河北省清河縣高三數(shù)學(xué)《排列與組合》課件

第二節(jié)排列與組合 1 理解排列 組合的概念 2 能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式 組合數(shù)公式 3 能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 1 排列 1 排列 叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列 從n個(gè)不同元素中 任取m個(gè)元素 m n 被 取出的元素互不相同 按照一定的順序排成一列 2 排列數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素 m n 的所有排列的個(gè)數(shù) 叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù) 用符號(hào)Anm表示Anm n n 1 n 2 n m 1 2 組合 1 組合 從n個(gè)不同元素中 任取m m n 個(gè)元素并成一組 叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合 2 組合數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m m n 個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù) 叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù) 用符號(hào)表示 Cnm 組合數(shù)公式為 1 Cnn m Cn 1m 1 從4臺(tái)甲型與5臺(tái)乙型電視機(jī)中任選出3臺(tái) 其中至少有甲 乙型電視機(jī)各一臺(tái) 則不同的取法共有 A 140種B 84種C 70種D 35種解析 從4臺(tái)甲型機(jī)中選2臺(tái) 5臺(tái)乙型機(jī)中選1臺(tái)或從4臺(tái)甲型機(jī)中選1臺(tái) 5臺(tái)乙型機(jī)中選2臺(tái) 有C42C51 C41C52 70種選法 答案 C 2 2008年9月25日晚上4點(diǎn)30分 神舟七號(hào) 載人飛船發(fā)射升空 某校全體師生集體觀看了電視實(shí)況轉(zhuǎn)播 觀看后組織全體學(xué)生進(jìn)行關(guān)于 神舟七號(hào) 的論文評(píng)選 若三年級(jí)文科共4個(gè)班 每班評(píng)出2篇優(yōu)秀論文 其中男女生各1篇 依次排成一列進(jìn)行展覽 若規(guī)定男女生所寫(xiě)論文分別放在一起 則不同的展覽順序有 A 576種B 1152種C 720種D 1440種 解析 女生論文有A44種展覽順序 男生論文也有A44種展覽順序 男生與女生論文可以交換順序 有A22種方法 故總的展覽順序有A44A44A22 1152種 答案 B 3 高三 一 班需要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂(lè)節(jié)目 2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序 要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排 則不同排法的種數(shù)是 A 1800B 3600C 4320D 5040解析 A55A62 120 30 3600 答案 B 4 將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官 每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名 則不同的分配方案有 種 用數(shù)字作答 解析 依題意得滿足題意的分配方案共有C31 C42 A22 36種 注 其中C31表示從3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中任選定1個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn) 且讓其中某2名大學(xué)生去的方法數(shù) C42表示從4名大學(xué)生中任選2名到前一步所選定的鄉(xiāng)鎮(zhèn)去的方法數(shù) A22表示將剩下的2名大學(xué)生分配到另兩個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去的方法數(shù) 答案 36 5 參加海地地震救援的中國(guó)救援隊(duì)一小組共有8人 其中男同志5人 女同志3人 現(xiàn)從這8人中選出3人參加災(zāi)后防疫工作 要求在選出的3人中男 女同志都有 則不同的選法共有 種 用數(shù)字作答 解析 從3名女同志和5名男同志中選出3人 分別參加災(zāi)后防疫工作 若這3人中男 女同志都有 則從全部方案中減去只選派女同志的方案數(shù) 再減去只選派男同志的方案數(shù) 合理的選派方案共有C83 C33 C53 