利息習題解答第二章d

版權所有 翻版必究 第二章習題答案 1 某家庭從子女出生時開始累積大學教育費用5萬元 如果它們前十年每年底存 款1000元 后十年每年底存款1000 X 元 年利率7 計算X 解 S 1000s20p7 Xs10p7 X 50000 1000s20p7 s10p7 651 72 2 價值10 000元的新車 購買者計劃分期付款方式 每月底還250元 期限4年 月結算名利率18 計算首次付款金額 解 設首次付款為X 則有 10000 X 250a48p1 5 解得X 1489 36 3 設有n年期期末年金 其中年金金額為n 實利率i 1 n 試計算該年金的現(xiàn)值 解 PV nanpi n1 v n 1 n n 1 nn2 nn 2 n 1 n 4 已知 anp X a2np Y 試用X和Y 表示d 解 a2np anp anp 1 d n則 d 1 Y X X 1 n 5 已知 a7p 5 58238 a11p 7 88687 a18p 10 82760 計算i 解 a18p a7p a11p v7 解得i 6 0 6 證明 1 1 v10 s10p a p s10p 北京大學數(shù)學科學學院金融數(shù)學系第 1 頁 版權所有 翻版必究 證明 s10p a p s10p 1 i 10 1 i 1 i 1 i 10 1 i 1 1 v10 7 已知 半年結算名利率6 計算下面10年期末年金的現(xiàn)值 開始4年每半 年200元 然后減為每次100元 解 PV 100a8p3 100a20p3 2189 716 8 某人現(xiàn)年40歲 現(xiàn)在開始每年初在退休金帳號上存入1000元 共計25年 然 后 從65歲開始每年初領取一定的退休金 共計15年 設前25年的年利率為8 后15年的年利率7 計算每年的退休金 解 設每年退休金為X 選擇65歲年初為比較日 1000 s25p8 X a15p7 解得X 8101 65 9 已知貼現(xiàn)率為10 計算 a8p 解 d 10 則 i 1 1 d 1 1 9 a8p 1 i 1 v 8 i 5 6953 10 求證 1 anp anp 1 vn 2 snp snp 1 1 i n 并給出兩等式的實際解釋 證明 1 anp 1 vn d 1 vn i 1 i 1 vn i 1 vn 所以 anp anp 1 vn 2 snp 1 i n 1 d 1 i n 1 i 1 i 1 i n 1 i 1 i n 1 所以 anp snp 1 1 i n 北京大學數(shù)學科學學院金融數(shù)學系第 2 頁 版權所有 翻版必究 12 從1980年6月7日開始 每季度年金100元 直至1991年12月7日 季結算名利 率6 計算 1 該年金在1979年9月7日的現(xiàn)值 2 該年金在1992年6月7日的終 值 解 PV 100a49p1 5 100a2p1 5 3256 88 AV 100s49p1 5 100s2p1 5 6959 37 13 現(xiàn)有價值相等的兩種期末年金A和B 年金A在第1 10年和第21 30年中每 年1元 在第11 20年中每年2元 年金B(yǎng)在第1 10年和第21 30年中每年付款金 額為Y 在第11 20年中沒有 已知 v10 1 2 計算Y 解 因兩種年金價值相等 則有 a30pi a10pi v10 Y a30pi Y a10pi v10 所以Y 3 v10 2v30 1 v10 2v30 1 8 14 已知年金滿足 2元的2n期期末年金與3元的n期期末年金的現(xiàn)值之和為36 另 外 遞延n年的2元n 期期末年金的現(xiàn)值為6 計算i 解 由題意知 2a2npi 3anpi 36 2anpi vn 6 解得i 8 33 15 已知 a7p a11p a3p sXp aY p sZp 求X Y和Z 解 由題意得 1 v7 1 v11 1 i X v3 1 i Z vY 解得 X 4 Y 7 Z 4 16 化簡a15p 1 v15 v30 解 a15p 1 v15 v30 a45p 北京大學數(shù)學科學學院金融數(shù)學系第 3 頁 版權所有 翻版必究 17 計算下面年金在年初的現(xiàn)值 首次在下一年的4月1日 然后每半年一 次2000元 半年結算名利率9 解 年金在4月1日的價值為P 1 4 5 4 5 2000 46444 44 則 PV P 1 i 2 2 3 41300 657 18 