高中數(shù)學 第一講 絕對值不等式的解法2課件 新人教A版選修45.ppt

2 絕對值不等式的解法 1 含絕對值的不等式 x a的解集 x a x a x x a或x a x r x 0 r 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 1 ax b c 2 ax b c c ax b c ax b c或ax b c 3 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法 1 利用絕對值不等式的幾何意義求解 體現(xiàn)數(shù)形結合思想 理解絕對值的幾何意義 給絕對值不等式以準確的幾何解釋 2 以絕對值的零點為分界點 將數(shù)軸分為幾個區(qū)間 利用 零點分段法 求解 體現(xiàn)分類討論的思想 確定各個絕對值符號內(nèi)多項式的 性 進而去掉絕對值符號 3 通過構造函數(shù) 利用函數(shù)的圖象求解 體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想 正確求出函數(shù)的 并畫出函數(shù)圖象 有時需要考查函數(shù)的增減性 是關鍵 正 負 零點 1 x 的幾何意義是什么 提示 x 表示數(shù)軸上的點x到原點o的距離 2 不等式 x 1 2的解集是 解析 由 x 1 2得 2 x 1 2 解得 1 x 3 答案 1 3 3 不等式 4 3x 2的解集是 解析 4 3x 2 3x 4 2 3x 4 2或3x 4 2 解得或x 2 答案 解含絕對值不等式的核心任務解含絕對值不等式的核心任務是 去絕對值 將不等式恒等變形為不含絕對值的常規(guī)不等式 然后利用已經(jīng)掌握的解題方法求解 注意不可盲目平方去絕對值符號 類型一簡單絕對值不等式的解法 典型例題 1 不等式的解集是 2 不等式的解集為 解題探究 1 不等式的幾何意義是什么 2 不等式等價于什么 探究提示 1 可化為 x 4 2 它的幾何意義是數(shù)軸上到坐標為4的點的距離不大于2的點的集合 2 解析 1 解得2 x 6 答案 2 6 2 所以原不等式的解集是 2 0 答案 2 0 拓展提升 絕對值不等式的常見類型及其解法 1 形如 f x a a r 型不等式 此類不等式的簡單解法是等價轉化法 即 當a 0時 f x a f x a或f x a f x 0 當aa f x 有意義即可 2 形如 f x g x 型不等式 此類問題的簡單解法是利用平方法 即 f x g x f x 2 g x 2 f x g x f x g x 0 3 形如 f x g x 型不等式 此類不等式的簡單解法是等價轉化法 即 f x g x f x g x 或f x g x 其中g x 可正也可負 若此類問題用分類討論法來解決 就顯得較復雜 4 形如aa 0 型不等式 此類問題的簡單解法是利用等價轉化法 即af x 型不等式 此類問題的簡單解法是利用絕對值的定義 即 f x f x f x 0 變式訓練 解不等式2 2x 3 4 解析 原不等式等價于所以原不等式的解集是 類型二含多個絕對值不等式的解法 典型例題 1 不等式 x 1 x 2 的解集為 2 不等式 x 1 x 1 3的解集為 解題探究 1 題1中如何去掉絕對值號 2 解決題2的關鍵是什么 探究提示 1 題1中可采用不等式兩邊同時平方的方式去掉絕對值符號 2 解決題2的關鍵是理解絕對值的幾何意義 解析 1 x 1 x 2 x 1 2 x 2 2所以原不等式的解集為答案 2 方法一 如圖 設數(shù)軸上與 1 1對應的點分別為a b 那么a b兩點間的距離為2 因此區(qū)間 1 1 上的數(shù)都不是不等式的解 設在a點左側有一點a1到a b兩點的距離和為3 a1對應數(shù)軸上的x 所以 1 x 1 x 3 得同理設b點右側有一點b1到a b兩點的距離和為3 b1對應數(shù)軸上的x 所以x 1 x 1 3 所以 從數(shù)軸上可看到 點a1 b1之間的點到a b的距離之和都小于3 點a1的左邊或點b1的右邊的任何點到a b的距離之和都大于3 所以原不等式的解集是 方法二 當x 1時 原不等式可以化為 x 1 x 1 3 解得當 1 x 1時 原不等式可以化為x 1 x 1 3 即2 3 不成立 無解 當x 1時 原不等式可以化為x 1 x 1 3 所以綜上 