北京市海淀區(qū)2016屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)(理)試題【解析版】.doc

北京市海淀區(qū)2016屆高三年級(jí)第一學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)（理科）2016.1 本試卷共4頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1. 已知，則的值為 A. B. C. D.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)乘除和乘方【試題解析】因?yàn)椋?+bi）i=i+bi=-b+i=-1+i，所以【答案】A2. 拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為 A. B. C. D.【考點(diǎn)】拋物線【試題解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為：所以與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1）?！敬鸢浮緽3. 如圖，正方形中，為的中點(diǎn)，若， 則的值為 A. B. C. D.【考點(diǎn)】平面向量的幾何運(yùn)算【試題解析】因?yàn)镋為DC的中點(diǎn)，所以【答案】D4. 某程序框圖如圖所示，執(zhí)行該程序，若輸入的值為1，則輸 出的值為 A. B. C. D.【考點(diǎn)】算法和程序框圖【試題解析】由題知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，則輸出的a為3【答案】C5. 已知數(shù)列，其中, 則 滿足的不同數(shù)列一共有A. 個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【考點(diǎn)】數(shù)列綜合應(yīng)用【試題解析】由題知：若，則中可能有3個(gè)1，2個(gè)0或有4個(gè)1，1個(gè)-1所以數(shù)列共有：個(gè)?！敬鸢浮緼6. 已知圓, 直線， 若被圓所截得的弦的長(zhǎng)度之比為，則的值為 A. B.1 C. D.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)乘除和乘方【試題解析】圓圓心為（2，0），半徑為2，圓心到的距離為所以被圓所截得的弦長(zhǎng)為：圓心到的距離為 所以被圓所截得的弦長(zhǎng)為：4，所以所以【答案】C7. 若滿足 則的最大值為 A. B. C. D.【考點(diǎn)】線性規(guī)劃【試題解析】作可行域：A(-2，0)，B(4，0)，C(1，3)，D（0，2）由圖知：目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值最大，為【答案】D8. 已知正方體，記過(guò)點(diǎn)與三條直線所成角都相等的直線條數(shù)為, 過(guò)點(diǎn)與三個(gè)平面所成角都相等的直線的條數(shù)為，則下面結(jié)論正確的是A. B. C. D. 【考點(diǎn)】立體幾何綜合點(diǎn)線面的位置關(guān)系【試題解析】連接，顯然與所成角都相等。在平面都可以過(guò)A作一條不同于的直線，與所成角都相等，所以m=4。易知與三個(gè)平面所成角都相等。同理在平面都可以過(guò)A作一條不同于 的直線，與所成角都相等，所以n=4。【答案】D二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9. 已知雙曲線的一條漸近線過(guò)點(diǎn),則其離心率為【考點(diǎn)】雙曲線【試題解析】由題知：雙曲線的漸近線為因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以所以【答案】10. 在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi).（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理與性質(zhì)【試題解析】的通項(xiàng)公式為：令所以【答案】1511. 已知等比數(shù)列的公比為，若，則【考點(diǎn)】等比數(shù)列【試題解析】由題知：所以【答案】612. 某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐中最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為【考點(diǎn)】空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的三視圖與直觀圖【試題解析】該四棱錐的底面是一個(gè)直角梯形，高為2所以最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為：故答案為：【答案】13. 已知函數(shù) 若的最小值是，則【考點(diǎn)】分段函數(shù)，抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù)【試題解析】若，函數(shù)的值域?yàn)椋?，+，不符合題意；若則函數(shù)的最小值為或所以或解得：【答案】414. 已知，若存在，滿足,則稱(chēng)是的 一個(gè)“友好”三角形.(i) 在滿足下述條件的三角形中，存在“友好”三角形的是_：（請(qǐng)寫(xiě)出符合要求的條件的序號(hào)） ； .(ii) 若等腰存在“友好”三角形，且其頂角的度數(shù)為_(kāi).【考點(diǎn)】解斜三角形【試題解析】(i)對(duì)：因?yàn)樗圆淮嬖凇坝押谩比切?；?duì)：若，同理：故存在“友好”三角形；對(duì)：若滿足，則或都不能構(gòu)成三角形，故不存在“友好”三角形。(ii) 若等腰存在“友好”三角形，則A=B，所以A+A+C=或，分析知。所以即故C=即頂角的度數(shù)為?！敬鸢浮浚蝗?、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。15. （本小題滿分13分）已知函數(shù).（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和. 【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)恒等變換綜合【試題解析】解：（）因?yàn)椋▋蓚€(gè)倍角公式，每個(gè)各2分）所以函數(shù)的最小正周期. （）因?yàn)椋?，所? 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值; 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值, 因?yàn)?所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和為. 【答案】見(jiàn)解析16. （本小題滿分13分） 已知某種動(dòng)物服用某種藥物一次后當(dāng)天出現(xiàn)A癥狀的概率為. 為了研究連續(xù)服用該藥物后出現(xiàn)A癥狀的情況，做藥物試驗(yàn).試驗(yàn)設(shè)計(jì)為每天用藥一次，連續(xù)用藥四天為一個(gè)用藥周期. 