用高數(shù)觀點透視近幾年的高考數(shù)學(xué)試題.doc

用高數(shù)觀點透視近幾年的高考數(shù)學(xué)試題學(xué)生:汪子鵬 指導(dǎo)老師:胡付高(孝感學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 湖北 孝感 432000)摘要隨著新課標(biāo)準(zhǔn)的實施，在近幾年的高考中出現(xiàn)了一些有著一定的高等數(shù)學(xué)背景的試題，這主要源于兩個主要因素:一是這種題型形式新穎，既能開闊數(shù)學(xué)視野，有利于高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的和諧接軌，又能有效地考察學(xué)生的思維能力，尤其是創(chuàng)新能力；二是隨著高考命題改革的逐步深入.自主命題的省市越來越多，命題組成成員中大多是大學(xué)教師，他們在命題時不可能不受自身研究背景的影響.本文將列舉幾例以示說明.關(guān)鍵詞連續(xù)函數(shù)；最大（?。┲担贿f推數(shù)列；不動點；凹凸性0引言代數(shù)推理，遞推數(shù)列，極限與求導(dǎo)方法的應(yīng)用，不動點問題，數(shù)列極限的一些特性，函數(shù)圖象的凸性等具有高等數(shù)學(xué)傾向的問題逐步走進(jìn)高考，雖然它們對解決問題的邏輯依據(jù)不高，但是通過直觀化，卻可以成為命題和解決命題的基礎(chǔ).下面將列舉幾例，意在結(jié)合有關(guān)研究和分析，嘗試著預(yù)測今后可能與高數(shù)思想相聯(lián)系的高考試題趨勢和方向.12008年高考數(shù)學(xué)的一個新亮點 猜想題在近幾年的高考數(shù)學(xué)題中，有不少屬于猜想題，它們有的是通過觀察猜想結(jié)果(不要求證明)，有的要求先猜想再證明.究其原因主要是由于高中知識的局限性或問題的困難性，導(dǎo)致不能奢求考生給出完整的求解過程.如果站在比較高的觀點，用高等數(shù)學(xué)方法解析這些問題，以揭示試題的制作背景及題目本身所蘊涵的一些深層次結(jié)論.下面將結(jié)合2008年最新高考的重慶卷、湖北卷中實例加以分析說明.例1 (2008年重慶卷第22題) 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，.（1）若，求，并猜想的值(不需要證明)；（2）記，若對恒成立，求的值及數(shù)列的通項公式.參考答案中是用的值，來猜想的值，我們關(guān)心的是能否不通過猜想而直接求出通項.為此，我們首先看看另一道2008年廣東的高考試題.例2 (2008年廣東卷第21題) 設(shè)為實數(shù)，是方程的兩個實根，數(shù)列滿足.（1）證明: ，；（2）求數(shù)列的通項公式;（3）若，求的前項和.解 （1）、（3）解答從略.（2）由（1）得，則，同理有，消去，得，當(dāng)時，有（1）當(dāng)時，由不難得到 （2）將，代入（1），（2）試得到數(shù)列的通項公式為 （3）由例2再回頭看例1，下面利用例2的結(jié)論給出例1的一個新解法：例1的解答 （1）對取對數(shù)，并記，則，其中.由例2之(1)試，可得數(shù)列的通項公式為，于是（）.從而.（2）由于，故由例2之（1）式，可以得到，即對于恒有 （4）特別的，在（4）式中取，有，再在(4)式中令，得 （5）如果，在（5）式中令，產(chǎn)生矛盾，故只能有，于是此時由例2之(1)式，得，故，所以，.例3（2008湖北卷） 觀察下列等式：，可以推測，當(dāng)（）時， ， .這種自然數(shù)方冪和的和式，這是一個古典的冪和問題.自從希臘數(shù)學(xué)家阿基米德開始研究，一直是許多中外數(shù)學(xué)家、學(xué)者研究的熱點，得到了很多有益的結(jié)果1-4. 這些文獻(xiàn)中無一例外的，都是給出與中系數(shù)的一些遞推關(guān)系式，利用遞推公式得到冪和的各項系數(shù)，通常的處理方法是對遞推公式進(jìn)行簡化，以方便計算. 