氣體動理論基礎(chǔ)

玻耳茲曼 氣體動理論 第八章 麥克斯韋 8 0熱力學(xué)狀態(tài)及其描述 一 熱力學(xué)系統(tǒng) 熱力學(xué)系統(tǒng) 熱力學(xué)研究的對象 大量微觀粒子 分子 原子等 組成的宏觀物體 外界 熱力學(xué)系統(tǒng)以外的物體 系統(tǒng)分類 按系統(tǒng)與外界交換特點 孤立系統(tǒng) 與外界既無能量又無物質(zhì)交換封閉系統(tǒng) 與外界只有能量交換而無物質(zhì)交換開放系統(tǒng) 與外界既有能量交換又有物質(zhì)交換 熱力學(xué)系統(tǒng)的描述 1 狀態(tài)參量 宏觀量 平衡態(tài)下描述物質(zhì)特性的相互獨立的物理量 1 幾何參量 體積V 2 力學(xué)參量 壓強p 3 化學(xué)參量 質(zhì)量M 4 電磁參量 電場強度E等 2 氣體的狀態(tài)參量體積 壓強 溫度 平衡態(tài) 在無外界的影響下 不論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何 經(jīng)過足夠長的時間后 系統(tǒng)達到的狀態(tài)參量不隨時間改變的穩(wěn)定狀態(tài) 一定氣體的平衡態(tài) 用一組參量 p V T 來表示 平衡條件 1 系統(tǒng)與外界在宏觀上無能量的交換 2 系統(tǒng)的狀態(tài)參量不隨時間改變 非平衡態(tài) 不具備兩個平衡條件之一的系統(tǒng) 二 平衡態(tài)系統(tǒng) 箱子假想分成兩相同體積的部分 達到平衡時 兩側(cè)粒子有的穿越界線 但兩側(cè)粒子數(shù)相同 例如 粒子數(shù) 說明 平衡態(tài)是一種理想狀態(tài) 處在平衡態(tài)的大量分子仍在作熱運動 而且因為碰撞 每個分子的速度經(jīng)常在變 但是系統(tǒng)的宏觀量不隨時間改變 平衡態(tài)是一種熱動平衡 宏觀概念 平衡與非平衡具有相對性 熱力學(xué)系統(tǒng)在外界影響下 從一個狀態(tài)到另一個狀態(tài)的變化過程 稱為熱力學(xué)過程 簡稱過程 熱力學(xué)過程 準(zhǔn)靜態(tài)過程 準(zhǔn)靜態(tài)過程 系統(tǒng)從一平衡態(tài)到另一平衡態(tài) 如果過程中所有中間態(tài)都可以近似地看作平衡態(tài)的過程 非靜態(tài)過程 系統(tǒng)從一平衡態(tài)到另一平衡態(tài) 過程中所有中間態(tài)為非平衡態(tài)的過程 弛豫時間 從平衡態(tài)破壞到新平衡態(tài)建立所需的時間 對于實際過程 若系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化的特征時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于弛豫時間 則可近似看作準(zhǔn)靜態(tài)過程 p V圖上 一點代表一個平衡態(tài) 一條連續(xù)曲線代表一個準(zhǔn)靜態(tài)過程 這條曲線的方程稱為狀態(tài)方程 準(zhǔn)靜態(tài)過程是一種理想的極限 三 理想氣體狀態(tài)方程 理想氣體 當(dāng)系統(tǒng)處于平衡態(tài)時 各個狀態(tài)參量之間的關(guān)系式 例 氧氣瓶的壓強降到106Pa即應(yīng)重新充氣 以免混入其他氣體而需洗瓶 今有一瓶氧氣 容積為32L 壓強為1 3 107Pa 若每天用105Pa的氧氣400L 問此瓶氧氣可供多少天使用 設(shè)使用時溫度不變 解 根據(jù)題意 可確定研究對象為原來氣體 用去氣體和剩余氣體 設(shè)這三部分氣體的狀態(tài)參量分別為 使用時的溫度為T 設(shè)可供x天使用 分別對它們列出狀態(tài)方程 有 8 1熱力學(xué)系統(tǒng)的微觀結(jié)構(gòu) 由實驗可知 熱現(xiàn)象是物質(zhì)中大量分子無規(guī)則運動的集體表現(xiàn) 人們把大量分子的無規(guī)則運動叫做分子熱運動 即所謂的布朗運動 分子熱運動 大量分子做永不停息的無規(guī)則運動 