齊民友高數(shù)下冊(cè)上課第09章08多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用(1).doc

第1章 集 合第8節(jié)多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用（考點(diǎn)）8.1 空間曲線的切線與法平面在空間解析幾何中，空間曲線一般用兩種方式來表示，參數(shù)式方程和一般式方程下面我們分別探求這兩種情形時(shí)曲線的切線及法平面方程1 參數(shù)式方程表示的曲線的切線和法平面設(shè)空間曲線的方程為：，(8.1)并假定(8.1)式的三個(gè)函數(shù)都在上可導(dǎo)若記，則曲線的參數(shù)方程可寫為：(8.2)當(dāng)均在上連續(xù)時(shí)，曲線是一條連續(xù)曲線給定下面設(shè)存在且不同時(shí)為零。設(shè)，為曲線上對(duì)應(yīng)于參量，的兩個(gè)點(diǎn)（；）。曲線上過割線的方向向量為：割線方程(8.3)當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨近于時(shí)，即當(dāng)時(shí)，割線的極限位置是曲線在處的切線故當(dāng)時(shí)割線方向向量的極限向量是在點(diǎn)切線的方向向量，稱為曲線在處的切向量，故曲線在處的切線方程為：(8.4)若中有個(gè)別為零，則按空間解析幾何中對(duì)稱式方程的說明來理解過點(diǎn)且與其切線垂直的平面（過點(diǎn)且與處的切線垂直的所有直線都在此平面上），稱為曲線在點(diǎn)處的法平面法平面方程為(8.5)總結(jié)：曲線在點(diǎn)的（1）切向量：；（2）切線：；（3）法平面：。關(guān)鍵是求出切向量?！纠?.1】 求曲線，在點(diǎn)處的切線和法平面解因?yàn)?，又由方程知，在點(diǎn)處，對(duì)應(yīng)于，所以切線的方向向量為故曲線在處的切線方程為：，法平面方程為：，即【例8.2】 若曲線在任一點(diǎn)的法平面都過原點(diǎn)，試證明：此曲線必在以原點(diǎn)為球心的球面上證任取曲線上的點(diǎn)，則在點(diǎn)處的法平面方程為因?yàn)樵c(diǎn)在法平面上，故有，此方程等價(jià)于方程，故有，（必，因?yàn)槭谴嬖诘?。）上述方程表示以原點(diǎn)為球心，為半徑的球面，而曲線上的任一點(diǎn)滿足此方程，故曲線在此球面上若空間曲線的方程為：，取為參數(shù)，則曲線方程為：，若，在處可導(dǎo)，則曲線在處的切線向量為：，故切線方程為：，法平面方程為：（如果或呢？）【例8.3】 求曲線在點(diǎn)處的切線和法平面方程解取為參數(shù)，則曲線的參數(shù)方程為：在處的切向量為，故曲線在處的切線方程為：法平面方程為：，即2 一般方程形式表示的曲線的切線和法平面方程設(shè)曲線的方程為，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)，連續(xù)可微，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)能惟一地確定隱函數(shù)組，。則其參數(shù)方程為，因而在點(diǎn)處的切向量為，切線方程為：，法平面為：。其中，由隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即解方程組得到?！纠?.4】 求曲線上點(diǎn)處的切線和法平面方程解把看作的函數(shù)，兩邊對(duì)求導(dǎo)有把代入得解得切向量：；切線：；法平面：。思考題：1若曲線上任一點(diǎn)的切線向量為（a為常數(shù)），則此曲線是一條什么曲線？若其任一點(diǎn)的切線向量為（為常數(shù)）呢？（，平行于軸的直線。，面上的一條直線。）8.2 曲面的切平面與法線設(shè)為空間的一張曲面，其方程為，為曲面上一點(diǎn)設(shè)在曲面上任意作一條過的光滑曲線（圖8.1），設(shè)其參數(shù)方程為且。