14.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

要點梳理1 函數(shù)的單調(diào)性在 a b 內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f x f x 在 a b 任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0 f x 0 f x 為 f x 0 f x 為 14 2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 增函數(shù) 減函數(shù) 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 2 函數(shù)的極值 1 判斷f x0 是極值的方法一般地 當(dāng)函數(shù)f x 在點x0處連續(xù)時 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么f x0 是極大值 如果在x0附近的左側(cè) 右側(cè) 那么f x0 是極小值 2 求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 求f x 求方程的根 檢查f x 在方程的根左右值的符號 如果左正右負(fù) 那么f x 在這個根處取得 如果左負(fù)右正 那么f x 在這個根處取得 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 極大值 極小值 3 函數(shù)的最值 1 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù)的函數(shù)f x 在 a b 上必有最大值與最小值 2 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞增 則為函數(shù)的最小值 為函數(shù)的最大值 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)遞減 則為函數(shù)的最大值 為函數(shù)的最小值 3 設(shè)函數(shù)f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步驟如下 求f x 在 a b 內(nèi)的 將f x 的各極值與比較 其中最大的一個是最大值 最小的一個是最小值 f b f a f b 極值 f a f b f a 4 生活中的優(yōu)化問題解決優(yōu)化問題的基本思路是 基礎(chǔ)自測1 函數(shù)y x3 3x的單調(diào)遞減區(qū)間是 A 0 B 0 C 1 1 D 1 1 解析 y 3x2 3 由3x2 3 0 得 1 x 1 C 2 函數(shù)f x x3 ax 2在區(qū)間 1 上是增函數(shù) 則實數(shù)a的取值范圍是 A 3 B 3 C 3 D 3 解析 f x x3 ax 2在 1 上是增函數(shù) f x 3x2 a 0在 1 上恒成立 即a 3x2在 1 上恒成立 又 在 1 上 3x2 3 a 3 B 3 函數(shù)y 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值 最小值分別是 A 5 15B 5 4C 4 15D 5 16解析 y 6x2 6x 12 0 得x 1 舍去 或2 故函數(shù)y f x 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最值可能是x取0 2 3時的函數(shù)值 而f 0 5 f 2 15 f 3 4 故最大值為5 最小值為 15 A 4 函數(shù)f x 的定義域為開區(qū)間 a b 導(dǎo)函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)的圖象如圖所示 則函數(shù)f x 在開區(qū)間 a b 內(nèi)有極小值點 A 1個B 2個C 3個D 4個解析f x 0時 f x 單調(diào)遞增 f x 0時 f x 單調(diào)遞減 極小值點應(yīng)在先減后增的特殊點 即f x 0 f x 0 f x 0 由圖象可知只有1個極小值點 A 5 2009 遼寧文 15 若函數(shù)f x 在x 1處取極值 則a 解析因為f x 在x 1處取極值 所以1是f x 0的根 將x 1代入得a 3 3 題型一函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 例1 已知函數(shù)f x x3 ax 1 1 若f x 在實數(shù)集R上單調(diào)遞增 求實數(shù)a的取值范圍 2 是否存在實數(shù)a 使f x 在 1 1 上單調(diào)遞減 若存在 求出a的取值范圍 若不存在 請說明理由 求f x f x 0或f x 0恒成立 a的范圍 思維啟迪 題型分類深度剖析 解 1 由已知f x 3x2 a f x 在 上是增函數(shù) f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2對x R恒成立 3x2 0 只要a 0 又 a 0時 f x 3x2 0 f x x3 1在R上是增函數(shù) a 0 2 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 a 3x2在x 1 1 上恒成立 又 1 x 1 3x2 3 只需a 3 當(dāng)a 3時 f x 3 x2 1 在x 1 1 上 f x 