一 分子熱運動的圖像 在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下 對于同一物質(zhì)氣體的密度大約為液體的1 1000 設(shè)液體分子是緊密排列的 則氣體分子之間的距離大約是分子本身線度 10 10m 的 1000 1 3倍 即10倍左右 所以把氣體看作是彼此相距很大間隔的分子集合 在連續(xù)兩次碰撞之間分子所經(jīng)歷的路程平均為10 7m 而分子的平均速率很大 約為500m s 因此 平均大約經(jīng)過10 10s 分子與分子碰撞一次 即在1s內(nèi) 一個分子將受到1010次碰撞 分子碰撞的瞬間大約是10 12s 這一時間遠(yuǎn)小于分子自由運動所經(jīng)歷的平均時間 10 10s 因此 在分子的連續(xù)兩次碰撞之間 分子的運動可看作由其慣性支配的自由運動 在氣體中 由于分子的分布相當(dāng)稀疏 分子與分子間的相互作用力 除了在碰撞的瞬間外 極其微小 分子熱運動的基本特征是永恒的運動與頻繁的相互碰撞 它與機械運動有本質(zhì)的區(qū)別 故不能簡單應(yīng)用力學(xué)定律來解決分子熱運動問題 1 無序性某個分子的運動 是雜亂無章的 無序的 無法對列出該分子所滿足的運動方程 每個分子之間的運動也不相同 即無序性 這正是熱運動與機械運動的本質(zhì)區(qū)別 二 分子熱運動的基本特征 2 統(tǒng)計性但從大量分子的整體的角度看 存在一定的統(tǒng)計規(guī)律 即統(tǒng)計性 例如 在平衡態(tài)下 氣體分子的空間分布 密度 是均勻的 分子運動是永恒的 可作假設(shè) 氣體分子向各個方向運動的機會是均等的 或者說沿各個方向運動的平均分子數(shù)應(yīng)相等且分子速度在各個方向的分量的統(tǒng)計平均值也相等 對大量分子體系的熱平衡態(tài) 它是成立的 氣體對器壁的壓強是大量分子對容器不斷碰撞的統(tǒng)計平均 8 2理想氣體的壓強公式 每個分子對器壁的作用 所有分子對器壁的作用 理想氣體的壓強公式 1 分子可以看作質(zhì)點 不占有體積本身的大小比起它們之間的平均距離可忽略不計 2 除碰撞外 分子重力及其之間的作用可忽略不計 3 分子間的碰撞是完全彈性的 一 理想氣體的分子模型 理想氣體的分子模型是彈性的自由運動的質(zhì)點 力學(xué)假設(shè) 4 氣體分子的運動遵從牛頓力學(xué)的規(guī)律 1 分子按位置的分布是均勻的 即分子數(shù)密度到處一樣 不受重力影響 3 氣體分子的速度各異 平均而言 分子速度在各個方向的分量的統(tǒng)計平均值也相等 即在各個方向上速率的各種平均值相等 二 理想氣體的分子性質(zhì) 平衡態(tài)下統(tǒng)計假設(shè) 2 分子的運動方向各不相同 而且通過碰撞不斷變化著 平均而言 氣體分子向各個方向運動的機會是均等的 沿各個方向運動的平均分子數(shù)應(yīng)相等 三 理想氣體的壓強公式 一定質(zhì)量的處于平衡態(tài)的某種理想氣體 V N m 平衡態(tài)下器壁各處壓強相同 選A1面求其所受壓強 i分子動量增量 彈性碰撞 i分子對器壁的沖量 i分子相繼與A1面碰撞的時間間隔 單位時間內(nèi)i分子對A1面的碰撞次數(shù) 單位時間內(nèi)i分子對A1面的沖量 i分子對A1面的平均沖力 所有分子對A1面的平均作用力 壓強 分子的平均平動動能 平衡態(tài)下沿著各個方向速度分量平方的平均值相等 平衡態(tài)下理想氣體的壓強公式 一 溫度的統(tǒng)計解釋 宏觀量溫度T與有關(guān)微觀量的關(guān)系 溫度是氣體分子平均平動動能大小的量度 8 3溫度的統(tǒng)計解釋 例 一容器內(nèi)裝有氣體 溫度為270C 1 壓強為1 013 105Pa時 在1m3中有多少個分子 2 在高真空時 壓強為1 33 10 5Pa 在1m3中有多少個分子 可以看到 兩者相差1010倍 解 1 按公式p nkT可知 溫度的統(tǒng)計意義 宏觀量溫度 微觀量平動動能 統(tǒng)計平均值 a 溫度實質(zhì) 統(tǒng)計概念 b 溫度反映大量分子熱運動的劇烈程度 熱運動劇烈程度 