§11.5 函數(shù)展開成冪級數(shù).doc

11.5 函數(shù)展開成冪級數(shù)一、泰勒級數(shù)如果在處具有任意階的導數(shù)，我們把級數(shù) (1)稱之為函數(shù)在處的泰勒級數(shù)。它的前項部分和用記之，且這里：由上冊中介紹的泰勒中值定理，有當然，這里是拉格朗日余項，且。由有。因此，當時，函數(shù)的泰勒級數(shù)就是它的另一種精確的表達式。即這時，我們稱函數(shù)在處可展開成泰勒級數(shù)。特別地，當時，這時，我們稱函數(shù)可展開成麥克勞林級數(shù)。將函數(shù)在處展開成泰勒級數(shù)，可通過變量替換，化歸為函數(shù) 在 處的麥克勞林展開。因此，我們著重討論函數(shù)的麥克勞林展開?！久}】函數(shù)的麥克勞林展開式是唯一的。證明：設在的某鄰域內(nèi)可展開成的冪級數(shù)據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導，有把代入上式，有從而 于是，函數(shù)在處的冪級數(shù)展開式其形式為這就是函數(shù)的麥克勞林展開式。這表明，函數(shù)在處的冪級數(shù)展開形式只有麥克勞林展開式這一種形式。二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1、直接展開法將函數(shù)展開成麥克勞林級數(shù)可按如下幾步進行求出函數(shù)的各階導數(shù)及函數(shù)值若函數(shù)的某階導數(shù)不存在，則函數(shù)不能展開；寫出麥克勞林級數(shù)并求其收斂半徑。考察當時，拉格朗日余項當時，是否趨向于零。若，則第二步寫出的級數(shù)就是函數(shù)的麥克勞林展開式；若，則函數(shù)無法展開成麥克勞林級數(shù)?！纠?】將函數(shù)展開成麥克勞林級數(shù)。解：于是得麥克勞林級數(shù) 而 故 對于任意 ，有這里是與無關(guān)的有限數(shù)， 考慮輔助冪級數(shù)的斂散性。 由比值法有故輔助級數(shù)收斂，從而一般項趨向于零，即 因此 ，故【例2】將函數(shù)在處展開成冪級數(shù)。解：于是得冪級數(shù) 容易求出，它的收斂半徑為 對任意的，有由例一可知，故 因此，我們得到展開式2、間接展開法利用一些已知的函數(shù)展開式以及冪級數(shù)的運算性質(zhì)( 如：加減，逐項求導，逐項求積)將所給函數(shù)展開?！纠?】將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。解：對展開式兩邊關(guān)于逐項求導， 得【例4】將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。解：而 將上式從到逐項積分得當時，交錯級數(shù)收斂。故 下面，我們介紹十分重要牛頓二項展開式【例5】將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，其中為任意實數(shù)。解：于是得到冪級數(shù)因此，對任意實數(shù)，冪級數(shù)在內(nèi)收斂。下面，我們證明，該冪級數(shù)收斂的和函數(shù)就是函數(shù)。設上述冪級數(shù)在內(nèi)的和函數(shù)為，即 兩邊同乘以因子，有即 引入輔助函數(shù) 因此，在內(nèi)，我們有展開式注記在區(qū)間端點處的斂散性，要看實數(shù)的取值而定，這里，我們不作進一步地介紹。若引入廣義組合記號 ，牛頓二項展開式可簡記成最后，我們舉一個將函數(shù)展開成的冪級數(shù)形式的例子?！纠?】將函數(shù)展開成的