基于排隊(duì)論的超市收銀員的優(yōu)化.doc

2012南昌大學(xué)第九屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了南昌大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則。我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B中選擇一項(xiàng)填寫）： A .報(bào)名序號(hào)是 30 .參賽隊(duì)員(打印并簽名) ： 所屬院系（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?1. 王亞先 簽名:_院系: 信息工程學(xué)院電子系 2. 潘書敏 簽名:_院系: 信息工程學(xué)院電子系 3. 鄧儒超 簽名:_院系: 信息工程學(xué)院電子系 日期： 2012 年 5 月 29 日2012南昌大學(xué)第九屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)評(píng)閱編號(hào)：評(píng)閱記錄：評(píng)閱人備注基于排隊(duì)論的超市收銀員的優(yōu)化摘要本文主要基于排隊(duì)論中的M/M/S排隊(duì)模型研究了超市收銀員的管理與優(yōu)化問題，確定最合適的收銀員人數(shù)，從而緩解排隊(duì)的擁擠狀況并減少超市企業(yè)聘請(qǐng)收銀員的成本。 對(duì)于這個(gè)問題，我們首先分析了題目中給出的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)工作日和周末超市的客流量相差比較大，所以我們分為工作日和周末兩種情況來分析該問題，再將超市的營(yíng)業(yè)時(shí)間分時(shí)段進(jìn)行研究。通過對(duì)M/M/S排隊(duì)模型進(jìn)行分析，我們得到顧客的平均等待隊(duì)長(zhǎng)關(guān)于平均到達(dá)率，平均服務(wù)率和收銀員人數(shù)的函數(shù)關(guān)系，還有顧客的平均等待時(shí)間與收銀員人數(shù)、平均服務(wù)率以及平均等待隊(duì)長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系。然后，根據(jù)實(shí)際情況，我們假設(shè)收銀員的服務(wù)時(shí)間是服從（0.8,5）的均勻分布，根據(jù)概率論知識(shí)，當(dāng)顧客到達(dá)量服從泊松分布時(shí)顧客到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，從而模擬仿真（附件一）得到負(fù)指數(shù)分布中的值，再通過超市的人流量與平均到達(dá)率和平均服務(wù)率之間的關(guān)系算出每個(gè)時(shí)間段的平均服務(wù)率。在整個(gè)系統(tǒng)中，我們確立了模型中收銀員的服務(wù)強(qiáng)度和平均等待時(shí)間這兩個(gè)約束條件。根據(jù)對(duì)這兩個(gè)約束條件進(jìn)行分析，我們運(yùn)用Matlab軟件編寫了關(guān)于該數(shù)學(xué)模型的程序（附件二），得到最合適的收銀員人數(shù)。最后，我們通過對(duì)結(jié)果以及實(shí)際情況進(jìn)行討論和分析，對(duì)模型有了進(jìn)一步的改進(jìn)，使超市對(duì)收銀員的管理更協(xié)調(diào)。關(guān)鍵字: M/M/S排隊(duì)模型 收銀員人數(shù) 平均等待時(shí)間 平均服務(wù)率一、 前言隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，超市越辦越多。在激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，如何提高經(jīng)營(yíng)效益、吸引更多的顧客是超市經(jīng)營(yíng)商最關(guān)心的問題。在超市服務(wù)質(zhì)量評(píng)價(jià)體系中，排隊(duì)等待時(shí)間是一項(xiàng)重要的指標(biāo)。增加收銀員人數(shù)，減少排隊(duì)等待時(shí)間，有利于提高超市的服務(wù)質(zhì)量和經(jīng)營(yíng)效率。顧客選擇超市的標(biāo)準(zhǔn)，不僅是價(jià)廉物美的商品，也有服務(wù)質(zhì)量。收銀臺(tái)前排隊(duì)成龍的超市顯然不是人們希望的購(gòu)物環(huán)境，多數(shù)人寧愿放棄或者稍微走遠(yuǎn)一點(diǎn)去其他地方購(gòu)物也不愿意在擁擠中排隊(duì)等待。在商品的質(zhì)量和價(jià)格基本相同的條件下，服務(wù)質(zhì)量才是競(jìng)爭(zhēng)的焦點(diǎn)，我們可以通過收銀臺(tái)的增減與管理加以調(diào)節(jié)來解決這一問題。就超市經(jīng)營(yíng)者而言，增加收銀員就意味著增加投資，有時(shí)還有可能發(fā)生資源空閑浪費(fèi)的現(xiàn)象；而收銀員太少，排隊(duì)現(xiàn)象就會(huì)嚴(yán)重，影響服務(wù)質(zhì)量，造成客源流失。本文將根據(jù)排隊(duì)論的相關(guān)理論探討超市收銀員人數(shù)的管理與優(yōu)化。