反映大量分子 例 1 在一個具有活塞的容器中盛有一定的氣體 如果壓縮氣體并對它加熱 使它的溫度從270C升到1770C 體積減少一半 求氣體壓強變化多少 2 這時氣體分子的平均平動動能變化多少 解 例理想氣體體積為V 壓強為p 溫度為T 一個分子的質(zhì)量為m k為玻爾茲曼常量 R為摩爾氣體常量 則該理想氣體的分子數(shù)為 A B C D 解 3 在同一溫度下 各種氣體分子平均平動動能均相等 熱運動與宏觀運動的區(qū)別 溫度所反映的是分子的無規(guī)則運動 它和物體的整體運動無關(guān) 物體的整體運動是其中所有分子的一種有規(guī)則運動的表現(xiàn) 1 溫度是分子平均平動動能的量度 反映熱運動的劇烈程度 2 溫度是大量分子的集體表現(xiàn) 個別分子無意義 A 溫度相同 壓強相同 B 溫度 壓強都不同 C 溫度相同 但氦氣的壓強大于氮氣的壓強 D 溫度相同 但氦氣的壓強小于氮氣的壓強 解 一瓶氦氣和一瓶氮氣密度相同 分子平均平動動能相同 而且它們都處于平衡狀態(tài) 則它們 二 氣體分子的方均根速率 氣體分子的方均根速率與氣體的熱力學(xué)溫度的平方根成正比 與氣體的摩爾質(zhì)量的平方根成反比 例 試求氮氣分子的平均平動動能和方均根速率設(shè) 1 在溫度t 10000C時 2 在溫度t 00C時 3 在溫度t 1500C時 2 同理在溫度t 00C時 解 1 在溫度t 10000C時 3 在溫度t 1500C時 一 自由度 分子運動形式多樣性導(dǎo)致能量構(gòu)成復(fù)雜性 確定一個物體的空間位置所需要的獨立坐標(biāo)數(shù)目 以剛性分子 分子內(nèi)原子間距離保持不變 為例 8 4能量均分定理理想氣體的內(nèi)能 自由度數(shù)目 平動自由度t 3 二 能量均分定理 氣體分子沿x y z三個方向運動的平均平動動能完全相等 可以認(rèn)為分子的平均平動動能均勻分配在每個平動自由度上 平衡態(tài)下 不論何種運動 相應(yīng)于每一個可能自由度的平均動能都是 能量按自由度均分定理 如果氣體分子有i個自由度 則分子的平均動能為 三 理想氣體的內(nèi)能 熱力學(xué)系統(tǒng)全部微觀粒子具有能量總和 分子間相互作用可以忽略不計 理想氣體的內(nèi)能 所有分子的熱運動動能之總和 1mol理想氣體的內(nèi)能為 一定質(zhì)量理想氣體的內(nèi)能為 溫度改變 內(nèi)能改變量為 例就質(zhì)量而言 空氣是由76 的N2 23 的O2和1 的Ar三種氣體組成 它們的分子量分別為28 32 40 空氣的摩爾質(zhì)量為28 9 10 3kg 試計算1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能 解 在空氣中 N2質(zhì)量 摩爾數(shù) O2質(zhì)量 摩爾數(shù) Ar質(zhì)量 摩爾數(shù) 1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能 8 5麥克斯韋分子速率分布定律 平衡態(tài)下 理想氣體分子速度分布是有規(guī)律的 這個規(guī)律叫麥克斯韋速度分布律 若不考慮分子速度的方向 則叫麥克斯韋速率分布律 一 氣體分子的速率分布分布函數(shù) 研究氣體分子的速率分布把速率分成若干相等區(qū)間求氣體在平衡態(tài)下分布在各區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)各區(qū)間的分子數(shù)占?xì)怏w分子總數(shù)的百分比 將速率分成若干相等的區(qū)間 如 設(shè)任一速率區(qū)間為 設(shè)總的氣體分子數(shù)為N 在該區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為 N 分布在速率v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù) 分布在速率v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率 當(dāng) 速率分布函數(shù)f