山西省太原市2019屆高三數(shù)學(xué)模擬試題（一）文（含解析）.docx

太原市2019年高三年級模擬試題（一）數(shù)學(xué)試卷（文史類）一、選擇題：（本大題共12個小題，每小題5分，共60分）1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】先求集合A,再求交集即可【詳解】,則故選：A【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，絕對值不等式的解法，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題2.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡求解即可【詳解】故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題3.下列命題中的真命題是（ ）A. 若，則向量與的夾角為鈍角B. 若，則C. 若命題“是真命題”，則命題“是真命題”D. 命題“，”的否定是“，”【答案】D【解析】【分析】對于選項(xiàng)A：當(dāng)時，向量與的夾角為鈍角或夾角，可以判斷是否為真命題；對于選項(xiàng)B:要注意成立時，這個特殊情況， 對此可以判斷是否為真命題；對于選項(xiàng)C: 命題“是真命題”中至少有一個為真命題，不能確定是真命題；對于選項(xiàng)D：含有特稱量詞命題的否定要求改為全稱量詞，同時否定結(jié)論，對此可以判斷是否為真命題。【詳解】選項(xiàng)A：是鈍角或平角，所以選項(xiàng)A是假命題；選項(xiàng)B: 或者，所以選項(xiàng)B是假命題；選項(xiàng)C: 命題“是真命題”中至少有一個為真命題，只有當(dāng)都是真命題時，才是真命題，所以選項(xiàng)C是假命題；選項(xiàng)D;根據(jù)含有特稱量詞命題的否定要求改為全稱量詞，同時否定結(jié)論，這一原則，“，”的否定是“，”是真命題，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，則 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡，由結(jié)合得，即可求解【詳解】=又,解又，,故故所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，熟記公式是關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題5.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（ ）A. 1B. 0C. D. -1【答案】A【解析】【分析】先求導(dǎo)，再求切線斜率，利用點(diǎn)斜式寫出方程，即可求解【詳解】切線方程為,故0=0-1+a,解a=1故選：A【點(diǎn)睛】本題考查切線方程，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題6.已知等比數(shù)列滿足，則（ ）A. 7B. -5C. 5D. -7【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列求得q,再計(jì)算即可【詳解】由題，解得或，故或當(dāng)，時+當(dāng)，時+，故故選：D【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算及性質(zhì)，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題7.下圖是某幾何體的三視圖，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為（ ）A. 12B. 15C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三視圖可以判定出這是一個底面為四邊形的四棱錐，其高為5，求出底面積，用棱錐的體積公式求出體積?！驹斀狻坑扇晥D可以判定出這是一個底面為四邊形的四棱錐，其高為5.底面四邊形可以分割成二個三角形，面積，體積，故本題選D?！军c(diǎn)睛】本題考查了通過三視圖識別幾何體的形狀求其體積。8.在平面區(qū)域，內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】畫出可行域，由滿足不等式得到點(diǎn)P滿足的區(qū)域，再求面積求概率即可【詳解】由題不等式組表示的區(qū)域如圖陰影所示：則滿足不等式的P的軌跡為陰影部分除去扇形C-AB的部分，.故扇形面積為聯(lián)立得D(),故三角形OCD面積為則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式的概率為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型及線性規(guī)劃，扇形的面積，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足 ，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由n得，構(gòu)造等比數(shù)列得,進(jìn)而求得通項(xiàng)，即可求解【詳解】當(dāng)n得,故為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，又，故所以故故選：B【點(diǎn)睛】本題考查遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查計(jì)算推理能力，是基礎(chǔ)題10.已知雙曲線 的左右焦點(diǎn)分別為，直線過點(diǎn)與雙曲線在第二象限相交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由，求的值，結(jié)合定義求得a則離心率可求【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)，故,則c=5,因?yàn)?，?=又=2a故a=故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的計(jì)算，定義的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)=，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，等價為，利用單調(diào)性解不等式即可【詳解】令= 在上單調(diào)遞減，且故等價為即,故,解x故解集為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)的思想，考查分析推理能力，是中檔題12.將函數(shù)的圖象向右平移 個單位后得到函數(shù)的圖象，若方程的根，滿足，則的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求確定滿足的，的表達(dá)式，即可求，則可求【詳解】由題,則，不妨設(shè)，則則，又，則，解 ；同理當(dāng)亦成立故選：C二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.拋物線的準(zhǔn)線方程為_.【答案】【解析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y，得拋物線是焦點(diǎn)在y軸正半軸的拋物線，2P=1，其準(zhǔn)線方程是y=，。故答案為：。14.已知單位向量與的夾角為，則_.【答案】【解析】解：因?yàn)閱挝幌蛄?的夾角為，故，故 15.已知函數(shù)若方程有兩個不相等的實(shí)根，則的最大值為_.【答案】【解析】【分析】畫出的圖像，求出，表示為m的函數(shù)即可求解【詳解】的圖像如圖所示：設(shè)1,則當(dāng)單增，單減，故，即的最大值為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，考查分析轉(zhuǎn)化能力，考查運(yùn)算能力，是中檔題16.如圖，正方體的棱長為4，點(diǎn)在棱上，且，是面內(nèi)的正方形，且，是面內(nèi)的動點(diǎn)，且到平面的距離等于線段的長，則線段長度的最小值為_.【答案】【解析】【分析】過作,連接,則 ,當(dāng)最小時，最小，利用空間直角坐標(biāo)系，求出的表達(dá)式，求出最小值，最后求出長度的最小值。【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：過作,連接,則 ,當(dāng)最小時，最小。因?yàn)榈狡矫娴木嚯x等于線段的長，所以時，有最小值6，所以的最小值為22，.【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系的應(yīng)用問題。三、解答題：（本大題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.