華東師大版八年級數(shù)學(xué)下冊第19章矩形菱形與正方形19.3正方形第2課時

19 3正方形第2課時 1 正方形的常用判定方法 重點 2 正方形與矩形 菱形的關(guān)系及正方形性質(zhì)與判定的靈活運用 難點 一 正方形的判定 1 有一個角是 的 為正方形 2 有一組鄰邊 的 是正方形 二 平行四邊形 矩形 菱形 正方形的關(guān)系 直角 菱形 相等 矩形 正方形 打 或 1 一組鄰邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形 2 兩條對角線垂直平分的矩形是正方形 3 有一個角是直角的平行四邊形是正方形 4 對角線垂直且相等的四邊形是正方形 知識點正方形的判定 例 2013 南京中考 如圖 在四邊形ABCD中 AB BC 對角線BD平分 ABC P是BD上一點 過點P作PM AD PN CD 垂足分別為M N 1 求證 ADB CDB 2 若 ADC 90 求證 四邊形MPND是正方形 思路點撥 1 BD平分 ABC AB BC ABD CBD 結(jié)論 2 PM AD PN CD ADC 90 四邊形MPND是矩形 由角平分線的性質(zhì) PM PN 結(jié)論 自主解答 1 BD平分 ABC ABD CBD 又 BA BC BD BD ABD CBD ADB CDB 2 PM AD PN CD PMD PND 90 又 ADC 90 四邊形MPND是矩形 ADB CDB PM AD PN CD PM PN 矩形MPND是正方形 總結(jié)提升 判定正方形的三步法 1 先證明它是平行四邊形 2 再證明有一組鄰邊相等 或一個角是直角 3 最后證明它有一個角是直角 或有一組鄰邊相等 題組 正方形的判定1 下列說法不正確的是 A 有一個角是直角的菱形是正方形B 兩條對角線相等的菱形是正方形C 對角線互相垂直的矩形是正方形D 四條邊都相等的四邊形是正方形 解析 選D 四條邊都相等的四邊形是菱形 不一定是正方形 A B C選項均符合正方形的判定 是正方形 2 如圖 在四邊形ABCD中 AB BC CD DA 對角線AC與BD相交于點O 若不增加任何字母與輔助線 要使四邊形ABCD是正方形 則還需增加一個條件是 解析 在四邊形ABCD中 AB BC CD DA 四邊形ABCD是菱形 要使菱形ABCD是正方形 則還需增加一個條件可以是AC BD或AB BC 答案 AC BD 答案不唯一 3 如圖 點O是線段AB上的一點 OA OC OD平分 AOC交AC于點D OF平分 COB CF OF于點F 1 求證 四邊形CDOF是矩形 2 當(dāng) AOC為多少度時 四邊形CDOF是正方形 并說明理由 解析 1 OD平分 AOC OF平分 COB AOC 2 COD COB 2 COF AOC BOC 180 2 COD 2 COF 180 COD COF 90 DOF 90 OA OC OD平分 AOC OD AC AD DC CDO 90 CF OF CFO 90 四邊形CDOF是矩形 2 當(dāng) AOC 90 時 四邊形CDOF是正方形 理由如下 AOC 90 AD DC OD DC 又由 1 知四邊形CDOF是矩形 則矩形CDOF是正方形 因此 當(dāng) AOC 90 時 四邊形CDOF是正方形 4 如圖所示 點D是線段AB的中點 點C是線段AB的垂直平分線上的任意一點 DE AC于點E DF BC于點F 1 求證 CE CF 2 點C運動到什么位置時 四邊形CEDF成為正方形 說明理由 解析 1 CD垂直平分AB ADC BDC DCA DCB DE AC DF BC 在Rt DEC和Rt DFC中 DCE DCF DEC DFC 90 DC DC Rt DEC Rt DFC CE CF 2 當(dāng)CD AB時 四邊形CEDF為正方形 證明 當(dāng)CD AB時 DA DB AB DA DC DC DB ADC和 BDC均為等腰直角三角形 A ACD B DCB 45 ECF 45 45 90 DE AC DF BC 四邊形CEDF為矩形 CE CF 四邊形CEDF