假設(shè)每次用藥后當(dāng)天是否出現(xiàn)A癥狀的出現(xiàn)與上次用藥無(wú)關(guān). （）如果出現(xiàn)A癥狀即停止試驗(yàn)”，求試驗(yàn)至多持續(xù)一個(gè)用藥周期的概率；（）如果在一個(gè)用藥周期內(nèi)出現(xiàn)3次或4次A癥狀，則這個(gè)用藥周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，試驗(yàn)至多持續(xù)兩個(gè)周期. 設(shè)藥物試驗(yàn)持續(xù)的用藥周期數(shù)為，求的期望.【考點(diǎn)】隨機(jī)變量的期望與方差獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)呈录l(fā)生的概率【試題解析】解：（）設(shè)持續(xù)天為事件，用藥持續(xù)最多一個(gè)周期為事件，所以，則. 法二：設(shè)用藥持續(xù)最多一個(gè)周期為事件，則為用藥超過(guò)一個(gè)周期，所以, 所以. （）隨機(jī)變量可以取，所以, , 所以. 【答案】見(jiàn)解析17. （本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，且. （）若點(diǎn)為上一點(diǎn)且，證明：平面；（）求二面角的大小；（）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得? 若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.【考點(diǎn)】空間的角平面法向量的求法平行【試題解析】 解：（）過(guò)點(diǎn)作，交于,連接,因?yàn)?，所?又，所以.所以為平行四邊形, 所以.又平面，平面,（一個(gè)都沒(méi)寫(xiě)的，則這1分不給）所以平面. （）因?yàn)樘菪沃校?所以.因?yàn)槠矫?，所?如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為,因?yàn)樗裕?，取得?同理可得,所以,因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角為.（）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，所以,所以，解得,所以存在點(diǎn)，且.【答案】見(jiàn)解析18. （本小題滿分13分）已知函數(shù). （）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（）求證：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上無(wú)解.（其中）【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用【試題解析】解：（）因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，.令，得，所以隨的變化情況如下表：極大值極小值所以在處取得極大值，在處取得極小值.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，, 的單調(diào)遞減區(qū)間為.（）證明：不等式在區(qū)間上無(wú)解，等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，即函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于等于1. 因?yàn)?，令，?因?yàn)闀r(shí)，所以.當(dāng)時(shí)，對(duì)成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,所以不等式在區(qū)間上無(wú)解；當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：極小值所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為或.此時(shí),，所以 . 綜上，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上無(wú)解.【答案】見(jiàn)解析19. （本小題滿分14分）已知橢圓的離心率為，其左頂點(diǎn)在圓上.（）求橢圓的方程；（）若點(diǎn)為橢圓上不同于點(diǎn)的點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為. 是否存在點(diǎn)，使得? 若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由. 【考點(diǎn)】圓錐曲線綜合橢圓【試題解析】解：（）因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)在圓上，令，得，所以.又離心率為，所以，所以,所以,所以的方程為.（）法一：設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得,化簡(jiǎn)得到,因?yàn)闉樯厦娣匠痰囊粋€(gè)根，所以，所以.所以.因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以,因?yàn)椋氲玫?顯然，所以不存在直線，使得. 法二：設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得化簡(jiǎn)得到,由得. 顯然是上面方程的一個(gè)根，所以另一個(gè)根，即.由，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以.因?yàn)椋氲玫?若，則，與矛盾，矛盾，所以不存在直線，使得. 法三：假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，得. 顯然直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，由，得,由得，所以.同理可得，所以由得，則，與矛盾，所以不存在直線，使得.【答案】見(jiàn)解析20. （本小題滿分13分）若實(shí)數(shù)數(shù)列滿足，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”.（）若數(shù)列是數(shù)列，且，求，的值；() 求證：若數(shù)列是數(shù)列，則的項(xiàng)不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)；() 若數(shù)列為數(shù)列，且中不含值為零的項(xiàng)，記前項(xiàng)中值為負(fù)數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，求所有可能取值. 【考點(diǎn)】數(shù)列綜合應(yīng)用【試題解析】解：（）因?yàn)槭菙?shù)列，且所以，所以, 所以，解得, 所以. () 假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是正數(shù)，即，所以，與假設(shè)矛盾.故數(shù)列的項(xiàng)不可能全是正數(shù),假設(shè)數(shù)列的項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，則而,與假設(shè)矛盾,故數(shù)列的項(xiàng)不可能全是負(fù)數(shù).()由()可知數(shù)列中項(xiàng)既有負(fù)數(shù)也有正數(shù)，且最多連續(xù)兩項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，最多連續(xù)