對于本例題，在文獻(xiàn)5中作者指出：“2008年湖北卷順應(yīng)潮流，積極探索創(chuàng)新，所命制的理科卷第15題，立意新穎，背景深刻，它源于雅各伯努利（Jacob Bernoulli）數(shù)，即前個正整數(shù)同次冪求和問題，主要考查考生的直覺觀察意識、合情推理能力和正確理解抽象數(shù)字符號語言的能力，是一道滲透新課程理念的創(chuàng)新題型通過觀察前6個冪和等式的系數(shù)規(guī)律，得出相關(guān)項系數(shù)的一般性結(jié)論，充分體現(xiàn)了辯證地運用特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法解題的能力” .對于這種類比歸納型創(chuàng)新試題，要求考生用發(fā)散思維方法聯(lián)想、類比、推廣、轉(zhuǎn)化，獲得新發(fā)現(xiàn)，提出新問題，尋求新規(guī)律，對廣大高中生而言，具有相當(dāng)?shù)碾y度下面給出一個新的方法，將給出和式中系數(shù)所滿足的一個上三角形線性方程組，嘗試?yán)迷摲匠探M計算中系數(shù).定理1 設(shè)自然數(shù)方冪和，則所有系數(shù)必滿足線性方程組 （6）證明 由，又由于比較系數(shù)，即得（6）成立.下面利用定理1的（6）來解決上述例3，來看（6）的最后的4個方程:從最后一個方程開始，依次經(jīng)過化簡后，得，從可求出，.注1本定理提供的方法對于計算出所有的還是比較困難的，但對較小的的情形，求出、等，不失為一種較好的方法，而且也是解決例3中問題的一種很好的方法，該方法較為初等，它應(yīng)該能夠為高中成績優(yōu)異的學(xué)生所接受的. 注2 定理1給出了的求法，在此基礎(chǔ)上，對于系數(shù)，可以由確定.一類絕對值函數(shù)的最值問題最值問題是高考的必考題型之一，一般是對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)或利用重要不等式的方法處理這類問題.在近幾年的高考試題中，出現(xiàn)了求絕對值函數(shù)的最值問題，在近年來的一些文獻(xiàn)中，對下例（2006年全國高考題）作了諸多探究6-10 ：例46-10（2006年全國高考卷第12題） 函數(shù)的最小值為 （ ）（A）190； （B）171； （C）90； （D）45關(guān)于這類含有絕對值函數(shù)的最值問題，由于它不可導(dǎo)，因此不能用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行計算，必須尋求其它方法解決它.恰好在2007年全國高考寧夏卷中，也出現(xiàn)過類似試題：例5（2007年全國高考寧夏卷第22題）設(shè)函數(shù)（I）解不等式；（II）求函數(shù)的最小值關(guān)于例5的（II）的解答，在參考答案中，是通過繪制函數(shù)的圖像得到，當(dāng)時，取得最小值（圖1）能否從該題的解法得到啟示，進(jìn)而獲得更一般的結(jié)論呢？該問題實際上是文獻(xiàn)6中提出的一個未解決的問題，在文獻(xiàn)6末，作者指出：對于更一般的形如，的最小值問題及它是否有最小值的判別方法，尚需進(jìn)一步研究.下面將完全解決求函數(shù)，的最值問題，得到一個主要的結(jié)果，如下：定理2對于函數(shù)（），有）若，則沒有最大值，但存在最小值，且）若，則沒有最小值，但存在最大值，且）若，則既存在最小值，又存在最大值，且，證明 ）不妨設(shè)，當(dāng)時，；當(dāng)時，故在上若有最小值，則它與上的最小值相同，由于在閉區(qū)間上連續(xù)，故存在最小值記在各分區(qū)間上最小值分別為，易知又當(dāng)時，函數(shù)是一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，故在區(qū)間上的最小值必在端點為或處取得，即，于是最小值，至于沒有最大值，可由得知；）同理可證；） 不妨設(shè)，若，則當(dāng)時，當(dāng)時，于是，在與上具有相同的最大值與最小值，仿照）的分析可得，存在最小（大）值，且最小值，最大值定理2實際上也完全解決了文7末提出的幾個猜想.