理力13(動(dòng)力學(xué)-李卓球)-動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程

1 第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 分析力學(xué)篇 13 1動(dòng)力學(xué)普遍方程 在理想約束的條件下 質(zhì)點(diǎn)系在任一瞬時(shí)所受的主動(dòng)力系和虛加的慣性力系在虛位移上所作虛功的和等于零 解析表達(dá)式 動(dòng)力學(xué)普遍方程 達(dá)朗貝爾 拉格朗日原理 由達(dá)朗貝爾原理 只受理想約束 由虛位移原理 動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 動(dòng)力學(xué)普遍方程 3 在圖所示滑輪系統(tǒng)中 動(dòng)滑輪上懸掛著質(zhì)量為m1的重物 繩子繞過定滑輪后懸掛著質(zhì)量為m2的重物 設(shè)滑輪和繩子的重量以及輪軸摩擦都不計(jì) 求物體下降的加速度 例題13 1 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 4 例題13 1 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 5 給系統(tǒng)以虛位移 s1和 s2 由動(dòng)力學(xué)普遍方程 得 m1g m2g a1 a2 解 取整個(gè)滑輪系統(tǒng)為研究對(duì)象 系統(tǒng)具有理想約束 系統(tǒng)所受的主力為重力m1g和m2g 假想加入系統(tǒng)的慣性力 例題13 1 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 6 這是一個(gè)自由度系統(tǒng) 所以 s1和 s2中只有一個(gè)獨(dú)立的 由定滑輪和動(dòng)滑輪的傳動(dòng)關(guān)系 有 消去 s2 得 代入前式 有 例題13 1 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 7 兩個(gè)半徑皆為r的均質(zhì)輪 中心用連桿相連 在傾角為 的斜面上作純滾動(dòng) 如圖所示 設(shè)輪子質(zhì)量皆為m1 對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆為J 連桿質(zhì)量為m2 求連桿運(yùn)動(dòng)的加速度 m1g m2g m1g a 例題13 2 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 8 例題13 2 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 9 研究整個(gè)剛體系 作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力有每個(gè)輪子的重力m1g和桿的重力m2g m1g m2g m1g a 解 虛加在每個(gè)輪子上的慣性力系可以簡(jiǎn)化為一個(gè)通過輪心的慣性力FI1 m1a及一個(gè)慣性力偶 其矩MI J Ja r 因連桿作平動(dòng) 加上連桿上的慣性力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力FI2 m2a 這些力的方向如圖所示 例題13 2 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 10 解得 或 給連桿以平行斜面向下移動(dòng)的虛位移 s 則輪子相應(yīng)有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)虛位移 根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程 得 m1g m2g m1g MI MI a 例題13 2 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 11 如圖所示 二相同均質(zhì)圓輪半徑皆為R 質(zhì)量皆為m 輪 可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng) 輪 繞有細(xì)繩并跨于輪 上 當(dāng)細(xì)繩直線部分為鉛垂時(shí) 求輪 中心C的加速度 O C 例題13 3 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 12 例題13 3 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 13 此系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度 取輪 輪 的轉(zhuǎn)角 1 2為廣義坐標(biāo) 研究整個(gè)系統(tǒng) 設(shè) 輪的角加速度分別為 1 1 輪心C的加速度為a 則慣性力FI ma 慣性力偶 方向如圖所示 令C點(diǎn)下移 解 根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程 例題13 3 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 14 令則 根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程 聯(lián)立式 a b c 解出 c 考慮到運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系 b 或 a 或 例題13 3 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 15 一瓦特調(diào)速器的結(jié)構(gòu)如圖所示 每一飛球質(zhì)量為m1 重錘質(zhì)量為m2 各鉸連桿的長(zhǎng)度為l T形桿寬度為2d 調(diào)速器的軸以勻角速 