0 即f x 在 1 1 上為減函數(shù) a 3 故存在實數(shù)a 3 使f x 在 1 1 上單調(diào)遞減 探究提高利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便 但應(yīng)注意f x 0 或f x 0 僅是f x 在某個區(qū)間上為增函數(shù) 或減函數(shù) 的充分條件 在 a b 內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f x 在 a b 上遞增 或遞減 的充要條件應(yīng)是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立 且f x 在 a b 的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0 這就是說 函數(shù)f x 在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個別點處有f x0 0 甚至可以在無窮多個點處f x0 0 只要這樣的點不能充滿所給區(qū)間的任何一個子區(qū)間 因此 在已知函數(shù)f x 是增函數(shù) 或減函數(shù) 求參數(shù)的取值范圍時 應(yīng)令f x 0 或f x 0 恒成立 解出參數(shù)的取值范圍 一般可用不等式恒成立理論求解 然后檢驗參數(shù)的取值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去 若f x 不恒為0 則由f x 0 或f x 0 恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定 知能遷移1已知f x ex ax 1 1 求f x 的單調(diào)增區(qū)間 2 若f x 在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增 求a的取值范圍 3 是否存在a 使f x 在 0 上單調(diào)遞減 在 0 上單調(diào)遞增 若存在 求出a的值 若不存在 說明理由 解f x ex a 1 若a 0 f x ex a 0恒成立 即f x 在R上遞增 若a 0 ex a 0 ex a x lna f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 lna 2 f x 在R內(nèi)單調(diào)遞增 f x 0在R上恒成立 ex a 0 即a ex在R上恒成立 a ex min 又 ex 0 a 0 3 方法一由題意知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 ex在 0 上為增函數(shù) x 0時 ex最大為1 a 1 同理可知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 a 1 a 1 方法二由題意知 x 0為f x 的極小值點 f 0 0 即e0 a 0 a 1 題型二函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 例2 設(shè)x 1與x 2是函數(shù)f x alnx bx2 x的兩個極值點 1 試確定常數(shù)a和b的值 2 試判斷x 1 x 2是函數(shù)f x 的極大值點還是極小值點 并說明理由 1 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在極值點處的函數(shù)值為0 列方程組求解 2 極大值點與極小值點的判斷應(yīng)根據(jù)極值點的定義判斷 思維啟迪 解 1 f x 2bx 1 函數(shù)定義域為 0 列表 x 1是f x 的極小值點 x 2是f x 的極大值點 此題屬于逆向思維 但仍可根據(jù)函數(shù)極值的步驟求解 但要注意極值點與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系 利用這一關(guān)系 f x 0 建立字母系數(shù)的方程 通過解方程 組 確定字母系數(shù) 從而解決問題 探究提高 知能遷移2已知函數(shù)f x ax3 bx2 3x在x 1處取得極值 1 討論f 1 和f 1 是函數(shù)f x 的極大值還是極小值 2 過點A 0 16 作曲線y f x 的切線 求此切線方程 解 1 f x 3ax2 2bx 3 依題意 3a 2b 3 03a 2b 3 0 f 1 f 1 0 即 解得a 1 b 0 f x x3 3x f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1 x 1 若x 1 1 則f x 0 故f x 在 1 上是增函數(shù) f x 在 1 上是增函數(shù) 若x 1 1 則f x 0 故f x 在 1 1 上是減函數(shù) 所以f 1 2是極大值 f 1 2是極小值 2 曲線方程為y x3 3x 點A 0 16 不在曲線上 設(shè)切點為M x0 y0 則點M的坐標(biāo)滿足y0 3x0 因f x0 3 1 故切線的方程為y y0 3 1 x x0 注意到點A 0 16 在切線上 有16 x 3x0 3 x 1 0 x0 化簡得x 8 解得x0 2 所以 切點為M 2 2 切線方程為9x y 16 0 題型三函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 例3 已知a為實數(shù) 且函數(shù)f x x2 4 x a 1 求導(dǎo)函數(shù)f x 2 若f 1 