2019-2020學(xué)年重慶八中高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2019-2020學(xué)年重慶八中高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知全集,集合,則( )ABCD【答案】C【解析】由集合,根據(jù)補(bǔ)集和并集定義即可求解.【詳解】因?yàn)?即集合由補(bǔ)集的運(yùn)算可知根據(jù)并集定義可得故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)集和并集的簡(jiǎn)單運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又單調(diào)遞減的是( )ABCD【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)解析式,即可判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.【詳解】對(duì)于A,為偶函數(shù),所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B,為奇函數(shù),且在R上為單調(diào)遞增函數(shù),所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C,是奇函數(shù),在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性,所以C錯(cuò)誤;對(duì)于D,為奇函數(shù),在R上為單調(diào)遞減函數(shù),所以D正確.綜上可知,D為正確選項(xiàng).故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的解析式,判斷函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.3已知,則( )ABCD【答案】C【解析】根據(jù)正切函數(shù)的和角公式,代入即可求解.【詳解】由正切函數(shù)的和角公式因?yàn)?代入可得故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了正切函數(shù)和角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4設(shè),則( )ABCD【答案】B【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),可通過(guò)中間值法比較大小,即可得解.【詳解】由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知所以故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)、對(duì)數(shù)圖像與性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,函數(shù)值大小的比較,屬于基礎(chǔ)題.5在中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),若,則( )ABCD【答案】A【解析】根據(jù)平面向量線性的加法運(yùn)算,即可求解.【詳解】在中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn)由平面向量的線性加法運(yùn)算,可知因?yàn)樗?則故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線性加法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6函數(shù)的大致圖象是（）ABCD【答案】A【解析】利用奇偶性定義可知為偶函數(shù)，排除；由排除，從而得到結(jié)果.【詳解】為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除又，排除故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，對(duì)于此類問(wèn)題通常采用排除法來(lái)進(jìn)行排除，考慮的因素通常為：奇偶性、特殊值和單調(diào)性，屬于?？碱}型.7函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為( )ABCD【答案】C【解析】先求得函數(shù)的定義域,根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)所以定義域?yàn)?解得或 由復(fù)合函數(shù)“同增異減”的性質(zhì),可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求法,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.8若直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸,則( )ABCD【答案】B【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),可求得的對(duì)稱軸,結(jié)合及即可求得的值.【詳解】函數(shù)由余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,其對(duì)稱軸為而為其一條對(duì)稱軸,所以解得因?yàn)樗援?dāng)時(shí),解得故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱軸求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.9已知函數(shù)的最大值為2,則( )A-2B0C2D3【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)的最大值,可求得函數(shù)的解析式.由周期公式可得函數(shù)的周期,即可求得的值.【詳解】函數(shù)的最大值為2所以由周期公式,代入可得則而 所以而所以即故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)的周期性,根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求值,屬于基礎(chǔ)題.10已知實(shí)數(shù)且,若函數(shù)的值域?yàn)?則的取值范圍是( )ABCD【答案】D【解析】分類討論和兩種情況.結(jié)合函數(shù)的值域?yàn)?即可求得的取值范圍.【詳解】實(shí)數(shù)且,若函數(shù)的值域?yàn)?當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),的值域?yàn)?與值域?yàn)槊?所以不成立當(dāng)時(shí),對(duì)于函數(shù),函數(shù)的值域?yàn)?所以只需當(dāng)時(shí)值域?yàn)榈淖蛹纯?即,解得（舍去）綜上可知的取值范圍為故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與值域的綜合應(yīng)用,分類討論思想的應(yīng)用,屬于中檔題.11若,且,( )ABCD【答案】B【解析】將平方后化簡(jiǎn),結(jié)合即可進(jìn)一步確定及的取值范圍.再根據(jù)正弦的二倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式,求得的值.【詳解】因?yàn)?兩邊同時(shí)平方可得,即則異號(hào)又因?yàn)?可知,所以所以由正弦的二倍角公式可知根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式可得故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,正弦二倍角公式的化簡(jiǎn)與應(yīng)用,關(guān)鍵在與確定角的取值范圍,屬于中檔題.12已知函數(shù),則使得不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是( )ABCD【答案】A【解析】將函數(shù)解析式變形,即可判斷出其對(duì)稱軸.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及不等式,即可得關(guān)于的不等式,解不等即可求得的取值范圍.【詳解】函數(shù),變形后可得所以的圖像關(guān)于對(duì)稱由函數(shù)單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增因?yàn)樗詽M足變形可得,展開可知因式分解可得解不等式可得即實(shí)數(shù)的取值范圍為故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)對(duì)稱性及單調(diào)性的綜合應(yīng)用,根據(jù)單調(diào)性解不等式,絕對(duì)值不等式的解法.關(guān)鍵在于對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行變形及判斷出對(duì)稱軸,屬于中檔題.二、填空題13設(shè)向量不平行,向量與平行,則實(shí)數(shù)_.