二、 問題的提出與重述超市的顧客數(shù)受收銀員數(shù)量的影響，如果收銀員數(shù)量偏少，會(huì)使等待排隊(duì)交費(fèi)的人數(shù)偏多，顧客看到收銀處排隊(duì)人數(shù)很多就會(huì)放棄進(jìn)入超市的意愿，甚至在超市內(nèi)只購(gòu)買一兩件商品的顧客也會(huì)放棄購(gòu)買意愿。表1是調(diào)查員對(duì)某一超市七天實(shí)際調(diào)查到的不同時(shí)刻收銀員數(shù)量和正在排隊(duì)等待交費(fèi)的顧客人數(shù)，收銀員每天工作時(shí)間不超過7小時(shí)及顧客接受服務(wù)的時(shí)間約0.8分鐘到5分鐘。為使顧客等待交費(fèi)時(shí)間不宜過長(zhǎng)，同時(shí)又要考慮超市企業(yè)聘用收銀員的成本，請(qǐng)根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，驗(yàn)證這個(gè)超市收銀員的排班計(jì)劃是否合理？如果安排不合理，請(qǐng)給該超市安排一份收銀員的排班計(jì)劃。表1：收銀員與排隊(duì)顧客數(shù)據(jù)表時(shí)間星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日收銀員顧客數(shù)收銀員顧客數(shù)收銀員顧客數(shù)收銀員顧客數(shù)收銀員顧客數(shù)收銀員顧客數(shù)收銀員顧客數(shù)8:006869656106468699:008218198408228251042104610:008278168288398291044104011:0062461562062061983583212:00216282132102921521213:00282425262321421014:004164134104104941741415:0042041741541641041841516:0061761861861761561661317:0061061261161761662262418:006961061061061383283619:0081281281381581382982020:008208308218198321033103821:008148208188158181026102522:0041149413414412416418三、 基本假設(shè)1、假設(shè)超市每個(gè)工作日的客流量是相同的。2、假設(shè)星期六和星期天超市的客流量是相同的。3、假設(shè)系統(tǒng)的等待位置為，服務(wù)規(guī)則是先來先服務(wù)即FSFS4、顧客中沒有插隊(duì)現(xiàn)象的發(fā)生，顧客一旦進(jìn)入隊(duì)伍中就不會(huì)中途離開。5、收銀臺(tái)進(jìn)行服務(wù)時(shí)，排除因?yàn)橐馔馇闆r的發(fā)生而影響到的服務(wù)時(shí)間。6、各收銀員服務(wù)時(shí)間基本一致，不考慮各收銀臺(tái)工作人員自身原因引起的服務(wù)時(shí)間的改變。四、模型的主要符號(hào)變量說明表示單位時(shí)間內(nèi)平均到達(dá)的顧客數(shù)，即平均到達(dá)率；表示單位時(shí)間內(nèi)受到服務(wù)的顧客的平均數(shù)，即平均服務(wù)率；s表示收銀員人數(shù)；表示每個(gè)收銀員的服務(wù)強(qiáng)度（利用率），即每個(gè)收銀員在單位時(shí)間內(nèi)的平均負(fù)荷。表示平均等待隊(duì)長(zhǎng)（即等待的顧客數(shù)）；表示一個(gè)顧客平均等待時(shí)間；五、模型建立排隊(duì)論是研究系統(tǒng)由于隨機(jī)因素的干擾而出現(xiàn)排隊(duì)（或擁塞）現(xiàn)象的規(guī)律性的一門學(xué)科，其核心研究?jī)?nèi)容是計(jì)算排隊(duì)過程中各種狀態(tài)的概率，來解決系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)控制。一般的排隊(duì)系統(tǒng)有三個(gè)基本的組成部分:輸入過程、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)。輸入過程是指顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)；排隊(duì)規(guī)則是指顧客到達(dá)后按什么樣的規(guī)則排隊(duì)等待服務(wù)；服務(wù)機(jī)構(gòu)是指為顧客提供服務(wù)的機(jī)構(gòu)。本文所研究的排隊(duì)系統(tǒng)是指顧客在超市挑選好商品后，在收銀臺(tái)前排隊(duì)等待付款的排隊(duì)系統(tǒng)。 超市的服務(wù)系統(tǒng)是一個(gè)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，當(dāng)運(yùn)行較長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)穩(wěn)態(tài)后，輸入過程服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。在單對(duì)單服務(wù)的情況下，在多對(duì)多服務(wù)員時(shí)，我們可以將其看成是多個(gè)單對(duì)單服務(wù)系統(tǒng)，則： （1）假設(shè)用表示在統(tǒng)計(jì)平衡時(shí)，系統(tǒng)中具有n個(gè)顧客的概率。