初中數(shù)學培優(yōu)競賽講座第18講--乘法公式.doc

第十八講 乘法公式 乘法公式是在多項式乘法的基礎(chǔ)上，將多項式乘法的一般法則應用于一些特殊形式的多項式相乘，得出的既有特殊性、又有實用性的具體結(jié)論，在復雜的數(shù)值計算，代數(shù)式的化簡求值、代數(shù)式的恒等變形、代數(shù)等式的證明等方面有著廣泛的應用，在學習乘法公式時，應該做到以下幾點： 1熟悉每個公式的結(jié)構(gòu)特征，理解掌握公式； 2根據(jù)待求式的特點，模仿套用公式； 3對公式中字母的全面理解，靈活運用公式；4既能正用、又可逆用且能適當變形或重新組合，綜合運用公式例題 【例1】 (1)已知兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差為2000，則這兩個連續(xù)奇數(shù)可以是 (江蘇省競賽題) (2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= (重慶市競賽題) 思路點撥 (1)建立兩個連續(xù)奇數(shù)的方程組；(2)視(2000一a)(1998一a)為整體，由平方和想到完全平方公式及其變形 注：公式是怎樣得出來的?一種是由已知的公式，通過推導，得到一些新的公式；另一種是從大量的特殊的數(shù)量關(guān)系入手，并用字母表示數(shù)來揭示一類數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律一公式 從特殊到一般的過程是人類認識事物的一般規(guī)律，而觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律最常用的方法 乘法公式常用的變形有： (1)， (2)； (3) ； （4），【例2】 若x是不為0的有理數(shù)，已知，則M與N的大小是（ ） AMN B M0，bo)，丙商場：第一次提價的百分率為b，第二次提價的百分率為a，則哪個商場提價最多?說明理由 (河北省競賽題) 思路點拔 對于(1)，(2)兩個未知數(shù)一個等式或不等式，須運用特殊方法與手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解題的關(guān)鍵是拆項與重組；對于(3)把三個商場經(jīng)兩次提價后的價格用代數(shù)式表示，作差比較它們的大小注： 有些問題常常不能直接使用公式，而需要創(chuàng)造條件，使之符合乘法公式的特點，才能使用公式常見的方法是：分組、結(jié)合，拆添項、字母化等 完全平方公式逆用可得到兩個應用廣泛的結(jié)論： (1)； 揭示式子的非負性，利用非負數(shù)及其性質(zhì)解題 (2) 應用于代數(shù)式的最值問題 代數(shù)等式的證明有以下兩種基本方法：(1) 由繁到簡，從一邊推向另一邊； (2)相向而行，尋找代換的等量 【例5】 已知a、b、c均為正整數(shù)，且滿足，又a為質(zhì)數(shù) 證明：(1)b與c兩數(shù)必為一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方數(shù)思路點撥 從的變形入手；，運用質(zhì)數(shù)、奇偶數(shù)性質(zhì)證明學力訓練1觀察下列各式： (x一1)(x+1)x2一l； (x一1)(x2+x+1)=x3一1； (x一1)(x3十x2+x+1)=x4一1 根據(jù)前面的規(guī)律可得(x一1)(x n+x n-1+x+1)= (武漢市中考題)2已知，則= (杭州市中考題)3計算： (1)1.23452+0.76552+2.4690.7655： ； (2)19492一19502+19512一19522+19972一19982+19992 = ； (3) 4如圖是用四張全等的矩形紙片拼成的圖形，請利用圖中空白部分的面積的不同表示方法寫出一個關(guān)于a、b的恒等式 (大原市中考題)5已知，則= (菏澤市中考題)6已知，則代數(shù)式的值為( ) A一15 B一2 C一6 D6 (揚州市中考題)7乘積等于( )A B C D (重慶市競賽題)8若，則的值是( ) A4 B20022 C 22002 D420029若，則的個位數(shù)字是( ) A1 B3 C 5 D710如圖，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形(ab)，把余下的部分剪拼成一個矩形(如圖)，通過計算兩個圖形(陰影部分)的面積，驗證了一個等式，則這個等式是( )A BC D (陜西省中考題)11(1)設(shè)x+2z3z，判斷x2一9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否則請說明理由 (2)已知x2一2x=2，將下式先化簡，再求值：(x1)2+(x+3)(x一3)+(x一3)(x一1) (上海市中考題)12一個自然數(shù)減去45后是一個完全平方數(shù)，這個自然數(shù)加上44后仍是一個完全平方數(shù)，試求這個自然數(shù)13觀察： (1)請寫出一個具有普遍性的結(jié)論，并給出證明； (2)根據(jù)(1)，計算2000200120022003+1的結(jié)果(用一個最簡式子表示) (黃岡市競賽題)14你能很快算出19952嗎? 為了解決這個問題，我們考察個位上的數(shù)字為5的自然數(shù)的平方，任意一個個位數(shù)為5的自然數(shù)可寫成l0n+5(n為自然數(shù))，即求(10n+5)2的值，試分析 n=1，n=2，n3這些簡單情形，從中探索其規(guī)律，并歸納猜想出結(jié)論(1)通過計算，探索規(guī)律 152225可寫成1001(1+1)+25；252=625可寫成1002(2+1)+25；352=1225可寫成100 3(3+1)+25；4522025可寫成1004(4+1)+25；7525625可寫成 ；8527225可寫成 (2)從第(1)題的結(jié)果，歸納、猜想得(10n+5)2= (3)根據(jù)上面的歸納猜想，請算出19952 (福建省三明市中者題)15已知，則= (天津市選拔賽試題)16(1)若x+y10，x3+y3=100，則x2+y2 (2)若a-b=3，則a3-b3-9ab 171，2，3，98共98個自然數(shù)中，能夠表示成兩整數(shù)的平方差的個數(shù)是 (初中數(shù)學聯(lián)賽)18已知a-b=4，ab+c2+4=0，則a+b=( ) A4 B0 C2 D一219方程x2-y2=1991，共有( )組整數(shù)解 A6 B7 C8 D920已知a、b滿足等式，則x、y的大小關(guān)系是( ) Axy Bxy Cxy (大原市競賽題)21已知a=1999x+2000，b1999x+2001，c1999x+2002，則多項式a2+b2+c2一abbc-ac的值為( ) A0 B1 C2 D3 (全國初中數(shù)學競賽題)22設(shè)a+b=1，a2+b2=2，求a7+b7的值 (西安市競賽題)23已知a滿足等式a2-a-1=0，求代數(shù)式的值 (河北省競賽題)24若，且，求證： (北京市競賽題)25有l(wèi)0位乒乓球選手進行單循環(huán)賽(每兩人間均賽一場)，用xl，y1順次表示第一號選手勝與負的場數(shù)；用x2，y2順次表示第二號選手勝與負的場數(shù)；用x10、y10順次表示十號選手勝與負的場數(shù) 求證：26（1）請觀察： 寫出表示一般規(guī)律的等式，并加以證明 (2)2652+12，53=72+22，2653=1378，1378=372+32 任意挑選另外兩個類似26、53的數(shù)，使它們能表示成兩個平方數(shù)的和，把這兩個數(shù)相乘，乘積仍然是兩個平方數(shù)的和嗎?你能說出其中的道理嗎? 注：有人稱這樣的數(shù)“不變心的數(shù)”數(shù)學中有許多美妙的數(shù)，通