可知原不等式的解集為 方法三 將原不等式轉化為 x 1 x 1 3 0 構造函數(shù)y x 1 x 1 3 即作出函數(shù)的圖象 如圖 函數(shù)的零點是 從圖象可知當或時 y 0 即 x 1 x 1 3 0 所以原不等式的解集為答案 互動探究 若將題1中的不等式改為求它的解集 解析 又2 x 0 所以x 2 所以原不等式的解集為 誤區(qū)警示 本題易忽視隱含條件2 x 0而致誤 拓展提升 x a x b c x a x b c c 0 型不等式的解法 1 x a x b c x a x b c c 0 型不等式有三種解法 分區(qū)間 分類 討論法 圖象法和幾何法 分區(qū)間討論的方法具有普遍性 但較麻煩 幾何法和圖象法直觀 但只適用于數(shù)據(jù)較簡單的情況 2 分區(qū)間 分類 討論的關鍵在于對絕對值代數(shù)意義的理解 即也即x r x為非負數(shù)時 x 為x x為負數(shù)時 x 為 x 即x的相反數(shù) 3 x a x b c x a x b c c 0 型不等式的圖象解法和畫出函數(shù)f x x a x b c的圖象是密切相關的 其圖象是折線 正確地畫出其圖象的關鍵是寫出f x 的分段表達式 不妨設a b 于是這種圖象法的關鍵是合理構造函數(shù) 正確畫出函數(shù)的圖象 求出函數(shù)的零點 體現(xiàn)了函數(shù)與方程結合 數(shù)形結合的思想 變式訓練 解不等式 x 1 2 x 2 解析 原不等式可等價轉化為或或解不等式組得或所以原不等式的解集為或 其他類型的絕對值不等式 典型例題 1 不等式 2x 3 3x 1的解集是 2 設函數(shù)f x x 1 x a 如果對任意x r f x 2 則a的取值范圍是 3 解不等式 x2 3 2x 解析 1 2x 3 0 原不等式轉化為 3x 1 2x 3 3x 1 以上不等式等價于所以原不等式的解集為答案 2 若a 1 則f x 2 x 1 不滿足題設條件 若a1 則 f x 的最小值為a 1 綜上可知 所求a的取值范圍是 1 3 答案 1 3 3 因為 x2 3 2x 所以x 0 所以 x2 3 2x 2x x2 3 2x 解不等式組得 拓展提升 含參數(shù)的不等式問題分類及解題策略 1 一類要對參數(shù)進行討論 另一類對參數(shù)并沒有進行討論 而是去絕對值時對變量進行討論 得到兩個不等式組 最后把兩不等式組的解集合并 即得該不等式的解集 2 解絕對值不等式的基本思想是想方設法去掉絕對值符號 去絕對值符號的常用手段有以下幾種 形如 f x g x 或 f x g x 的求解方法 根據(jù)實數(shù)的絕對值的意義分類討論 即 根據(jù)公式 x 0 f x a x a或xg x f x g x 或f x g x 根據(jù) a 2 a2 a r 若不等式兩邊非負 可在不等式兩邊同時平方 如 f x g x f2 x g2 x 規(guī)范解答 含參數(shù)的絕對值不等式的解法 典例 規(guī)范解答 因為a r 故分以下兩種情況討論 1 當a 1 0 即a 1時 條件分析 原不等式無解 即不等式的解集為 4分 2 當a 1 0 即a 1時 6分原不等式可變?yōu)?a 1 1時 原不等式的解集為 當a 1時 原不等式的解集為 12分 失分警示 防范措施 含參數(shù)的絕對值不等式解含參數(shù)的絕對值不等式的題型 容易忽略對參數(shù)的符號進行討論 如本例需對a 1的符號進行討論 否則易導致錯誤結果 類題試解 解關于x的不等式 x2 a 0時 原不等式等價于 a0時 原不等式的解集為 1 不等式 x 1 1的解集為 a 0 2 b 2 c 1 2 d 0 2 解析 選a x 1 1 1 x 1 1 0 x 2 2 不等式 2x log2x 1d x 2 解析 選c 由 a b a b 其中等號成立的條件為 ab 0 所以原不等式成立 即2x log2x 0 所以x 1 3 的解集是 a x 3 x 5 b x 3 x 5且x 2 c x 3 x 5 d x 3 x 5且x 2 解析 選b 因為分母 x 2 0且x 2 所以原不等式等價于 x 1 4 0 即 x 1 4 所以 4 x 1 4 即 3 x 5 4 不等式 x 3 2 x 的解集是 解析 由 x 3 2 x 得 x 3 2 2 x 2 所以10 x 5 即答案 5 若不等式