某遞延永久年金的買價為P 實利率i 寫出遞延時間的表達式 解 設遞延時間為t 有 P 1 i vt 解得t lniP ln 1 i 19 從現(xiàn)在開始每年初存入1000元 一直進行20年 從第三十年底開始每年領取一 定的金額X 直至永遠 計算X 解 設年實利率為i 由兩年金的現(xiàn)值相等 有 1000 a20pi X i v29 解得X 1000 1 i 30 1 i 10 20 某人將遺產(chǎn)以永久年金的方式留給后代A B C 和D 前n年 A B和C三人 平分每年的年金 n年后所有年金由D一人繼承 如果四人的遺產(chǎn)份額的現(xiàn)值相 同 計算 1 i n 解 設遺產(chǎn)為 則永久年金每年的年金為i 那么A B C得到的遺產(chǎn)的現(xiàn)值 為 i 3anpi 而D得到遺產(chǎn)的現(xiàn)值為vn 由題意得 1 vn 3 vn 所以 1 i n 4 21 永久期末年金有A B C 和D四人分攤 A接受第一個n年 B接受第二 個n年 C接受第三個n 年 D接受所有剩余的 已知 C與A的份額之比為0 49 求B與D的份額之比 北京大學數(shù)學科學學院金融數(shù)學系第 4 頁 版權所有 翻版必究 解 由題意知 PVC PVA anp v2n anp 0 49 那么 PVB PVD anp vn 1 iv 3n 0 61 22 1000元年利率4 5 的貸款從第五年底開始每年還貸100元 直至還清 如果最 后一次的還款大于100元 計算最后一次還款的數(shù)量和時間 解 100anp4 5 v4 1000 解得 n 17 列價值方程 100a16p4 5 Xv21 1000 解得X 146 07 23 36年的期末年金每次4元 另有18年的期末年金每次5元 兩者現(xiàn)值相等 如果 以同樣的年利率計算貨幣的價值在n年內(nèi)將增加一倍 計算n 解 兩年金現(xiàn)值相等 則 4 a36pi 5 18 可知 v18 0 25 由題意 1 i n 2解得 n 9 24 某借款人可以選擇以下兩種還貸方式 每月底還100元 5年還清 k個月后一 次還6000元 已知月結算名利率為12 計算k 解 由題意可得方程 100a60p1 6000 1 i k 解得k 29 25 已知a2pi 1 75 求i 解 由題意得 1 v2 1 75i 解得i 9 38 26 某人得到一萬元人壽保險賠付 如果購買10年期末年金可以每年得到1538元 20年 的期末年金為每年1072元 計算年利率 解 北京大學數(shù)學科學學院金融數(shù)學系第 5 頁 版權所有 翻版必究 27 某人在銀行中存入一萬元10年定期存款 年利率4 如果前5年半內(nèi)提前支 取 銀行將扣留提款的5 作為懲罰 已知 在第4 5 6和7年底分別取出K元 且第十年底的余額為一萬元 計算K 解 由題意可得價值方程 10000 105Ka2p4 v3 Ka2p4 10000v10 則K 10000 10000v10 105a2p4 v3 a2p4 v5 979 94 28 貸款P從第六個月開始分十年逐年還清 第一次的還款額為后面還款的一半 前四年半的年利率為i 后面的利率為j 計算首次付款金額X的表達式 解 選取第一次還款日為比較日 有價值方程 P 1 i 1 2 X 2Xa4pi 2Xa5pj 1 i 4 所以 X P 1 i 1 2 1 2a4pi 2a5pj 1 i 4 29 已知半年名利率為7 計算下面年金在首次付款8年后的終值 每兩年付 款2000元 共計8次 解 30 計算下面十年年金的現(xiàn)值 前5年每季度初支付400元 然后增為600元 已知 年利率為12 缺命令 解 PV 4 400 4 600v5 11466 14 31 已知半年結算的名貼現(xiàn)率為9 計算每半年付款600元的十年期初年金的現(xiàn) 值表達式 解 32 給出下面年金的現(xiàn)值 在第7 11 15 19 23和27年底支付一個貨幣單位 解 PV 1 s4pi a24pi v3 1 i 24 1 1 i 27 1 i 4 1 a28p a4p s3p s1p 北京大學數(shù)學科學學院金融數(shù)學系第 6 頁 版權所有 翻版必究 33 750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末 年金代替 半年換算名利率4 求R的表達式 解 設年實利率為i 則 1 2 2 