另外利用定理2的結(jié)論，可立即得例5中函數(shù)的最小值：因為，而，由定理1之）知，函數(shù)的最小值為3 與函數(shù)凹凸有關(guān)的一類函數(shù)的最值探源在近幾年的全國高考數(shù)學(xué)試題中，還經(jīng)常出現(xiàn)這樣的一類最值問題，它由某些凹凸函數(shù)構(gòu)造成一種新的函數(shù)，而且該函數(shù)具有對稱性如2005年全國高考卷第22題：例6（）設(shè)函數(shù)（），求的最小值（）設(shè)正數(shù)滿足，證明參考答案中對（）的求法并不困難，對（）是用數(shù)學(xué)歸納法如文獻(xiàn)11中所指出的一樣，該例實際蘊涵的是凸函數(shù)的一些性質(zhì)對例6，我們關(guān)注的是函數(shù)，由于該函數(shù)，故是一個凸函數(shù)，本例中函數(shù)，由于，故的圖像是關(guān)于直線對稱的，文獻(xiàn)11中把該例的結(jié)論（）推廣成命題111 設(shè)在區(qū)間上二階可導(dǎo)，且，則函數(shù)在上存在最小值另外，在數(shù)學(xué)通報2007年第6期上刊登了的1677 號問題：例7（數(shù)學(xué)通報07年第6期1677 號問題）已知函數(shù)，求證：問題提供人給出的解法具有一定的技巧性，方法難以把握，下面將給出上面例7及命題1的結(jié)論進(jìn)行一個推廣，所用方法比較簡單直觀，揭示了凹凸函數(shù)所蘊涵的一個獨特性質(zhì)定理3 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在上二階可導(dǎo)，且在上不變號，則（1）若，則函數(shù)在上的最小值為，最大值為；（2）若，則函數(shù)在上的最大值為，最小值為證明 （1）設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上二階可導(dǎo)，又由于，得到，再由，知是的唯一駐點，于是在處取得最小值又，于是的最大值為；（2）同理可證，這里從略注3 對函數(shù)，由于，故知函數(shù)是關(guān)于直線對稱的從證明中還可以看出，函數(shù)在與上的單調(diào)性相反，故在處取得最值在上述例7中，由于，當(dāng)時，則由定理3的結(jié)論，當(dāng)時，又函數(shù)滿足，于是得，故得4 不動點與數(shù)列不等式問題在歷屆高考試題中，求數(shù)列的通項或證明數(shù)列不等式的內(nèi)容，占有一定的篇幅在文獻(xiàn)12中研究探討了高考題中涉及到遞推數(shù)列的一類不等式問題，把近幾年高考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的這類試題概括在下列兩個命題中：命題212 設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，數(shù)列滿足，則，命題312 設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且， ，數(shù)列滿足，則，利用上述兩個命題，把2005年江西卷、2006年陜西卷、2006年湖南卷、1986年全國卷、2007年廣東卷以及文獻(xiàn)13-15中等諸多同類試題或例題進(jìn)行了統(tǒng)一處理，這些試題往往與遞推函數(shù)的不動點相關(guān)聯(lián)事實上，還有一種類型的遞推數(shù)列不等式問題，它涉及到兩個遞推數(shù)列，聯(lián)系它們的是迭代函數(shù)具有公共的不動點，上面命題2或命題3就顯得無能為力了下面我們以2007年全國高考數(shù)學(xué)（理科）第22題為例，結(jié)合不動點思想，用三種方法給出它的另解，以揭示這類問題的一些處理方法例8 (2007年全國高考理科卷第22題) 已知數(shù)列中，（）求的通項公式；（）若數(shù)列中，證明：，參考答案中求出了的通項公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明了不等式，本題中第（）部分較為簡單，難點是第（）部分中關(guān)于不等式的證明，參考答案中用數(shù)學(xué)歸納法先后證明了不等式與，其中不等式容易證明，但要進(jìn)一步得到卻比較困難下面將利用不動點思想，給出三種不同于參考答案的方法解法1 （）（略）；（） 考慮的迭代函數(shù)，易知滿足，由于，注意到，則由，即，即，用歸納法易證，設(shè)，則， 欲證，只需證明，為此考慮的迭代函數(shù)，由于，而，故記，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時成立，假設(shè)，則，又由，即，于是，即得，結(jié)論得證解法2 （）（略）；（）利用不動點求出的通項公式：考慮函數(shù)的不動點，即方程的兩個解與，則，它們之比為，反復(fù)利用此式，得，于是的通項為顯然，而等價于，即，該不等式對一切均成立，故結(jié)論得證解法3 （） （略）；（），利用此式用數(shù)學(xué)歸納法不難證明，由（）中結(jié)論，欲證明，即證，亦即證，也就是令，則只需證，易知，只需證，利用分析法：，得證通過解法1得到啟示，我們可以把該結(jié)果推廣為：定理4 設(shè)在上可導(dǎo)，且，數(shù)列、分別滿足，則，證明首先證明，：對，由，得，又由，得，即得，故有，于是，同理，有下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，因為，所以，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即則當(dāng)時，即得，設(shè)，則，于是也就是說，當(dāng)時，有，定理得證注4如果函數(shù)滿足，稱為函數(shù)的不動點定理4揭示了一類由兩個具有公共不動點的迭代函數(shù)構(gòu)造的數(shù)列的不等式關(guān)系5結(jié)語本文需要說明的是，盡管有些高考試題的設(shè)計來源于高等數(shù)學(xué)，但是解決的方法最終還是中學(xué)所學(xué)的內(nèi)容，而且高考中這部分問題所占比例也不是很大，因此我們沒有必要將高等數(shù)學(xué)的知識引進(jìn)到高中教學(xué)中，只是這部分內(nèi)容利用高等數(shù)學(xué)來解決可以簡化很多，容易很多.本文只在于能夠引起中學(xué)老師的注意，從中得到啟示，對此引起應(yīng)有的重視.參考文獻(xiàn)1 朱偉義. 有關(guān)自然數(shù)方冪和公式系數(shù)的一個新的遞推公式J.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識, 2004, 34（10）:170-1732 朱豫根, 劉玉清. 關(guān)于冪和公式系數(shù)的一個遞推關(guān)系式J.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識, 2002, 32（2）:319-3233 陳瑞卿. 關(guān)于冪和問題的新結(jié)果J. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識, 1994, 1（1）: 66- 694 陳景潤, 黎鑒愚. 在上的新結(jié)果J. 科學(xué)通報（英）, 1986, 31（6）5 王勇. 山一樣沉穩(wěn)，水一樣靈動2008年高考數(shù)學(xué)試題（湖北卷）評析J. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜, 2008,（9）: 356 賀航飛. 一類絕對值函數(shù)的最值問題J. 數(shù)學(xué)通報, 2007,46（4）:28-307 甘志國. 一個問題的解決J. 數(shù)學(xué)通訊, 2007,（21）: 318 王峰晨一道求最值高考題的代數(shù)證明J. 數(shù)學(xué)教學(xué), 2007,（5）9 李錦旭，王信民也談一道高考題的探究與引申J. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究, 2007（7）10 翟斌，郭亞琴. 一道高考題的探究與引申J. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考, 2006（10）11 胡付高.