45 答案 45 例1 1 解不等式 A9x 6A6x 2 原不等式的解集為 2 3 4 5 6 7 8 2 原方程可化為x2 x 5x 5或x2 x 16 5x 5 即x2 6x 5 0或x2 4x 21 0 解得x 1 x 5或x 7 x 3 經(jīng)檢驗(yàn)x 5和x 7不合題意 故原方程的根為1 3 思維拓展 排列數(shù) 組合數(shù)公式中的上標(biāo)是自然數(shù) 下標(biāo)是正整數(shù) 且上標(biāo)不大于下標(biāo) 解題時(shí)要注意這些約束條件 熱點(diǎn)之二排列應(yīng)用題求排列應(yīng)用題的主要方法有 1 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算 2 特殊元素 或位置 優(yōu)先安排的方法 即先排特殊元素或特殊位置 3 排列 組合混合問(wèn)題先選后排的方法 4 相鄰問(wèn)題捆綁處理的方法 即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列 同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列 5 不相鄰問(wèn)題插空處理的方法 即先考慮不受限制的元素的排列 再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中 6 分排問(wèn)題直排處理的方法 7 小集團(tuán) 排列問(wèn)題中先集體后局部的處理方法 8 定序問(wèn)題除法處理的方法 即可以先不考慮順序限制 排列后再除以定序元素的全排列 9 正難則反 等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法 例2 7名師生站成一排照相留念 其中老師1人 男生4人 女生2人 在下列情況下各有多少種不同站法 1 2名女生必須相鄰而站 2 4名男生互不相鄰 3 若4名男生身高各不相等 按從高到低的一種順序站 4 老師不站中間 女生不站兩端 課堂記錄 1 2名女生站在一起有站法A22種 將2名女生視為一個(gè)元素與其他5人全排列 有A66種排法 所以共有不同站法A22A66 1440 種 2 老師和女生先站 有站法A33種 再在老師和女生站位的間隔 含兩端 處插入男生 每空1人有插入方法A44種 所以共有不同站法A33 A44 144 種 思維拓展 1 相鄰問(wèn)題 捆綁法 2 不相鄰問(wèn)題 插空法 3 定序問(wèn)題 相除法 4 特殊位置 特殊元素 優(yōu)先法 即時(shí)訓(xùn)練 1 12名同學(xué)合影 站成前排4人后排8人 現(xiàn)攝影師從后排8人中抽2人調(diào)整到前排 若其他人的相對(duì)順序不變 則不同調(diào)整方法總數(shù)是 A C82A32B C82A66C C82A62D C82A52 2 在數(shù)字7 8 9與符號(hào) 五個(gè)元素的所有全排列中 任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是 A 6B 12C 18D 24 解析 1 從后排8人中選2人有C82種 這2人插入前排4人中且前排人的順序不變 則先從4人中的5個(gè)空位插一人有5種 余下的一人則要插入前排5人的空檔有6種 故為A62 所求總數(shù)為C82A62 2 在數(shù)字7 8 9與符號(hào) 五個(gè)元素的所有全排列中 先排 兩個(gè)符號(hào) 有A22 2種方法 這兩個(gè)符號(hào)排好后就產(chǎn)生三個(gè)空位 再將7 8 9插入這三個(gè)空位中 有A33 6 種 排法 共有A33 A22 12 種 方法 答案 1 C 2 B 熱點(diǎn)之三組合應(yīng)用題組合問(wèn)題常有以下兩類題型 1 含有 或 不含有 某些元素的組合題型 含 則先將這些元素取出 再由另外元素補(bǔ)足 不含 則先將這些元素剔除 再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取 2 至少 或 最多 含有幾個(gè)元素的題型 解這類題必須十分重視 至少 與 最多 這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義 謹(jǐn)防重復(fù)與漏解 用直接法和間接法都可以求解 通常用直接法分類復(fù)雜時(shí) 考慮逆向思維 用間接法處理 例3 在7名男生5名女生中選取5人 分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種 1 A B必須當(dāng)選 2 A B必不當(dāng)選 3 A B不全當(dāng)選 4 至少有2名女生當(dāng)選 5 選取3名男生和2名女生分別擔(dān)任班長(zhǎng) 體育委員等5種不同的工作 但體育委員必須由男生擔(dān)任 班長(zhǎng)必須由女生擔(dān)任 課堂記錄 1 由于A B必須當(dāng)選 那么從剩下的10人中選取3人即可 有C103 120種 2 從除去的A B兩人的10人中選5人即可 有C105 252種 3 全部選法有C125種 A