轉(zhuǎn)動(dòng) 求飛球張開的角度 O C d d B A 例題13 4 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 16 例題13 4 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 17 此為一個(gè)自由度質(zhì)點(diǎn)系 選角 為廣義坐標(biāo) 球簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn) 除主動(dòng)力外 圖上畫出了飛球的慣性力FIA和FIB 兩力大小相等 方向相反 由動(dòng)力學(xué)普遍方程得 a 解 例題13 4 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 18 各質(zhì)點(diǎn)的虛位移可用廣義坐標(biāo)的變分 表示 例題13 4 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 19 此式建立了調(diào)速器相對(duì)平衡位置 與轉(zhuǎn)速 的關(guān)系 可用來作為選擇調(diào)速器參數(shù)的依據(jù) 代入式 a 得 求得 例題13 4 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 20 圖為一滑車提升系統(tǒng)簡(jiǎn)圖 鼓輪上作用一主動(dòng)力矩M 鼓輪半徑為R 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J 定滑輪上懸掛重物A 質(zhì)量為m1 動(dòng)滑輪上懸掛重物為B 質(zhì)量為m2 滑輪半徑為R 不計(jì)各滑輪的質(zhì)量和摩擦 求鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度 例題13 4 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 21 例題13 4 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 22 先確定此系統(tǒng)的自由度數(shù) 要確定鼓輪 重物A和B的位置 需要三個(gè)變量 即鼓輪的轉(zhuǎn)角 和重物A B的鉛直距離s1 s2 但這三個(gè)變量之間有一個(gè)約束條件 繩的總長(zhǎng)度l不變 a 解 其中a c R為常數(shù) 如圖所示 因此 此系統(tǒng)有兩個(gè)自由度 令 和s2為廣義坐標(biāo) 因約束是完整的 廣義坐標(biāo)的獨(dú)立變分為 和 s2 b a c s2 s1 A B C m1g m2g M 對(duì)式 a 求變分得 例題13 5 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 23 b 將約束方程式 a 對(duì)時(shí)間取二階導(dǎo)數(shù) 得 c a 式中a1 a2分別表示重A B的加速度 表示鼓輪C的加速度 a c s2 s1 A B C m1g m2g M 例題13 5 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 24 作用在系統(tǒng)上的慣性力有 慣性力矩J 慣性力m1a1和m2a2 將式 b c 代入式 d 得 d 圖中表示各點(diǎn)虛位移皆沿各點(diǎn)坐標(biāo)的正方向 a c s2 s1 A B C m1g m2g M 由動(dòng)力學(xué)普遍方程得 例題13 5 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 25 由式 e f 聯(lián)立解出 因虛位移為任意微量 故有 e f 此為鼓輪的加速度 a c s2 s1 A B C m1g m2g M 例題13 5 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 26 試建立液體在U形光滑玻璃細(xì)管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)微分方程 以液面的靜平衡位置為原點(diǎn) 以沿U形管的弧坐標(biāo)s為廣義坐標(biāo)如圖示 設(shè)液柱的質(zhì)量為m 長(zhǎng)度為l 則U形管兩邊的重力差mg 2s l 形成主動(dòng)力 液體在主動(dòng)力 慣性力和約束力作用下平衡 解 取虛位移 s 利用動(dòng)力學(xué)普遍方程列出 例題13 6 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 27 由于 s為獨(dú)立變分 得 取虛位移 s 利用動(dòng)力學(xué)普遍方程列出 例題13 6 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 28 應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍方程求解復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題并不方便 由于約束的限制 各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)不獨(dú)立 解題時(shí)必須用約束方程消去多余的坐標(biāo)變分 如果先考慮約束條件 采用廣義坐標(biāo)表示動(dòng)力學(xué)普遍方程 就可得到與廣義坐標(biāo)數(shù)目相同的一組獨(dú)立的微分方程 從而使復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問題變得簡(jiǎn)單 這就是著名的拉格郎日方程 動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 拉格朗日方程 13 2拉格朗日方程 29 設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系 