五年級(jí)下冊(cè)奧數(shù)舉一反三《最大公約數(shù)》

最大公約數(shù) 幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù) 其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù) 我們可以把自然數(shù)a b的最公約數(shù)記作 a b 如果 a b 1 則a和b互質(zhì) 求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)可以用分解質(zhì)因數(shù)和短除法等方法 例題1一張長方形的紙 長7分米5厘米 寬6分米 現(xiàn)在要把它裁成一塊塊正方形 而且正方形邊長為整厘米數(shù) 有幾種裁法 如果要使裁得的正方形面積最大 可以裁多少塊 分析7分米5厘米 75厘米 6分米 60厘米 因?yàn)椴贸傻恼叫蔚倪呴L必須能同時(shí)整除75和60 所以邊長是75和60的公約數(shù) 75和60的公約數(shù)有1 3 5 15 所以有4種裁法 如果要使正方形面積最大 那么邊長也應(yīng)該最大 應(yīng)該取75和60的最大公約數(shù)15作為正方形的邊長 所以可以裁 75 15 60 15 20塊 練習(xí)一 1 把1米3分米5厘米長 1米5厘米寬的長方形紙 裁成同樣大小的正方形 至少能裁多少塊 2 一塊長45厘米 寬30厘米的長方形木板 把它鋸成若干塊正方形而無剩余 所鋸成的正方形的邊長最長是多少厘米 3 將一塊長80米 寬60米的長方形土地劃分成面積相等的小正方形 小正方形的面積最大是多少 例題2一個(gè)長方體木塊 長2 7米 寬1 8分米 高1 5分米 要把它切成大小相等的正方體木塊 不許有剩余 正方體的棱長最大是多少分米 分析2 7米 270厘米 1 8分米 18厘米 1 5分米 15厘米 要把長方體切成大小相等的正方體 不許有剩余 正方體的棱長應(yīng)該是長 寬 高的公約數(shù) 現(xiàn)要求正方體的棱長最大 所以棱長就是長 寬 高的最大公約數(shù) 270 18 15 3 3厘米 0 3分米 練習(xí)二 1 一個(gè)長方體木塊的長是4分米5厘米 寬3分米6厘米 高2分米4厘米 要把它切成大小相等的正方體木塊 不許有剩余 求所切正方體木塊的棱長最長是多少厘米 2 有50個(gè)梨 75個(gè)橘子和100個(gè)蘋果 要把這些水果平均分給幾個(gè)小組 并且每個(gè)小組分得的三種水果的個(gè)數(shù)也相同 最多可以分給幾個(gè)小組 3 五年級(jí)三個(gè)班分別有24人 36人 42人參加體育活動(dòng) 要把他們分成人數(shù)相等的小組 但各班同學(xué)不能打亂 最多每組多少人 每班各可以分幾組 例題3有三根鋼管 它們的長度分別是240厘米 200厘米和480厘米 如果把它們截成同樣長的小段 每小段最長可以是多少厘米 分析要把三根鋼管截成同樣長的小段 每小段的長度數(shù)應(yīng)該是240 200和480的公約數(shù) 而每小段要取最長 也就是求240 200和480的最大公約數(shù) 240200和480的最大公約數(shù)是40 所以每小段最長是40厘米 練習(xí)三 1 有一個(gè)長方體木塊 長60厘米 寬40厘米 高24厘米 如果要切成同樣大小的小正方體 這些正方體的棱長最長是多少厘米 2 用一張長1072毫米 寬469毫米的長方形紙 剪成面積相等的正方形 并且最后沒有剩余 這些正方形的邊長最長是多少 3 工人加工了三批零件 每加工一批零件 除了王師傅比其他工人多加工若干個(gè)外 其他工人加工的都同樣多 已知他們第一批共加工2100個(gè) 其中王師傅比每個(gè)工人多加工7個(gè) 第二批加工1800個(gè) 其中王師傅比每個(gè)工人多加工6個(gè) 第三批加工1600個(gè) 其中王師傅比每個(gè)工人多加工13個(gè) 這批工人最多有多少人 例題4一條道路由甲村經(jīng)過乙村到丙村 已知甲 乙村相距360米 乙 丙村相距675米 現(xiàn)在準(zhǔn)備在路邊裁樹 要求相鄰兩棵樹之間距離相等 并在甲 乙兩村和乙 丙兩村的中點(diǎn)都要種上樹 求相鄰兩棵樹之間的距離最多是多少米 分析由于甲乙 乙丙的兩村中點(diǎn)各要種上一棵樹 所要要將360 2 180米 675 2 337 5米平均分成若干段 并且使每段的長度最長 因?yàn)?675 360 45 而180 360 2 337 5 675 2 所以 45 2 22 5 即相鄰兩棵樹之間距離最多是22 5米 練習(xí)四 1 一條公路由A經(jīng)B到C 已知A B相距300米 B C相距215米 現(xiàn)在路邊植樹 要求相鄰兩樹間的距離相等 并在B點(diǎn)及AB BC的中點(diǎn)上都要植一棵 那么兩樹間的距離最多有多少米 2 有336支鉛筆 252塊橡皮 210個(gè)文具盒 用這些文具 最多可以分成多少份同樣的禮物 在每份禮物中 鉛筆橡皮 文具盒各有多少 3 甲數(shù)是36 甲 乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是288 最大公約數(shù)是4 乙數(shù)是多少 例題5用一張長1072毫米 寬469毫米的長方形紙 剪成面積相等的正方形 并且最后沒有剩余 這些正方形的邊長最長是多少 分析前面的例題已經(jīng)告訴了我們 解決這道題只要求出長方形長和寬的最大公約數(shù)就行了 但是這題中 長和寬的數(shù)比較大 最大公約數(shù)比較難求出 這里再介紹一種求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法 第一步 1072 469 余134 第二步 469 134 余67 第三步 134 67 沒有余數(shù) 所以用67毫米為正方形的邊長來剪 正好能剪 1072 67 469 67 112個(gè)正方形 即這些正方形的邊長