0 求函數(shù)f x 在 2 2 上的最大值 最小值 先求函數(shù)的極值 然后再與端點值進(jìn)行比較 確定最值 解 1 f x x3 ax2 4x 4a 得f x 3x2 2ax 4 思維啟迪 2 因為f 1 0 所以a 有f x x3 x2 4x 2 所以f x 3x2 x 4 又f x 0 所以x 或x 1 又f f 1 f 2 0 f 2 0 所以f x 在 2 2 上的最大值 最小值分別為 探究提高在解決類似的問題時 首先要注意區(qū)分函數(shù)最值與極值的區(qū)別 求解函數(shù)的最值時 要先求函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)所有使f x 0的點 再計算函數(shù)y f x 在區(qū)間內(nèi)所有使f x 0的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值 最后比較即得 知能遷移3已知a為實數(shù) 函數(shù)f x x2 1 x a 若f 1 0 求函數(shù)y f x 在 1 上的最大值和最小值 解 f x 3x2 2ax 1 又f 1 0 3 2a 1 0 即a 2 f x 3x2 4x 1 3 x x 1 由f x 0 得x 1或x 由f x 0 得 1 x 因此函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 1 1 單調(diào)遞減區(qū)間為 1 f x 在x 1取得極大值為f 1 2 f x 在x 取得極小值為f 又 f f 1 6 且 f x 在 1 上的最大值為f 1 6 最小值為f 題型四生活中的優(yōu)化問題 例4 12分 某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品 每件產(chǎn)品的成本為3元 并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元 3 a 5 的管理費 預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元 9 x 11 時 一年的銷售量為 12 x 2萬件 1 求分公司一年的利潤L 萬元 與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式 2 當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時 分公司一年的利潤L最大 并求出L的最大值Q a 思維啟迪 關(guān)鍵抽象出具體函數(shù)關(guān)系式 運用導(dǎo)數(shù)去解決 解 1 分公司一年的利潤L 萬元 與售價x的函數(shù)關(guān)系式為 L x 3 a 12 x 2 x 9 11 2分 2 L x 12 x 2 2 x 3 a 12 x 12 x 18 2a 3x 令L 0得x 6 a或x 12 不合題意 舍去 4分 3 a 5 8 6 a 在x 6 a兩側(cè)L 的值由正變負(fù) 所以 當(dāng)8 6 a 9即3 a 時 Lmax L 9 9 3 a 12 9 2 9 6 a 7分 當(dāng)9 6 a 即 a 5時 Lmax L 6 a 6 a 3 a 12 6 a 2 4 3 a 3 10分 9 6 a 3 a 4 3 a 3 a 5 11分 答若3 a 則當(dāng)每件售價為9元時 分公司一年的利潤L最大 最大值Q a 9 6 a 萬元 若 a 5 則當(dāng)每件售價為 6 a 元時 分公司一年的利潤L最大 最大值Q a 4 3 a 3 萬元 12分 所以Q a 探究提高 1 解決優(yōu)化問題的基本思路是 2 求函數(shù)最值時 不僅可用導(dǎo)數(shù) 也可以選擇更為適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?知能遷移4 2009 山東理 21 兩縣城A和B相距20km 現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠 其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關(guān) 對城A和城B的總影響度為對城A與對城B的影響度之和 記C點到城A的距離為xkm 建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y 統(tǒng)計調(diào)查表明 垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比 比例系數(shù)為4 對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比 比例系數(shù)為k 當(dāng)垃圾處理廠建在弧的中點時 對城A和城B的總影響度為0 065 1 將y表示成x的函數(shù) 2 討論 1 中函數(shù)的單調(diào)性 并判斷弧上是否存在一點 使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小 若存在 求出該點到城A的距離 若不存在 說明理由 解 1 根據(jù)題意 ACB 90 AC xkm BC km 且建在C處的垃圾處理廠對城A的影響度為 對城B的影響度為因此 總影響度 0 x 20 又因為垃圾處理廠建在弧的中點時 對城A和城B的總影響度為0 065 則有 0 065 解得k 9 所以 0 x 20 由y 0解得x 4或x 4 舍去 易知4 0 20 y y 隨x的變化情況如下表 由表可知 函數(shù)在 0 4 