【答案】【解析】根據(jù)平面向量共線基本定理,可設(shè),即可求得的值.【詳解】因?yàn)橄蛄坎黄叫?向量與平行由平面向量共線基本定理可設(shè)則根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算可得解得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量共線基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,由平面向量共線求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.14計(jì)算:_.【答案】2【解析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算及對(duì)數(shù)的換底公式,化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】由指數(shù)冪的運(yùn)算及對(duì)數(shù)的換底公式,化簡(jiǎn)可得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪及對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且,則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_.【答案】6【解析】根據(jù)為偶函數(shù)且周期為4,結(jié)合解析式可畫出函數(shù)的圖像.由零點(diǎn)定義可知,令,可得.畫出的圖像,通過(guò)判斷與圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?即是周期為4的周期函數(shù)為偶函數(shù),且,畫出函數(shù)圖像如下圖所示:令可得.畫出的圖像如上圖所示:由圖像可知,與圖像共有6個(gè)交點(diǎn)所以共有6個(gè)零點(diǎn)故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的綜合應(yīng)用,函數(shù)零點(diǎn)的概念及函數(shù)圖像的畫法,屬于中檔題.16將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.若在區(qū)間上為增函數(shù),則的取值范圍是_.【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換求得的解析式.根據(jù)在區(qū)間上為增函數(shù),可得關(guān)于的不等式組,解不等式組即可求得的取值范圍.【詳解】由題意可知將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可得若在上為增函數(shù),且過(guò)原點(diǎn)于是解不等式組可得,即故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的平移變換,根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,屬于中檔題.三、解答題17設(shè)為第二象限角,.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合角為第二象限角,即可求得的值.（2）由誘導(dǎo)公式化及正弦二倍角公式,結(jié)合齊次式形式的化簡(jiǎn),根據(jù)（1）中的結(jié)論,代入即可求解.【詳解】（1）由于由同角三角函數(shù)關(guān)系式于是所以（2）由誘導(dǎo)公式化及正弦二倍角公式,結(jié)合齊次式形式的化簡(jiǎn)可得由（1）可知所以【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,誘導(dǎo)公式及正弦二倍角公式的綜合應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為.(1)求的值;(2)證明:函數(shù)是上的增函數(shù).【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,由最大值與最小值之差為代入即可求得的值.（2）先求得的解析式,再根據(jù)定義設(shè),利用作差法即可證明函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）由于,所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,于是在區(qū)間的最大值與最小值之差為即又,解得（2）證明:,不妨設(shè),則由于,所以,于是,即所以是R上的增函數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用,根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法,屬于基礎(chǔ)題.19已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式;(2)若,求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）由圖像即可求得和,進(jìn)而得.得到函數(shù)的解析式,將最高點(diǎn)代入解析式,即可求得的值,即可求得函數(shù)的解析式;（2）將代入解析式,即可得,利用正弦的和角公式變形即可求得的值.【詳解】（1）由函數(shù)圖象可知,即,所以,從而函數(shù)將代入解析式得,又,故所以函數(shù)解析式為（2）因?yàn)樗?又,從而所以,于是,即.【點(diǎn)睛】本題考查了已知部分圖像求三角函數(shù)解析式的方法,正弦和角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.20已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1） （2）最大值為；最小值為【解析】（1）由余弦的差角公式及余弦的二倍角公式展開,結(jié)合余弦的降冪公式及輔助角公式展開化簡(jiǎn),由正弦函數(shù)的周期公式即可得解.（2）根據(jù)自變量的取值范圍為,求得的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【詳解】（1）根據(jù)余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,結(jié)合余弦的降冪公式和輔助角公式,展開化簡(jiǎn)可得所以由周期公式可知即最小正周期為（2）因?yàn)閯t由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知所以即函數(shù)在區(qū)間上的最大值為函數(shù)在區(qū)間上的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了余弦的差角公式及余弦的二倍角公式,余弦的降冪公式和輔助角公式,正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.21已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)求的值;(2)若在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）根據(jù)偶函數(shù)定義,代入化簡(jiǎn)即可求得的值;（2）根據(jù)不等式恒成立,分離參數(shù)可得,并構(gòu)造函數(shù).用換元法,令,化簡(jiǎn)為打勾函數(shù)形式,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得的范圍;同時(shí),滿足對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域要求,綜合上述條件即可求得的取值范圍.【詳解】（1）,由于函數(shù)為偶函數(shù)所以代入可得即,化簡(jiǎn)可得（2）由題得恒成立,即恒成立,所以恒成立,令,令則,由于函數(shù)在上單調(diào)遞減,故又在上恒成立所以,于是a的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的定義及指數(shù)形式的化簡(jiǎn),對(duì)數(shù)不等式的解法,分離參數(shù)及構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍,打勾函數(shù)在求最值中的應(yīng)用,屬于中檔題.22設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的值域;(2)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮,若,且,則稱為函數(shù)的“壹點(diǎn)”,已知在區(qū)間上有4個(gè)不同的“壹點(diǎn)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn),代入,利用換元法將化為二次函數(shù)形式,即可根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求得在區(qū)間上的值域.（2）根據(jù)題意,將函數(shù)化為在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形