則有此恒等式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，并令，有，圖8.1記，則有即其中是一個(gè)固定的常向量，而是在點(diǎn)的切向量也即在點(diǎn)的切向量。由于是任意的，是任意的。結(jié)論：在點(diǎn)的任意切向量都垂直于固定的常向量。因此：是在點(diǎn)的切平面的法向量。曲面在點(diǎn)處的切平面方程為，過點(diǎn)且以法向量為方向向量的直線稱為曲面在處的法線，其方程為總結(jié)：在點(diǎn)的（1）法向量：；（2）切平面：；（3）法線：。關(guān)鍵是求出法向量。當(dāng)看作數(shù)量場(chǎng)時(shí)，既是在點(diǎn)的梯度同時(shí)也是其過點(diǎn)的等量面的法向量。因?yàn)樘荻确较蚴菙?shù)量場(chǎng)增加最快的方向，因此在點(diǎn)沿等量面的法向量方向增加最快【例8.5】 求曲面在點(diǎn)處的切平面和法線解設(shè)，則，故所求切平面方程為：，即法線方程為：，即若曲面方程為，且可微令，則有，。故曲面在點(diǎn)處的法向量切平面，法線： 如果令，則得向上的法向量，而是向下的法向量?！纠?.6】 求曲面在點(diǎn)處的切平面和法線方程解設(shè)，故曲面在的法向量為，切平面方程為：，即；法線方程為：我們知道，曲面上點(diǎn)處的切平面方程為：，曲面上點(diǎn)處的切平面方程為：，從而若曲線的方程為，則上點(diǎn)處的切線實(shí)際上是上面兩個(gè)切平面的交線，即 (8.7)請(qǐng)與(8.6)的結(jié)果進(jìn)行比較，并以此方法重解例8.4【例8.4】 求曲線上點(diǎn)處的切線和法平面方程解。切線：；切向量：法平面：。下面簡(jiǎn)單介紹由參數(shù)方程形式表示的曲面的切平面的求法.設(shè)曲面的方程為：,，(為平面內(nèi)的區(qū)域）為曲面上的一點(diǎn)，,，在包含點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。假設(shè)由解出，代入得。，。法向量：。其中由方程組解出。有了法向量就很容易寫出切平面和法線的方程?！纠?.7】 設(shè)曲面的方程為，求在參數(shù)，處，曲面的切平面方程及法線方程解易得，解方程組得。法向量：；切平面：即；法線：。習(xí)題9-8A類1求下列曲線在指定點(diǎn)處的切線與法平面(1)，；在點(diǎn)處；*(2)，；當(dāng)時(shí)；*(3)；在點(diǎn)處；(4)；在點(diǎn)處；*(5)；在點(diǎn)處2求下列曲面在指定點(diǎn)處的切平面和法線*(1)，在點(diǎn)處；(2)，在點(diǎn)處；(3)，在點(diǎn)；*(4)，在點(diǎn)處；(5)，在點(diǎn)處3求曲線，上一點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)處的切線平行于平面解 的法向量：。曲線點(diǎn)的切向量。切線平行于平面。讓解得。所要求的點(diǎn)是或。4證明曲線，上任一點(diǎn)處的切線與軸成定角5求曲面上的一點(diǎn)，使該點(diǎn)處的切平面平行于平面*6已知曲面上某點(diǎn)處的切平面平行于平面，求該點(diǎn)坐標(biāo)7求由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)處的指向外側(cè)的單位法向量解 旋轉(zhuǎn)面為。令。外側(cè)即增加的那側(cè)即的梯度那側(cè)。，。所要求的單位法向量：。8證明：曲面上任一點(diǎn)的切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積為常數(shù)*9證明：錐面的所有切平面過錐面的頂點(diǎn)B類1求曲面，在點(diǎn)處的切平面2設(shè)直線在平面上，而平面與曲面相切于點(diǎn)，求，的值解 令。曲面于點(diǎn)的法向量：。設(shè)所給切平面為即。其法向量。由有，解得。切平面為。把代入切平面得， 。另解 令。曲面于點(diǎn)的法向量：