2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二單元平面向量2.4.1向量在幾何中的應(yīng)用學(xué)案北師大必修.docx

2.4.1向量在幾何中的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的幾何問題及其它一些實(shí)際問題的過程.2.體會(huì)向量是一種處理幾何問題的有力工具.3.培養(yǎng)運(yùn)算能力、分析和解決實(shí)際問題的能力.知識(shí)點(diǎn)一向量在平面幾何中的應(yīng)用設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夾角為.思考1證明線段平行、點(diǎn)共線及相似問題，可用向量的哪些知識(shí)？思考2證明垂直問題，可用向量的哪些知識(shí)？思考3用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”是怎樣的？梳理(1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：ab(b0)_.(2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：非零向量a，b，ab_.(3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式：cos _.(4)求線段的長(zhǎng)度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：|a|_.知識(shí)點(diǎn)二直線的方向向量和法向量思考若向量a(a1，a2)平行于直線l，則a1，a2與直線l的斜率k有何關(guān)系？梳理如果知道直線的斜率k，則向量(a1，a2)一定與該直線_.這時(shí)向量(a1，a2)稱為這條直線的_向量.如果表示向量的基線與一條直線垂直，則稱這個(gè)向量垂直該直線.這個(gè)向量稱為這條直線的_向量.即直線ykxb的方向向量為_，法向量為_；直線AxByC0的方向向量為_，法向量為_.類型一用平面向量解決平面幾何問題例1已知在正方形ABCD中，E、F分別是CD、AD的中點(diǎn)，BE、CF交于點(diǎn)P.求證：(1)BECF；(2)APAB.反思與感悟用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路(1)向量的線性運(yùn)算法的四個(gè)步驟選取基底；用基底表示相關(guān)向量；利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找出相應(yīng)關(guān)系；把幾何問題向量化.(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個(gè)步驟建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；把相關(guān)向量坐標(biāo)化；用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找出相應(yīng)關(guān)系；把幾何問題向量化.跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方形ABCD中，P為對(duì)角線AC上任一點(diǎn)，PEAB，PFBC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DP，EF，求證：DPEF.類型二向量在解析幾何中的應(yīng)用例2已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點(diǎn).(1)求直線DE，EF，F(xiàn)D的方程；(2)求AB邊上的高線CH所在的直線方程.反思與感悟利用向量法解決解析幾何問題，首先將線段看成向量，再把坐標(biāo)利用向量法則進(jìn)行運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練2在ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求A的平分線所在的直線方程.1.已知在ABC中，若a，b，且ab0，則ABC的形狀為()A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.不能確定2.過點(diǎn)A(2,3)，且垂直于向量a(2,1)的直線方程為()A.2xy70 B.2xy70C.x2y40 D.x2y403.在四邊形ABCD中，若0，0，則四邊形ABCD為()A.平行四邊形 B.矩形C.等腰梯形 D.菱形4.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，則的值是_.5.如圖所示，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn).過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若m，n，則mn的值為_.利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題.利用向量解決平面幾何問題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量；另一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及的向量的坐標(biāo).答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1可用向量共線的相關(guān)知識(shí)：ababx1y2x2y10(b0)思考2可用向量垂直的相關(guān)知識(shí)：abab0x1x2y1y20.思考3(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，距離，夾角等問題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系梳理(1)abx1y2x2y10(2)ab0x1x2y1y20(3)(4)知識(shí)點(diǎn)二思考設(shè)A(x1，y1)l，P(x，y)l，直線l的傾斜角為，斜率為k.向量a平行于l，由直線斜率和正切函數(shù)的定義，可得ktan .梳理平行方向法(1，k)(k，1)(B，A)(A，B)題型探究例1證明建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB2，則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(xiàn)(0,1)(1)(1,2)，(2，1)(1)(2)2(1)0，即BECF.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y1)，(2,1)，x2(y1)，即x2y2.同理，由，得y2x4.由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)| 2|，即APAB.跟蹤訓(xùn)練1證明設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AEa(0a1)，則EPAEa，PFEB1a，APa，()()1acos 1801(1a)cos 90aacos 45a(1a)cos 45aa2a(1a)0.，即DPEF.例2解(1)由已知得點(diǎn)D(1,1)，E(3，1)，F(xiàn)(2，2)，設(shè)M(x，y)是直線DE上任意一點(diǎn)，則.又(x1，y1)，(2，2)，(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20為直線DE的方程同理可求，直線EF，F(xiàn)D的方程分別為x5y80，xy0.(2)設(shè)點(diǎn)N(x，y)是CH所在直線上任意一點(diǎn)，則，0.又(x6，y2)，(4,4)，4(x6)4(y2)0，即xy40為所求直