受s個(gè)完整雙側(cè)約束 廣義虛位移 則該質(zhì)點(diǎn)系有N個(gè)自由度 N 3n s 可由N個(gè)廣義坐標(biāo)q1 q2 qN確定其位置 質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)Mi的矢徑可表示為 固定時(shí)間t 對(duì)ri取變分 可得Mi的虛位移 廣義虛位移 動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 拉格朗日方程 30 虛功方程 廣義力 令 則 與廣義坐標(biāo)qk相對(duì)應(yīng)的廣義力 動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 拉格朗日方程 31 廣義坐標(biāo)表示的虛功方程 以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件 由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性 qk可任意取值 則必需 質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是系統(tǒng)所有的廣義力都等于零 動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 拉格朗日方程 32 勢(shì)力場(chǎng)中 各有勢(shì)力投影 在勢(shì)力場(chǎng)中 具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是系統(tǒng)勢(shì)能在平衡位置處一階變分為零 勢(shì)能函數(shù) 拉格朗日方程 以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件 33 勢(shì)力場(chǎng)中 以廣義坐標(biāo)表示勢(shì)能函數(shù) 在勢(shì)力場(chǎng)中 具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)于每個(gè)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零 拉格朗日方程 以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件 34 保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性 保守系統(tǒng)的平衡條件 保守系統(tǒng)在平衡位置處勢(shì)能取得極值 動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 拉格朗日方程 35 穩(wěn)定平衡 拉格朗日方程 保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性 36 穩(wěn)定平衡 拉格朗日方程 保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性 37 穩(wěn)定平衡 拉格朗日方程 保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性 38 不穩(wěn)定平衡 拉格朗日方程 保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性 39 不穩(wěn)定平衡 拉格朗日方程 保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性 40 隨遇平衡 拉格朗日方程 保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性 41 保守系統(tǒng)的平衡條件 保守系統(tǒng)在平衡位置處勢(shì)能取得極值 在穩(wěn)定平衡的平衡位置處 系統(tǒng)勢(shì)能具有極小值 在不穩(wěn)定平衡的平衡位置處 系統(tǒng)勢(shì)能具有極大值 單自由度系統(tǒng) 平衡條件 穩(wěn)定性判據(jù) 拉格朗日方程 保守系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性 據(jù)廣義力定義 廣義力的計(jì)算方法 其中 令 則 利用廣義虛位移任意性 對(duì)于保守系統(tǒng) 處于平衡狀態(tài) 動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 拉格朗日方程 43 兩均質(zhì)桿 均長(zhǎng)2l 均重P 用鉸鏈連接 跨過半徑為r的光滑圓柱體上 并位于同一鉛直面內(nèi) 求桿的平衡位置 解 由于兩桿等長(zhǎng)等重 平衡時(shí)他們的位置必對(duì)稱 這樣系統(tǒng)就只有一個(gè)自由度 以 為廣義坐標(biāo) C1 C2距O點(diǎn)的垂直距離 以過O點(diǎn)的水平面為零勢(shì)面 則 系統(tǒng)的平衡條件為 例題13 7 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 44 由此解出 例題13 7 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 45 圖示系統(tǒng) A重2P B重P 不計(jì)滑輪重及O E處摩擦 求平衡時(shí)C的重量W及A與水平面之間的摩擦系數(shù)f 解 系統(tǒng)具有2自由度 以sA sB為廣義坐標(biāo) 1 當(dāng)sA改變 sA而 sB 0 B不動(dòng) 此時(shí) sC sA 2 例題13 7 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 46 2 當(dāng)sB改變 sB而 sA 0 此時(shí) sC sB 2 系統(tǒng)平衡時(shí)有QA QB 0 由QB 0得W 2P 由QA 0得F W 2 P 例題13 7 