如圖，已知的內(nèi)角，的對邊分別是，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，.（1）求；（2）求的面積.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）通過正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，再應(yīng)用余弦定理，可求出。（2）根據(jù)已知條件可以確定，并求出它們表達(dá)式，在中，運(yùn)用外角與內(nèi)角的關(guān)系、正弦定理，可求出，的大小，最后求出面積?！驹斀狻拷猓?），由得，由余弦定理得，:（2）連接，如下圖：是的中點(diǎn)，在中，由正弦定理得， ，【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理、三角形面積公式。18.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，分別是，的中點(diǎn)，是等邊三角形，面面，.（1）證明：面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，證明是平行四邊形即可證明；（2）利用（1）面，轉(zhuǎn)化 求解即可【詳解】（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，是的中點(diǎn)，是平行四邊形，是的中點(diǎn)，是平行四邊形，不含于面面面；（2）過點(diǎn)作，為垂足，連接，面面，面，是等邊三角形，由（1）得面， 【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定及棱錐體積，熟記判定定理，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，注意等體積的轉(zhuǎn)化，是基礎(chǔ)題19.近年來隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展，舊貨交易市場也得以快速發(fā)展.某網(wǎng)絡(luò)舊貨交易平臺對2018年某種機(jī)械設(shè)備的線上交易進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，和如圖所示的散點(diǎn)圖.現(xiàn)把直方圖中各組的頻率視為概率，用（單位：年）表示該設(shè)備的使用時間，（單位：萬元）表示其相應(yīng)的平均交易價格.（1）已知2018年在此網(wǎng)絡(luò)舊貨交易平臺成交該種機(jī)械設(shè)備為100臺，現(xiàn)從這100臺設(shè)備中，按分層抽樣抽取使用時間的4臺設(shè)備，再從這4臺設(shè)備中隨機(jī)抽取2臺，求這2臺設(shè)備的使用時間都在的概率.（2）由散點(diǎn)圖分析后，可用作為此網(wǎng)絡(luò)舊貨交易平臺上該種機(jī)械設(shè)備的平均交易價格關(guān)于其使用時間的回歸方程.表中，（i）根據(jù)上述相關(guān)數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；（ii）根據(jù)上述回歸方程，求當(dāng)使用時間時，該種機(jī)械設(shè)備的平均交易價格的預(yù)報值（精確到0.01）.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1）；（2）（ii）【解析】【分析】（1）由分層抽樣確定的設(shè)備有3臺，分別記為，；使用時的設(shè)備有1臺，記為，由古典概型列舉求解即可（2）（i）由題意得，由公式求解即可求解（ii）將x=15代入方程求解即可【詳解】（1）由圖1中頻率分布直方圖可知，從2018年成交的該種機(jī)械設(shè)備中使用時間的臺數(shù)為，使用時間的臺數(shù)為， 按分層抽樣所抽取4臺中，使用時間的設(shè)備有3臺，分別記為，；使用時的設(shè)備有1臺，記為，從這4臺設(shè)備中隨機(jī)抽取2臺的結(jié)果為，共有6種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中這2臺設(shè)備的使用時間都在結(jié)果為，共有3種，：所求事件的概率為；（2）（i）由題意得， ，關(guān)于的線性回歸方程為關(guān)于的回歸方程為，（ii）由（i）當(dāng)使用時間時，該種機(jī)械設(shè)備的平均交易價格的預(yù)報值為萬元.，【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線方程及應(yīng)用，古典概型，分層抽樣，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題20.已知橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別是，其離心率為，點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，且面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）若斜率不為0的直線與橢圓相交于，兩個不同點(diǎn)，且是平行四邊形，證明：四邊形的面積為定值.【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）由題列a,b,c的方程組求解即可（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，由是平行四邊形得，向量坐標(biāo)化得，代入橢圓化簡整理得，再利用弦長公式及點(diǎn)到線距離代入求解即可【詳解】（1）由題意得 橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，由，得，是平行四邊形， ，此時， ，點(diǎn)到直線的距離為，.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理的應(yīng)用，點(diǎn)在曲線上應(yīng)用，突破點(diǎn)在于求出P坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，是中檔題21.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，時，若對于任意，都存在，使得，證明：.【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）討論和的正負(fù)確定其單調(diào)性即可；（2）由，整理得，進(jìn)而得 ，令，求導(dǎo)證明，再構(gòu)造函數(shù)，證明其單調(diào)增，即可證明結(jié)論【詳解】（1）由題意得，當(dāng)時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令則；令則，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； （2）證明：當(dāng)時， 令，則，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性，分類討論思想，整體代入及換元的方法，考查計(jì)算推理能力，是中檔題22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，以原點(diǎn)0為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若曲線方程中的參數(shù)是，且與有且只有一個公共點(diǎn)，求的普通方程；（2）已知點(diǎn)，若曲線方程中的參數(shù)是，且與相交于，兩個不同點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1) 或(2) 【解析】【分析】（1）利用公式直接把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用圓與圓相切，可以得到等式，求出的值；（2）把曲線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得到一個一元二次方程，設(shè)與點(diǎn)，相對應(yīng)的參數(shù)分別是，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，求出的表達(dá)式，求出最大值?！驹斀狻拷猓海?），曲線的直角坐標(biāo)方程為，是曲線的參數(shù)，的普通方程為，與有且只有一個公共點(diǎn)，或，的普通方程為或（2）是曲線的參數(shù)，是過點(diǎn)的一條直線，設(shè)與點(diǎn)，相對應(yīng)的參數(shù)分別是，把，代入得， ，當(dāng)時，取最大值.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程化為變通方程、極坐標(biāo)方程化為直角