全稱量詞與存在量詞(恢復(fù))

1 4全稱量詞與存在量詞 思考1 下列語句是命題嗎 1 與 3 2 與 4 之間有什么關(guān)系 1 x 3 2 2x 1是整數(shù) 3 對所有的x R x 3 4 對任意一個x z 2x 1是整數(shù) 1 2 不是命題 但是 3 4 是陳述句 并且能判定真假 所以 3 4 是命題 情景設(shè)置一 思考2 語句 1 與 3 有什么不同 思考3 語句 3 和 4 有什么共同特點(diǎn) 思考2 語句 1 與 3 有什么不同 提示 語句 3 在 1 的基礎(chǔ)上 加了對x范圍的限定條件 對所有x R 能夠判斷真假變成了命題 思考3 語句 3 和 4 有什么共同特點(diǎn) 提示 都有對變量x的限定條件 對所有的x R 對任意一個x Z 常見的全稱量詞有 對所有的 對任意一個 對一切 對每一個 任給 所有的 等 短語 對所有的 對任意一個 在邏輯中通常叫做全稱量詞 并用符號 表示 含有全稱量詞的命題 叫做全稱命題 新知探究一 全稱命題 全稱命題 對M中任意一個x有p x 成立 可用符號簡記為讀作 對任意x屬于M 有p x 成立 一 你能否舉出一些全稱命題的例子 例如 命題 對任意的n Z 2n 1是奇數(shù) 所有的正方形都是矩形 三角形的內(nèi)角和是180 等都是全稱命題 例1 判斷下列全稱命題的真假 1 所有的素數(shù)都是奇數(shù) 2 x R x2 1 1 3 對每一個無理數(shù)x x2也是無理數(shù) 解 1 2是素數(shù) 但2不是奇數(shù) 所以 全稱命題 所有的素數(shù)都是奇數(shù) 是假命題 2 x R 總有x2 0 因而x2 1 1 所以 全稱命題 x R x2 1 1 是真命題 3 2是無理數(shù) 但 2 2是有理數(shù) 所以 全稱命題 對每一個無理數(shù)x x2也是無理數(shù) 是假命題 全稱命題強(qiáng)調(diào)命題的一般性 對一個全稱命題真假的判斷 1 要證明它是真命題 需對集合M中的每一個元素x 證明p x 成立 2 要判斷它是假命題 只要在集合M中找到一個元素x0 使p x0 不成立即可 規(guī)律 方法 總結(jié) 練習(xí)1 判斷下列命題是否是全稱命題 并判斷真假 1 每個指數(shù)函數(shù) 都是單調(diào)函數(shù) 2 任何實數(shù)都有算術(shù)平方根 3 x0 x x是無理數(shù) x02是無理數(shù) 真命題 假命題 假命題 思考1 下列語句是命題嗎 1 與 3 2 與 4 之間有什么關(guān)系 1 2x 1 3 2 x能被2和3整除 3 存在一個x0 R 使2x0 1 3 4 至少有一個能被2和3整除 1 2 不是命題 但是 3 4 是陳述句 并且能判定真假 所以 3 4 是命題 情景設(shè)置二 思考2 語句 3 和 4 量詞有何特點(diǎn) 與全稱量詞有何區(qū)別 提示 語句 3 4 在 1 2 的基礎(chǔ)上 加了短語 存在一個 至少有一個 對變量進(jìn)行了限定 短語 存在一個 至少有一個 在邏輯上通常叫做存在量詞 并用符號 表示 含有存在量詞的命題 叫做特稱命題 常見的存在量詞有 存在一個 至少有一個 有些 有一個 有的 對某個 等 新知探究二 特稱命題 特稱命題 存在M中的一個x 使p x 成立 可用符號簡記為讀作 存在一個x0 使p x0 成立 例2 判斷下列特稱命題的真假 1 有一個實數(shù)x0 使x02 2x0 3 0 2 存在兩個相交平面 垂直于同一條直線 3 有些整數(shù)只有兩個正因數(shù) 解 1 由于x R x2 2x 3 x 1 2 2 2 因此使x2 2x 3 0的實數(shù)x不存在 所以 特稱命題 有一個實數(shù)x0 使x02 2x0 3 0 是假命題 2 由于垂直于同一條直線的兩個平面是相互平行的 因此不存在兩個相交的平面垂直于同一條直線 所以 特稱命題 存在兩個相交平面垂直于同一條直線 是假命題 3 由于存在整數(shù)3只有兩個正因數(shù)1和3 所以特稱命題 有些數(shù)只有兩個正因數(shù) 是真命題 特稱命題強(qiáng)調(diào)結(jié)論的存在性 對一個特稱命題真假的判斷 1 要證明它是真命題 只需在集合M中 找到一個元素x0 使p x0 成立即可 2 要判斷它是假命題 需對集合M中的每一個元素x 證明p x 不成立 練習(xí)2 判斷下列命題是否是特稱命題 并判斷真假 1 x0 R x0 0 2 至少有一個整數(shù) 它不是合數(shù) 也不是素數(shù) 3 x0 x x是無理數(shù) x02是無理數(shù) 4 有些內(nèi)接于圓的四邊形是等腰梯形 5 存在一個三角形 它的內(nèi)角和小于1800 真命題 真命題 真命題 真命題 假命題 思考應(yīng)用 1 全稱命題中一定含有全稱量詞嗎 2 同一個全稱命題或特稱命題的表達(dá)形式唯一嗎 思考應(yīng)用 1 全稱命題中一定含有全稱量詞嗎 提示 對于含有一個量詞的命題 容易知道它是全稱命題或特稱命題 一般地 省略了量詞的命題是全稱命題 可加上 所有的 或 對任意 如 三角形的內(nèi)角和是180 2 同一個全稱命題或特稱命題的表達(dá)形式唯一嗎 提示 不唯一 因為采用的自然語言不同 其表達(dá)形式也可以不同 練習(xí) 判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題 并判斷真假 1 末位是0的整數(shù) 可以被5整除 2 線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等 3 負(fù)數(shù)的平方是正數(shù) 4 梯形的對角線相等 5 有些實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù) 6 有些三角形不是等腰三角形 7 有些菱形是正方形 8 存在兩個三角形全等 這兩三角形面積不相等 真命題 真命題 真命題 假命題 真命題 真命題 真命題 假命題 用符號 與 表示下列含有量詞的命題 1 自然數(shù)的平方大于零 2 圓x2 y2 r2上的任一點(diǎn)到圓心的距離是r 3 存在一對整數(shù)x y 使得2x 4y 3 4 存在一個無理數(shù) 它的立方是有理數(shù) n N n2 0 P P P在圓x2 y2 r2上 OP r O為圓心 x y x y x y是整數(shù) 2x 4y 3 x x x是無理數(shù) x3 q q是有理數(shù) 總結(jié) 一 全稱量詞 1 所有的 任意一個 每一個 任何的 都是 2 全稱命題x M p x 3 判斷真假的方法 要證明它是真命題 需對集合M中的每一個元素x證明p x 成立 要判斷它是假命題 只要在集合M中找到一個元素x0 使p