1 i 有題意得 750 i 750 s20pi i Ra30pi 解得R 1114 77 34 已知每三年付款一元的永久期末年金的現(xiàn)值為125 91 計算年利率 解 由題意知 1 is3pi 125 91 解得i 20 35 已知 1元永久期初年金的現(xiàn)值為20 它等價于每兩年付款R元的永久期初年 金 計算R 解 由題意得 20 1 d R a2pi i 解得R 1 95 36 已知每半年付款500元的遞延期初年金價格為10000元 試用貼現(xiàn)率表示遞延 時間 解 設貼現(xiàn)率為d 則1 i 2 2 1 1 d 1 2 設遞延時間為t 由題意得 10000 2 500vt a 2 p 解得t ln20 ln 1 1 d 1 2 ln 1 d 37 計算 3a 2 np 2a 2 2np 45s 2 1p 計算 i 解 3 i i 2 anpi 2 i i2 anpi 45 i i2 s1pi 解得 vn 1 2 i 1 30 北京大學數(shù)學科學學院金融數(shù)學系第 7 頁 版權所有 翻版必究 38 已知i 4 16 計算以下期初年金的現(xiàn)值 現(xiàn)在開始每4個月付款1元 共12年 問題 解 39 已知 t 1 1 t 求 anp 的表達式 解 anp n 0 e Rt 0 sdsdt ln 1 n 40 已知一年內(nèi)的連續(xù)年金函數(shù)為常數(shù)1 計算時刻t 使得只要在該時刻一次性支 付一個貨幣單位 則兩種年金的現(xiàn)值相等 解 第一種年金的現(xiàn)值為 1 0 vtdt 1 e 第二種年金的現(xiàn)值為e t 則 1 e e t 所以t 1 1 ln i 41 已知 0 08 計算從現(xiàn)在開始每個季度初存入100元的20年期初年金的現(xiàn) 值 結果和李凌飛的不同 解 設季度實利率為i 因 a t e t 則 e 1 4 1 i 所以 PV 100 a80pi 100 1 i 1 v 80 i 4030 53 42 現(xiàn)有金額為40 000元的基金以4 的速度連續(xù)累積 同時每年以2400元的固定 速連續(xù)地從基金中取錢 該基金可以維持多少時間 解 設年實利率為i 則 i e 1 設基金可維持t年 由兩現(xiàn)值相等得 40000 2400atpi 解得t 28 北京大學數(shù)學科學學院金融數(shù)學系第 8 頁 版權所有 翻版必究 43 已知某永久期末年金的金額為 1 3 5 另外 第6次和第7次付款的現(xiàn)值 相等 計算該永久年金的現(xiàn)值 解 由題意 11 1 i 6 13 1 i 7 i 2 11 PV v 3v2 2n 1 vn v 1 PV 2 v v2 v 1 PV 2 v 1 v 解得 PV 66 44 給出現(xiàn)值表達式Aanp B Da n 所代表的年金序列 用這種表達式給出如 下25年遞減年金的現(xiàn)值 首次100元 然后每次減少3元 解 年金序列 A nB A n 1 B A 2B A B 所求為25a25p 3 Da 25 45 某期末年金 半年一次 為 800 750 700 350 已知半年結算名利率 為16 若記 A a10p8 試用A表示這個年金的現(xiàn)值 解 考慮把此年金分割成300元的固定年金和500元的遞減 故有 300a10p8 500 Da 10 8 300A 2 10 A i 2 6250 325A 46 年利率8 的十年儲蓄 前5年每年初存入1000元 然后每年遞增5 計算第 十年底的余額 解 由題意 AV 1000s5p8 1 8 6 1000 1 05 1 085 1000 1 052 1 084 1000 1 055 1 08 1000 1 8 5 1 8 1 086 1000 1 05 1 085 1 1 05 1 08 5 1 1 05 1 08 16606 72 47 已知永久年金的方式為 第5 6年底各100元 第7 8年底各200元 第9 10年 底各300元 依此類推 證明其現(xiàn)值為 100 v4 i vd 北京大學數(shù)學科學學院金融數(shù)學系第 9 頁 版權所有 翻版必究 解 把年金分解成 從第5年開始的100元永久年金 從第7年開始的100元永久 年金 從而 PV v4 100 i 1 a2pi 1 i 100v4 1 i 1 1 v2 100 v4 i vd 48 十年期年金 