B全當(dāng)選有C103種 故A B不全當(dāng)選有C125 C103 672種 4 注意到 至少有2名女生 的反面是只有一名女生或沒(méi)有女生 故可用間接法進(jìn)行 有C125 C51 C74 C75 596種選法 5 分三步進(jìn)行 第一步 選1男1女分別擔(dān)任兩個(gè)職務(wù)為C71 C51 第二步 選2男1女補(bǔ)足5人有C62 C41種 第三步 為這3人安排工作有A33 由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有C71 C51 C62 C41 A33 12600種選法 思維拓展 在解組合問(wèn)題時(shí) 常遇到至多 至少問(wèn)題 此時(shí)可考慮用間接法求解以減少運(yùn)算量 如果同一個(gè)問(wèn)題涉及排列組合問(wèn)題應(yīng)注意先選后排的原則 即時(shí)訓(xùn)練從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長(zhǎng)助理 則甲 乙至少有1人入選 而丙沒(méi)有入選的不同選法的種數(shù)為 A 85B 56C 49D 28解析 由條件可分為兩類 一類是甲 乙兩人只有一人入選 選法有C21 C72 42 另一類是甲 乙都入選 選法有C22 C71 7 所以共有42 7 49 種 選法 故選C 答案 C 熱點(diǎn)之四排列 組合的綜合應(yīng)用解排列 組合的綜合應(yīng)用問(wèn)題 要按照 先選后排 的原則進(jìn)行 即一般是先將符合要求的元素取出 組合 再對(duì)取出的元素進(jìn)行排列 常用的分析方法有 元素分析法 位置分析法 圖形分析法 要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題探索分類分步的技巧 做到層次清楚 條理分明 例4 7名志愿者中安排6人在周六 周日兩天參加社區(qū)公益活動(dòng) 若每天安排3人 則不同的安排方法共有 種 用數(shù)字作答 法二 先從7人中選取3人排在周六 共有C73種排法 再?gòu)氖Ｓ?人中選取3人排在周日 共有C43種排法 共有C73 C43 140種 故填140種 思維拓展 在本例解法一中利用平均分組 而分組后再排列最容易出現(xiàn)重復(fù) 因此應(yīng)用平均分組法時(shí)一定要將重復(fù)的情況去掉 解法二中利用了組合知識(shí) 更簡(jiǎn)單 注意題意的理解與方法選擇 即時(shí)訓(xùn)練將數(shù)字1 2 3 4 5 6拼寫(xiě)一列 記第i個(gè)數(shù)為ai i 1 2 6 若a1 1 a3 3 a5 5 a1 a3 a5 則不同的排列方法有 種 用數(shù)字作答 解析 分兩步 因a1 1 a3 3 a5 5 a1 a3 a5 故先排a1 a3 a5共有5種 再排a2 a4 a6共有A33種 故不同的排列方法種數(shù)為5 A33 30 答案 30 排列與組合問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)內(nèi)容之一 從近三年的高考試題統(tǒng)計(jì)分析來(lái)看 對(duì)排列與組合知識(shí)的考查均以應(yīng)用題的形式出現(xiàn) 題型為選擇題 填空題 題量多是一道 分值為4 5分 難度屬于中檔題 內(nèi)容以考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí) 基本能力為主 題目難度與課本習(xí)題難度相當(dāng) 但也有個(gè)別題目難度較大 重點(diǎn)考查分析問(wèn)題 解決問(wèn)題的能力及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法 例5 1 2010 山東高考 某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成 演出順序有如下要求 節(jié)目甲必須排在前兩位 節(jié)目乙不能排在第一位 節(jié)目丙必須排在最后一位 該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有 A 36種B 42種C 48種D 54種 2 2010 北京高考 8名學(xué)生和2位老師站成一排合影 2位老師不相鄰的排法種數(shù)為 A A88A92B A88C92C A88A72D A88C72 解析 1 若乙排在第二位 則有A33種方案 若乙不排在第二位 則乙只能排在第三 四 五位 此時(shí)共有A31A21A33種方案 故共有A33 A31A21A33 42 種 2 運(yùn)用插空法 8名學(xué)生間共有9個(gè)空隙 加上邊上空隙 先把老師排在9個(gè)空隙中 有A92種排法 再把8名學(xué)生排列 有A88種排法 共有A88 A92種排法 答案 1 B 2 A 1 2010 湖南高考 在某種信息傳輸過(guò)程中 用4個(gè)數(shù)字的一排列 數(shù)字允許重復(fù) 表示一個(gè)信息 不同排列表示不同信息 若所用數(shù)字只有0和1 則與信息0110至多有