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 47 第二類拉格朗日方程 拉格朗日方程 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 其中 廣義坐標(biāo) 廣義坐標(biāo)qk對(duì)應(yīng)的廣義速度 廣義坐標(biāo)qk對(duì)應(yīng)的廣義力 動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 拉格朗日方程 48 保守系統(tǒng)的拉格朗日方程 引入拉格朗日函數(shù) 保守系統(tǒng)中 主動(dòng)力都是有勢(shì)力 即 則 拉格朗日方程 第二類拉格朗日方程 49 應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟 4 建立拉氏方程并加以整理 得出k個(gè)二階常微分方程 5 求出上述一組微分方程的積分 拉格朗日方程 第二類拉格朗日方程 1 判定質(zhì)點(diǎn)系的自由度k 選取適宜的廣義坐標(biāo) 必須注意 不能遺漏獨(dú)立的坐標(biāo) 也不能有多余的 不獨(dú)立 坐標(biāo) 2 計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能T 表示為廣義速度和廣義坐標(biāo)的函數(shù) 3 計(jì)算廣義力 三種方法 50 在水平面運(yùn)動(dòng)的行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖所示 勻質(zhì)桿OA質(zhì)量是m1 可繞鉛直軸O轉(zhuǎn)動(dòng) 桿端A借鉸鏈裝有一質(zhì)量是m2 半徑是r的勻質(zhì)小齒輪 此小齒輪沿半徑是R的固定大齒輪滾動(dòng) 當(dāng)桿OA上作用著轉(zhuǎn)矩MO時(shí) 求此桿的角加速度 例題13 8 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 51 例題13 8 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 52 解 系統(tǒng)的動(dòng)能為 此機(jī)構(gòu)只有一個(gè)自由度 取桿OA的轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo) 點(diǎn)A的速度為vA R r 小齒輪在固定的大齒輪上的嚙合點(diǎn)C是其速度瞬心 故小輪的角速度 例題13 8 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 53 廣義力為 得 從而解得桿OA的角加速度 將上兩式代入拉格朗日方程 例題13 8 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 54 如圖所示的橢圓擺 由滑塊A 細(xì)桿AB和擺錘B構(gòu)成 滑塊A具有質(zhì)量m1 可沿光滑水平面自由滑動(dòng) 擺錘B可看成質(zhì)點(diǎn)且具有質(zhì)量m2 由長(zhǎng)l的無重細(xì)桿鉸接在滑快上 桿可在鉛直面內(nèi)繞A軸自由轉(zhuǎn)動(dòng) 試寫出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 例題13 9 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 55 例題13 9 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 56 解 此系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度 取滑塊A的坐標(biāo)x和桿的轉(zhuǎn)角 為廣義坐標(biāo) 系統(tǒng)的動(dòng)能為 例題13 9 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 57 求出各有關(guān)導(dǎo)數(shù) 例題13 9 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 58 求廣義力 考慮到主動(dòng)力只有重力 分別給出系統(tǒng)的虛位移 x和 則有 將以上結(jié)果代入拉格朗日方程 例題13 9 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 59 式 a 和 b 就是此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 即得 例題13 9 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 60 一不可伸長(zhǎng)的繩子跨過小滑輪D 繩的一端系于勻質(zhì)圓輪A的輪心C處 另一端繞在勻質(zhì)圓柱體B上 輪A重W1 半徑是R 圓柱B重W2 半徑是r 輪A沿傾角為 的斜面作純滾動(dòng) 繩子傾斜段與斜面平行 滑輪D和繩子的質(zhì)量不計(jì) 試求輪心C和圓柱B的中心E的加速度 例題13 10 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 61 例題13 10 例題第13章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程 62 解 系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度 我們選取x1 DC和y yE作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo) 于是系統(tǒng)的動(dòng)能為 式中 A和 B分別是圓輪A和圓柱體B的角速度 根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知 將 A和 B代入動(dòng)能表達(dá)式 并考慮