每年的1月1日100元 4月1日200元 7月1日300元 10月1日400元 證明其現(xiàn)值為 1600 a10p I 4 a 4 1 元 證 首先把一年四次的付款折到年初 m 4 n 1 R 100m2 1600 從而每年初當年的年金現(xiàn)值 1600 I 4 a 4 1 元 再貼現(xiàn)到開始時 1600 a10p I 4 a 4 1 元 49 從現(xiàn)在開始的永久年金 首次一元 然后每半年一次 每次增加3 年利 率8 計算現(xiàn)值 解 半年的實利率 j 1 8 1 2 1 3 923 PV 1 1 03 1 j 1 032 1 j 2 1 1 03 1 j 1 112 59 50 某人為其子女提供如下的大學費用 每年的前9個月每月初500元 共計4年 證明當前的準備金為 6000 a4p a 12 9 12 證 首先把9個月的支付貼現(xiàn)到年初 m 12 n 9 12 R 500m 6000 從而 每年初當年的年金現(xiàn)值 6000 a 12 9 12 貼現(xiàn)到當前 6000 a4p a 12 9 12 北京大學數(shù)學科學學院金融數(shù)學系第 10 頁 版權所有 翻版必究 51 現(xiàn)有如下的永久年金 第一個k 年每年底還 第二個k 年每年底還2R 第三 個k 年每年底還3R 依此類推 給出現(xiàn)值表達式 解 把此年金看成從第nk年開始的每年為R的永久年金 n 0 1 2 每個年金的值為 Ra p 在分散在每個k年的區(qū)段里 Ra ak 再按標準永久年金求現(xiàn)值 R a 2 ak 52 X表示首次付款從第二年底開始的標準永久年金的現(xiàn)值 20X表示首次付款 從第三年底開始的永久年金 1 2 3 的現(xiàn)值 計算貼現(xiàn)率 解 由題意 X 1 i 1 1 i 20X 1 i 1 i2 1 1 i 2 解得 i 0 05 即 d i 1 i 0 04762 53 四年一次的永久年金 首次1元 每次增加5元 v4 0 75 計算現(xiàn)值 與原答 案有出入 解 期初年金 PV 1 6v4 11v9 i 1 5n 4 v 4n 4 5 1 v4 2 4 1 v4 64 期末年金 PV v 6v5 11v10 v PV 59 5587 54 永久連續(xù)年金的年金函數(shù)為 1 k t 年利率i 如果 0 k i 計算該年 金現(xiàn)值 與原答案有出入 解 由于0 k q i不存在 p q 2 令f i p i q i q i2 f 0 i p i2 q i2 2 q i3 0 解得 i 2q p q p q 58 某零件的使用壽命為9年 單位售價為2元 另一種產(chǎn)品 使用壽命15年 單 價增加X 如果某人需要35年的使用期 假定在此期間兩種產(chǎn)品的價格均以年 增4 的幅度增加 要使兩種產(chǎn)品無差異的X為多少 缺少利率 下面的計算年利 率i 5 與原答案有出入 解 用9年一周期的產(chǎn)品 則有支付的現(xiàn)值為 PV1 2 1 1 04 1 05 9 1 04 1 05 18 1 04 1 05 27 用15年一周期的產(chǎn)品 則有支付的現(xiàn)值為 PV2 2 X 1 1 04 1 05 15 1 04 1 05 30 由PV1 PV2有 X 0 6992 59 計算m n年的標準期末年金的終值 已知 前m年年利率7 后n年年利 率11 smp7 34 snp11 128 解 由snp 的表達式有 1 0 11 n 0 11snp11 1 AV smp7 1 0 11 n snp11 smp7 0 11snp11 1 snp11 640 72 北京大學數(shù)學科學學院金融數(shù)學系第 13 頁 版權所有 翻版必究 60 甲持有A股票100股 乙持有B股票100股 兩種股票都是每股10元 A股票每 年底每股分得紅利0 40元 共計10年 在第10次分紅后 甲以每股2元的價格將所 有的股票出售 假設甲以年利率6 將紅利收入和股票出售的收入進行投資 B股 票在前10年沒有紅利收入 從第11年底開始每年每股分得紅利0 80元 如果乙也 是以年利率6 進行投資 并且在n年后出售其股票 為了使甲乙在乙的股票出售 時刻的累積收入相同 分別對n 15 20兩種情況計算乙的股票出售價格 解 設X為買價 有價值方程 0 4s10p6 2 0 8sn 10 6 X 1 0 06 n 10 從而有 X 