內(nèi)單調(diào)遞減 在 4 20 內(nèi)單調(diào)遞增 y最小值 y x 4 此時x 4 故在上存在C點 使得建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小 該點與城A的距離為4km 方法與技巧1 注意單調(diào)函數(shù)的充要條件 尤其對于已知單調(diào)性求參數(shù)值 范圍 時 隱含恒成立思想 2 求極值 最值時 要求步驟規(guī)范 表格齊全 含參數(shù)時 要討論參數(shù)的大小 3 在實際問題中 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點 那么只要根據(jù)實際意義判定最大值還是最小值即可 不必再與端點的函數(shù)值比較 思想方法感悟提高 失誤與防范1 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時要養(yǎng)成列表的習(xí)慣 可使問題直觀且有條理 減少失分的可能 2 求函數(shù)最值時 不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點就是最值點 要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論 3 要強(qiáng)化自己用導(dǎo)數(shù)知識處理函數(shù)最值 單調(diào)性 方程的根 不等式的證明等數(shù)學(xué)問題的意識 一 選擇題1 函數(shù)y x3 2ax a在 0 1 內(nèi)有極小值 則實數(shù)a的取值范圍是 A 0 3 B 0 C 0 D 3 解析令y 3x2 2a 0 得x a 0 否則函數(shù)y為單調(diào)增函數(shù) 若函數(shù)y x3 2ax a在 0 1 內(nèi)有極小值 則 1 0 a B 定時檢測 2 已知f x 2x3 6x2 m m為常數(shù) 在 2 2 上有最大值3 那么此函數(shù)在 2 2 上的最小值是 A 37B 29C 5D 以上都不對解析 f x 6x2 12x 6x x 2 f x 在 2 0 上為增函數(shù) 在 0 2 上為減函數(shù) 當(dāng)x 0時 f x m最大 m 3 從而f 2 37 f 2 5 最小值為 37 A 3 2008 福建文 11 如果函數(shù)y f x 的圖象如圖所示 那么導(dǎo)函數(shù)y f x 的圖象可能是 A 解析由y f x 的圖象可知其單調(diào)性從左向右依次為增減增減 所以其導(dǎo)數(shù)y f x 的函數(shù)值依次為正負(fù)正負(fù) 由此可排除B C D 4 2008 湖北理 7 若f x x2 bln x 2 在 1 上是減函數(shù) 則b的取值范圍是 A 1 B 1 C 1 D 1 解析由題意知f x x 0 x 1 即f x 0 即 x2 2x b x 1 2 1 b 0 1 b 0 b 1 C 5 若函數(shù)f x x3 6bx 3b在 0 1 內(nèi)有極小值 則實數(shù)b的取值范圍是 A 0 1 B 1 C 0 D 0 解析 f x 3x2 6b 由題意 函數(shù)f x 圖象如右 f 0 0 f 1 0 6b 0 3 6b 0 D 即 得0 b 6 函數(shù)f x x3 ax2 bx a2在x 1處有極值10 則 A a 11 b 4B a 4 b 11C a 11 b 4D a 4 b 11解析由f x x3 ax2 bx a2 得f x 3x2 2ax b f 1 0 2a b 3 0 f 1 10 a2 a b 1 10 a 4 a 3 b 11 b 3 D 根據(jù)已知條件 即 或 解得 經(jīng)檢驗應(yīng)舍去 二 填空題7 2009 江蘇 3 函數(shù)f x x3 15x2 33x 6的單調(diào)減區(qū)間為 解析 f x 3x2 30 x 33 3 x 11 x 1 令f x 0得 1 x 11 函數(shù)f x x3 15x2 33x 6的單調(diào)減區(qū)間為 1 11 1 11 8 已知函數(shù)f x x3 ax在區(qū)間 1 1 上是增函數(shù) 則實數(shù)a的取值范圍是 解析由題意應(yīng)有f x 3x2 a 0 在區(qū)間 1 1 上恒成立 則a 3x2 x 1 1 恒成立 故a 3 a 3 9 函數(shù)f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 有極大值又有極小值 則a的取值范圍是 解析 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 f x 3x2 6ax 3 a 2 令3x2 6ax 3 a 2 0 即x2 2ax a 2 0 函數(shù)f x 有極大值和極小值 方程x2 2ax a 2 0有兩個不相等的實根 即 4a2 4a 8 0 a 2或a 1 a 2或a 1 三 解答題10 已知向量a x2 x 1 b 1 x t 若函數(shù)f x a b在區(qū)間 1 1 上是增函數(shù) 求t的取值范圍 解f x a b x2 1 x t x 1 x3 x2 tx t f x 3x2 2x t f x 在 1 1 上是增函數(shù) 3x2 2x t 0在x 1 1 上恒成立 t 3x2 2x 令g x 3x2 2x x 1 1 g x 5 t 5 11 已知a是實數(shù) 函數(shù)f x x2 x a 1 若f 1 3 求a的值及曲線y f x 在點 1 f 1 處的切線方程 2 求f x 在區(qū)間 0 2 上的最大值 解 1 f x