在1條件下，系統(tǒng)的穩(wěn)定概率為： （2） (3)所有服務(wù)員均被占用（即顧客等待）的概率： （4）在超市系統(tǒng)中，平均等待的隊(duì)長(zhǎng)（即正在等待的顧客數(shù)）為： （5）系統(tǒng)中所有的顧客數(shù)為： （6）顧客的平均等待時(shí)間為： （7）在這個(gè)超市系統(tǒng)中，我們發(fā)現(xiàn)工作日和周末超市的客流量是相差很大的，那么我們分為工作日和周末這兩種情況來分析該問題。由于我們假設(shè)每個(gè)工作日超市的客流量是相同的和星期六、星期天這兩天的客流量也是相同的，從而對(duì)題目中的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到如下表二:表二：8:00 9:0010:0011:0012:0013:0014:00工作日顧客數(shù)7.2 25.4 27.8 19.6 11.2 5.211.6周末顧客數(shù)8.5444233.513.51215.515:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:00工作日顧客數(shù)15.61713.210.41324.41711.8周末顧客數(shù)16.514.5233424.535.525.517通過對(duì)實(shí)際情況分析，我們假設(shè)服務(wù)時(shí)間是服從（0.8,5）的均勻分布，根據(jù)概率論知識(shí)，當(dāng)顧客到達(dá)量服從泊松分布時(shí)顧客到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，從而模擬仿真（附件一）得到負(fù)指數(shù)分布中的值：=0.3632再根據(jù)不同時(shí)刻的顧客變化量與和之間的關(guān)系，顯然有下式： 為每隔一小時(shí)正在排隊(duì)的顧客數(shù)的變化量；通過這個(gè)式子，我們可以計(jì)算出每個(gè)時(shí)間段的平均到達(dá)率，如表三： 表三: 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00工作日時(shí)2.4812.9442.7682.0380.6260.8331.519周末時(shí)2.7703.5973.4882.5710.7010.7841.46915:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:00工作日時(shí)1.4752.1152.1312.2213.0942.7812.8171.256周末時(shí)1.4192.3202.3612.7463.0873.4633.4831.169以上我們已經(jīng)得到了超市的平均服務(wù)率和每個(gè)時(shí)間顧客的平均到達(dá)率，再由公式（2）、（5）、（7）就可以算出平均等待隊(duì)長(zhǎng)和顧客的平均等待時(shí)間，通過對(duì)這兩個(gè)數(shù)據(jù)的合理性分析，來確定收銀員的人數(shù)。1）、以工作日8:00-9:00為例，服務(wù)強(qiáng)度，當(dāng)s7時(shí)，服務(wù)強(qiáng)度大于1，即系統(tǒng)內(nèi)顧客的到達(dá)率大于系統(tǒng)的平均服務(wù)率，可見系統(tǒng)不存在平衡狀態(tài)，且排隊(duì)的人會(huì)越來越多，排隊(duì)等候的時(shí)間也會(huì)越來越長(zhǎng)，因此此超市開設(shè)6個(gè)窗口無法滿足顧客需要，需要增開窗口才能滿足顧客需求。運(yùn)用MATLAB軟件編程（附件二），得出平均等待隊(duì)長(zhǎng)和平均等待時(shí)間：當(dāng)s=8時(shí)=3.4207，= 1.3787；當(dāng)s=9時(shí)=1.0994，=0.4431；顯然當(dāng)s=8時(shí)，已經(jīng)足夠了。2)、以周末9:00-10:00為例，當(dāng)時(shí)，得出，當(dāng)s=10時(shí)=99.1790，= 27.5727；當(dāng)s=11時(shí)=5.9163，=1.6448；顯然當(dāng)s=11時(shí)，比較合理。通過得出每個(gè)時(shí)間段的平均隊(duì)長(zhǎng)及平均等待時(shí)間，再進(jìn)行合理的分析，得出每個(gè)時(shí)間段應(yīng)安排收銀員的人數(shù)，如表四： 表四：8:00 9:0010:0011:0012:0013:0014:00工作日收銀員人數(shù)8 9 9 6235周末收銀員人數(shù)91111833515:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:00工作日收銀員人數(shù)57779994周末收銀員人數(shù)57791010104六、模型的進(jìn)一步討論和改進(jìn)對(duì)于題目中的條件，收銀員每天的工作時(shí)間不超過7小時(shí)。通過對(duì)以上得到的收銀員人數(shù)來計(jì)算，工作日時(shí)，在一天之內(nèi)全部收銀員的總工作時(shí)間為90小時(shí)，超市至少要聘請(qǐng)13個(gè)收銀員，那么在其余收銀員每天的工作時(shí)間為7小時(shí)的情況下，有一個(gè)收銀員的工作時(shí)間為6小時(shí)，超市就可以在人流量多的那個(gè)小時(shí)內(nèi)把這個(gè)收銀員安排進(jìn)去。周末時(shí)，全部收銀員每天總工作時(shí)間為109個(gè)小時(shí)，超市至少要聘請(qǐng)16個(gè)收銀員，那么也會(huì)有收銀員