0 4s10p6 2 0 8sn 10 6 1 0 06 n 10 解得 X 5 22n 15 2 48n 20 61 某獎學金從1990年元旦開始以十萬元啟動 每年的6月30日和12月31日用半 年結算名利率8 結算利息 另外 從1991年元旦開始每年初可以固定地收到捐 款5000元 從1991年的7月開始 每年的7月1日要提供總額為一萬二千元的獎 金 計算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余額 解 由題意 AV 100000 1 4 20 5000s20p4 s2p4 12000 1 4 s20p4 s2p4 109926 021 62 已知貸款L經(jīng)過N 偶數(shù) 次 每次K元還清 利率i 如果將還貸款次數(shù)減少 一半 記每次的還款為K1 試比較K1與2K 的大小 解 由題意 K1ampi Ka2mpi K1 K 1 1 1 i m v N 2 即 M n 證明 L anp 在 1 i 1上有唯一解 北京大學數(shù)學科學學院金融數(shù)學系第 15 頁 版權所有 翻版必究 證 斯圖姆判別 考慮如下現(xiàn)金流 初始時刻投入L 而后的n年每年末得到回 報1 從而此投資的內(nèi)部收益率i滿足 L anpi 由于現(xiàn)金流只改變一次方向 從而由笛卡兒符號法則有 在 1 i 0 n 0時 有 Ia npi n 1 2 anpi Da npi 證 由69題有 Ia npi Da npi 2 n 1 anpi 2從而 只要證 Ia npi Da npi 注意到 Da npi Ia npi n 1 n 3 n 3 n 1 這年金 前后對稱 而后面的貼現(xiàn)因子比較大 從而有 成立 71 某雇員在退休前的第37年參加企業(yè)養(yǎng)老金計劃 當時年收入為18 000元 然后 每年以4 的速度增加 假定提薪恰好在每年的年中進行 1 分別對以下兩種退 休金方式計算年退休金占退休前一年年薪的比例 如果年退休金為工作期間年 平均工資的70 年退休金為年平均工資的2 5 再乘以工作年限 2 如果企業(yè)和個人分別將年工資的3 存入年利率6 的養(yǎng)老基金 試對以上兩種 退休金方式計算退休金的領取年限 北京大學數(shù)學科學學院金融數(shù)學系第 16 頁 版權所有 翻版必究 解 1 平均工資 18000 1 1 04 1 0436 37 39747 04 退休前一年的工資 18000 1 0 04 36 73870 79 法一 年退休金 0 7 27822 93 比例為 37 66 法二 年退休金 0 25 37 36766 01 比例為 49 77 2 企業(yè)和個人各存3 則一共存6 從而這筆基金的終值為 P 18000 6 36 t 0 1 4 t 1 6 36 t 235871 7 設年退休金為R 則有 R anp6 P 解得 n 12第一種方式 8第二種方式 72 已知永久期初年金為 首次1元 第二年初1 2元 第三年初1 2 3元 依此 類推 第n年初1 2 n元 證明該年金的現(xiàn)值為 a p I a p 解 進行現(xiàn)金流拆分 從第一年出發(fā)的一份標準永久年金 從第二年出發(fā)的兩 份標準永久年金 從第n年出發(fā)的n份標準永久年金 分別求各個子 現(xiàn)金流的現(xiàn)值得到如下的現(xiàn)金流 a p 2 a p n a p 其現(xiàn)值即為原年金的現(xiàn)值 a p I a p 73 已知連續(xù)年金函數(shù)為f t 0時刻的年金為F0 利息力 如果用Ft表示時刻t的 年金終值 證明 dFt dt Ft f t 證 由定義 Ft t 0 f s e t s ds et t 0 f s e s ds dFt dt e t t 0 f s e sds f t Ft f t 74 A從B處借得10 000元 年利率4 計劃分40次按季度等額償還 在第6年 底 B希望立即收回所有借款 因此將今后接受還款的權利轉賣給C 轉賣價格 使C今后幾年的年收益率將達到6 計算轉賣價格 北京大學數(shù)學科學學院金融數(shù)學系第 17 頁 版權所有 翻版必究 解 A從B借款 季度實利率為i 1 0 04 1 4 1 10000 Ra40pi B把后16次的還款賣給C 季度實利率為 i 0 1 0 06 1 4 1 P Ra40 i0 10000 a40 i0 a40pi 解得