiàn)有公式自己推導(dǎo)一遍，通過公式推導(dǎo)了解它們的內(nèi)在聯(lián)系從而培養(yǎng)邏輯推理能力。(2) 對公式要抓住其特點進行記憶。有的公式運用一些順口溜進行記憶。(3) 三角函數(shù)是中學(xué)階段研究的一類初等函數(shù)。故對三角函數(shù)的性質(zhì)研究應(yīng)結(jié)合一般函數(shù)研究方法進行對比學(xué)習(xí)。如定義域、值域、奇偶性、周期性、圖象變換等。通過與函數(shù)這一章的對比學(xué)習(xí)，加深對函數(shù)性質(zhì)的理解。但又要注意其個性特點，如周期性，通過對三角函數(shù)周期性的復(fù)習(xí)，類比到一般函數(shù)的周期性，再結(jié)合函數(shù)特點的研究類比到抽象函數(shù)，形成解決問題的能力。(4) 由于三角函數(shù)是我們研究數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)工具，近幾年高考往往考察知識網(wǎng)絡(luò)交匯處的知識，故學(xué)習(xí)本章時應(yīng)注意本章知識與其它章節(jié)知識的聯(lián)系。如平面向量、參數(shù)方程、換元法、解三角形等。（2003年高考應(yīng)用題源于此）5.重視數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí)，如前所述本章試題都以選擇、填空題形式出現(xiàn)，因此復(fù)習(xí)中要重視選擇、填空題的一些特殊解題方法，如數(shù)形結(jié)合法、代入檢驗法、特殊值法，待定系數(shù)法、排除法等.另外對有些具體問題還需要掌握和運用一些基本結(jié)論.如：關(guān)于對稱問題，要利用ysinx的對稱軸為xk （kZ），對稱中心為（k，0），（kZ）等基本結(jié)論解決問題，同時還要注意對稱軸與函數(shù)圖象的交點的縱坐標特征.在求三角函數(shù)值的問題中，要學(xué)會用勾股數(shù)解題的方法，因為高考試題一般不能查表，給出的數(shù)都較特殊，因此主動發(fā)現(xiàn)和運用勾股數(shù)來解題能起到事半功倍的效果. 6.加強三角函數(shù)應(yīng)用意識的訓(xùn)練，1999年高考理科第20題實質(zhì)是一個三角問題，由于考生對三角函數(shù)的概念認識膚淺，不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間建立聯(lián)系，造成思維障礙，思路受阻.實際上，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，也是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，它產(chǎn)生于生產(chǎn)實踐，是客觀實際的抽象，同時又廣泛地應(yīng)用于客觀實際，故應(yīng)培養(yǎng)實踐第一的觀點.總之，三角部分的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象，三角函數(shù)的求值問題以及三角變換的方法.7.變?yōu)橹骶€、抓好訓(xùn)練.變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數(shù)名的變換，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)式表達形式的變換等比比皆是，在訓(xùn)練中，強化變意識是關(guān)鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中習(xí)題進行歸類，并進行分析比較，尋找解題規(guī)律.針對高考中題目看，還要強化變角訓(xùn)練，經(jīng)常注意收集角間關(guān)系的觀察分析方法.另外如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個三角函數(shù)關(guān)系式的訓(xùn)練也要加強，這也是高考的重點.同時應(yīng)掌握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結(jié)合的題目.8.注意對三角形中問題的復(fù)習(xí).由于教材的變動，有關(guān)三角形中的正、余弦定理.解三角形等內(nèi)容提到高中來學(xué)習(xí)，又近年加強數(shù)形結(jié)合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，從1996年和1998年的高考試題就可看出，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān).9.在復(fù)習(xí)中，應(yīng)立足基本公式，在解題時，注意在條件與結(jié)論之間建立聯(lián)系，在變形過程中不斷尋找差異，講究算理，才能立足基礎(chǔ)，發(fā)展能力，適應(yīng)高考.在本章內(nèi)容中，高考試題主要反映在以下三方面：其一是考查三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象變換，尤其是三角函數(shù)的最大值與最小值、周期。多數(shù)題型為選擇題或填空題；其次是三角函數(shù)式的恒等變形。如運用三角公式進行化簡、求值解決簡單的綜合題等。除在填空題和選擇題出現(xiàn)外，解答題的中檔題也經(jīng)常出現(xiàn)這方面內(nèi)容。另外，還要注意利用三角函數(shù)解決一些應(yīng)用問題。五、典型例題兩角和與差的三角函數(shù)【例1】 已知，求的范圍。解：設(shè)=，（A、B為待定的系數(shù)），則=比較系數(shù)=從而可得：【例2】 已知 的最值。解： -， 即 y=當(dāng)sina，1時函數(shù)y遞增，當(dāng)sina=時 ymin=；當(dāng)sina(，0)時，函數(shù)y遞減，當(dāng)sina=0時，ymin= 故當(dāng)無最大值。【例3】 已知,cos()=,sin(+)=,求sin2的值_.解：,0.+,sin()=sin2=sin()+(+)=sin()cos(+)+cos()sin(+)【例4】解： A+B+C=， 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例1】 已知函數(shù)的圖象在y軸上的截距為1，它在y軸右側(cè)的第一個最大值點和最小值點分別為（）和（）.（1）求的解析式；（2）將y=f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），然后再將所得圖象向x軸正方向平移個單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象.寫出函數(shù)y=g(x)的解析式并用列表作圖的方法畫出y=g(x)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象.解：（1）由已知，易得A=2，解得把（0，1）代入解析式，得又，解得為所求(2)壓縮后的函數(shù)解析式為再平移，得0020-20【例2】 已知函數(shù)f(x)=2asin2x2asinxcosx+a+b1，（a、b為常數(shù)，a0），它的定義域為0,，值域為3,1，試求a、b的值。解：f(x)=2asin2x2asinxcosx+a+b1=a(1cos2x)asin2x+a+b1=2asin0x 2x+ a0，恒成立，此時，下面，我們只需考慮的情形如果我們把看作是關(guān)于的余弦函數(shù)，把看作是關(guān)于的正弦函數(shù)，那么這兩個函數(shù)既不同名，自變量也不相同，為了能進行比較，我們可以作如下恒等變換，使之成為同名函數(shù)，以期利用三角函數(shù)的單調(diào)性至此為止，可以看出：由于和同屬于余弦函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，（即，），所以，只需比較與的大小即可事實上，（）=所以，利用余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得：也即綜上，點評本題好在充分地運用了正余弦函數(shù)的值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)，對于訓(xùn)練學(xué)生思維、加深對這些性質(zhì)的理解、以及學(xué)習(xí)利用函數(shù)的性質(zhì)去解決問題有很大的幫助是一道很有訓(xùn)練價值的好題8設(shè)x，求函數(shù)y=log2(1+sinx)+log2(1sinx)的最大值和最小值.解：在上，1+sinx0和1sinx0恒成立，原函數(shù)可化為y=log2(1sin2x)=log2cos2x，又cosx0在上恒成立，原函數(shù)即是y=2log2cosx,在x上，cosx1.log2log2cosxlog21，即1y0，也就是在x上，ymax=0，ymin=1.9是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+acosx+a在閉區(qū)間0，上的最大值是1？若存在，求出對應(yīng)的a值；若