v 的定義 在平衡態(tài)下 f v 僅是v的函數(shù) 注意 速率分布函數(shù)f v 的意義 分布在速率v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比 對單個分子來說 它表示分子具有速率在該單位速率間隔內(nèi)的概率 麥克斯韋速率分布曲線 二 麥克斯韋速率分布規(guī)律 理想氣體處于平衡態(tài)且無外力場 一個分子處于v v dv區(qū)間內(nèi)的概率 早在1859年 麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計概念和力學(xué)原理導(dǎo)出在平衡態(tài)下氣體分子速率分布函數(shù)的具體形式 測定分子速率分布的實驗裝置 圓筒不轉(zhuǎn) 分子束的分子都射在P處 圓筒轉(zhuǎn)動 分子束的速率不同的分子將射在不同位置 1 最概然速率 極值條件 2 平均速率 三 分子速率的三個統(tǒng)計值 對于連續(xù)分布 3 方均根速率 四 麥克斯韋速率分布曲線的性質(zhì) 2 曲線下的面積 部分 1 溫度與分子速率 溫度越高 分布曲線中的最概然速率vp增大 但歸一化條件要求曲線下總面積不變 因此分布曲線寬度增大 高度降低 3 分布曲線隨m0 T變化 m0一定 2 質(zhì)量與分子速率 分子質(zhì)量越大 分布曲線中的最概然速率vp越小 但歸一化條件要求曲線下總面積不變 因此分布曲線寬度減小 高度升高 T一定 解 1 氣體分子的分布曲線如圖 由歸一化條件 平均速率 方均速率 方均根速率為 3 速率介于0 v0 3之間的分子數(shù) 4 速率介于0 v0 3之間的氣體分子平均速率為 討論 速率介于v1 v2之間的氣體分子的平均速率的計算 對于v的某個函數(shù)g v 一般地 其平均值可以表示為 8 6玻耳茲曼分布律 一 麥克斯韋速度分布律 速度空間單位體積元內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率 即速度概率密度 氣體分子速度分布函數(shù) 麥克斯韋速度分布函數(shù) 二 玻爾茲曼分布律 若氣體分子處于恒定的外力場 如重力場 中 氣體分子分布規(guī)律如何 推廣 1 氣體分子處于外力場中 分子能量E Ep Ek 2 粒子分布不僅按速率區(qū)v v dv間分布 還應(yīng)按位置區(qū)間x x dx y y dy z z dz分布 假定體積元dxdydz中的分子數(shù)仍含有各種速率的分子 且遵守麥克斯韋分布律 在速率區(qū)間v v dv中的分子數(shù)為 等寬度區(qū)間 能量越低的粒子出現(xiàn)的概率越大 隨著能量升高 粒子出現(xiàn)的概率按指數(shù)率減小 例氫原子基態(tài)能級E1 13 6eV 第一激發(fā)態(tài)能級E2 3 4eV 求出在室溫T 270C時原子處于第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)的數(shù)目比 解 在室溫下 氫原子幾乎都處于基態(tài) 8 7分子的平均碰撞次數(shù)和平均自由程 氮氣分子在270C時的平均速率為476m s 1 克勞修斯指出 氣體分子的速度雖然很大 但前進中要與其他分子作頻繁的碰撞 每碰一次 分子運動方向就發(fā)生改變 所走的路程非常曲折 氣體分子平均速率 在相同的 t時間內(nèi) 分子由A到B的位移大小比它的路程小得多 分子自由程 氣體分子兩次相鄰碰撞之間自由通過的路程 分子碰撞頻率 在單位時間內(nèi)一個分子與其他分子碰撞的次數(shù) 大量分子的分子自由程與每秒碰撞次數(shù)服從統(tǒng)計分布規(guī)律 可以求出平均自由程和平均碰撞次數(shù) 假定 一 平均碰撞次數(shù) 運動方向上 以d為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將與分子A碰撞 一秒鐘內(nèi) 一秒鐘內(nèi)A與其它分子發(fā)生碰撞的平均次數(shù) 一切分子都在運動 平均自由程 與分子的有效直徑的平方和分子數(shù)密度成反比 當(dāng)溫度